układ równań liniowych wykład

16. UKAADY RÓWNAC LINIOWYCH
16.1. Podstawowe pojęcia
" Ogólna postać układu m równań liniowych o n niewiadomych jest następująca:
a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
ńł
�ł
a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
�ł
.......................................... (1),
�ł
�ła x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
m1
�ł
ół
gdzie:
xj - niewiadome (j=1,2,...,n)
aij - współczynniki przy niewiadomych, są dowolnymi liczbami rzeczywistymi (i=1,2,..,m;
j=1,2,...,n)
bi - wyrazy wolne, są dowolnymi liczbami rzeczywistymi (i=1,2,..,m)
" Postać macierzowa układu (1) jest następująca:
x1 b1
�ł łł �ł łł
a11 a12 ... a1n
�ł łł
�łx śł �łb śł
�ła21 a22 ... a2n śł
2 2
�ł śł �ł śł
" = (AX=B)
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł... ... ... ... śł
�ł śł �ł śł
�ł am2 ... amn �ł
śł
�łam1
�łxn �ł �łbm �ł
A
X B
macierz macierz kolumnowa kolumna wyrazów
współczynników niewiadomych wolnych
PRZYKLAD 79
�łx1 łł
x1 + 4x3 = 8 1 0 4 8
ńł �ł łł �ł łł
�ł śł
�ł- 5x1 + x2 = -1
�ł- 5 1 0śł �" �łx śł = �ł- 1śł .
2
ół �ł �ł �ł �ł
�łx3 śł
�ł �ł
B
A
X
b1
�ła11 a12 ... a1n łł
�ła a22 ... a2n b2 śł
21
�ł śł
MacierzU = nazywamy macierzą uzupełnioną układu
�ł śł
... ... ... ... ...
�łam1 am2 ... amn śł
bm �ł
�ł
równań
PRZYKLAD 80
x1 + 4x3 = 8
ńł �ł 1 0 4 8 łł
U =
�ł- 5x1 + x2 = -1
�ł- 5 1 0 - 1śł .
ół
�ł �ł
Opracowała: K. Sokołowska 78
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
" Postać wektorowa układu (1) jest następująca:
a11 a12 a1n b1
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
�ł śłx + �ł śłx + ... + �ł śłx = �ł śł
1 2 n
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�łam1 �ł �łam2 �ł �łamn �ł �łbm �ł
" Układ (1) nazywamy układem niejednorodnym, gdy co najmniej jedna z liczb
b1 ,b2 ,...,bn `" 0 . Gdy b1 = b2 = ... = bn = 0 , układ ten nazywamy układem jednorodnym.
" Ze względu na ilość rozwiązań układy równań klasyfikujemy następująco
1.układ sprzeczny - nie istnieje żadne rozwiązanie,
2.układ oznaczony - istnieje dokładnie jedno rozwiązanie,
3.układ nieoznaczony - istnieje nieskończenie wiele rozwiązań.
16.2. Metody rozwiązywania układów równań
16.2.1. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera
" Układ (1) jest układem Cramera wtedy i tylko wtedy gdy
- m=n - liczba równań jest równa liczbie niewiadomych
- det A `" 0 - macierz A jest macierzą nieosobliwą
" Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, które można wyrazić wzorem
Wk
xk = k = 1,...,n ,
W
gdzie W - wyznacznik macierzy A
Wk - wyznacznik utworzony z wyznacznika W przez zastąpienie k - tej kolumny
kolumną wyrazów wolnych b1,b2 ,...,bn .
PRZYKLAD 81
Rozwiążmy układ
x + y
ńł - 2z =-3
�ł
x - y + z = 2
�ł
�ł2x + y - z = 1
ół
1 1 -2
Ponieważ W = 1 -1 1 = -3 `" 0 , n=m=3, więc układ jest układem Cramera.
2 1 -1
ObliczmyWx,,Wy,Wz :
-3 1 -2 1 -3 -2 1 1 -3
Wx = 2 -1 1 = -3,Wy = 1 2 1 = -6 ,Wz = 1 -1 2 =-9
1 1 -1 2 1 -1 2 1 1
Opracowała: K. Sokołowska 79
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Wy -6
Wx -3 Wz -9
Mamy więc x = = = 1, y = = = 2 , z = = = 3.
W -3 W -3 W -3
" Ilość rozwiązań układu Cramera:
- W `" 0- istnieje dokładnie jedno rozwiązanie układu,
- W=0, Wx, Wy nie są jednocześnie równe zeru brak rozwiązań
- W=Wx=Wy=0 nieskończenie wiele rozwiązań (lub brak rozwiązań).
16.2.2. Rozwiązywanie układu równań metodą macierzową
" Jeżeli układ równań AX = B jest układem Cramera, to układ ten ma dokładnie jedno
rozwiązanie dane wzorem X = A-1 �" B .
- Rozwiązanie to wynika stad, ze dla układu Cramera istnieje macierz odwrotna A-1 .
- Mnożąc zatem obie strony układu lewostronnie przez macierz A-1 otrzymamy:
A-1 �" A�" X = A-1 �" B
- Ponieważ A-1 �" A = I oraz I �" X = X , otrzymujemy wiec rozwiązanie układu:
X = A-1 �" B .
PRZYKLAD 82
Rozwiąż układ:
2x1
ńł - 3x2 =1
�ł
ół- x1 + 2x2 =1
Zapiszmy powyższy układ w postaci macierzowej:
2
�ł - 3 x1 1
łł �ł łł �ł łł
�" =
�ł-1 2 śł �łx śł �ł1śł
�ł �ł �ł 2 �ł �ł �ł
A X B
2 3
�ł łł
Ponieważ det A = 1 `" 0 , to istnieje macierz odwrotna do macierzy A: A-1 =
�ł1 2śł
�ł �ł
Mnożąc obie strony układu lewostronnie przez macierz A-1 otrzymamy:
2 3 2
�ł łł �ł - 3 x1 2 3 1
łł �ł łł �ł łł �ł łł
�" =
�ł1 2śł �" �ł-1 2 śł �łx śł �ł1 2śł �" �ł1śł
�ł �ł �ł �ł �ł 2�ł �ł �ł �ł �ł
A- 1 �" A �" X = A-1 �" B
I
x1 2 3 1 5
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
= =
�łx śł �ł1 2śł �" �ł1śł �ł3śł
�ł 2 �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
X = A-1 �" B
Układ ma zatem dokładnie jedno rozwiązanie x1 =5, x2 =3.
Opracowała: K. Sokołowska 80
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
16.2.3. Ogólny przypadek układu równań liniowych - rozwiązywanie z
wykorzystaniem twierdzenia Kroneckera-Capelliego
" Twierdzenie (Kroneckera-Capelliego)
Na to aby układ (1) nie był sprzeczny potrzeba i wystarcza, aby R(A)=R(U), gdzie
�ła11 ... a1n łł �ła11 ... a1n b1 łł
�ł śł �ł śł
A = ... ... ... U = ... ... ... ...śł .
�ł śł �ł
�łam1 ... amn śł �łam1 ... amn bm śł
�ł �ł �ł �ł
Jeżeli R(A)=R(U)=n, gdzie n jest liczbą niewiadomych, to układ równań ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
Jeżeli R(A) = R(U ) < n to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od
n-R(A) parametrów.
" Jeżeli R(A) `" R(U ) to układ równań jest układem sprzecznym (brak rozwiązań).
PRZYKLAD 83
Zbadamy i rozwiążemy układ równań
x + y = 8
ńł
�ł
4x - y = 2
�ł
�łx + 2y = 14
ół
1 1
�ł łł
�ł4
Rząd macierzy A = -1śł jest równy 2, gdyż np. minor utworzony ze współczynników przy
�ł śł
�ł śł
�ł1 2 �ł
1 1
x i y występujących w dwóch pierwszych równaniach = -5 `" 0 , oraz R(U)=2, gdyż
4 -1
1 1 8 1 1 8
detU= 4 -1 2 = 0 -5 -30 = 0
1 2 14 0 1 6
1 1
a ten sam minor = -5 `" 0 występuje w macierzy U. Dany układ ma dwie niewiadome
4 -1
(n=2). Zatem mamy R(A)=R(U)=n. Stąd na mocy twierdzenia Kroneckera-Cappelliego układ
posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Aby uzyskać je, zapisujemy dany układ bez trzeciego
równania (bez równania nieobjętego niezerowym minorem)tzn.
x + y = 8
ńł
�ł
ół4x - y = 2
stąd dostajemy rozwiązanie x=2, y=6, które spełnia także trzecie równanie układu.
Opracowała: K. Sokołowska 81
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
PRZYKLAD 84
Zbadamy rozwiązalność układu
x
ńł - y + 3z = 2
�ł2x + 7y + 5z = 1
�ł
�ł2x - 2y + 6z = -5
ół
Ustalmy rzędy macierzy
1
�ł -1 3 1
łł �ł -1 3 2
łł
�ł2 �ł2 śł
A = 7 5śł i U = 7 5 1
�ł śł �ł śł
�ł -2 6�ł
śł �ł -2 6 -5�ł
śł
�ł2 �ł2
Zauważmy, że detA=0, zatem R(A)<3, a ponieważ dowolny minor drugiego stopnia tej
macierzy jest różny od zera, więc R(A)=2. Natomiast w macierzy U łatwo jest znalezć minor
trzeciego stopnia różny od zera np.
1 -1 2
2 7 1 ,
2 -2 -5
zatem R(U)=3. Mamy więc, że R( A) `" R(U ) . Stąd na mocy twierdzenia Kroneckera-
Cappelliego otrzymujemy, że układ jest sprzeczny.
PRZYKLAD 85
Znajdziemy wszystkie rozwiązania układu
x + 2y
ńł - 3z = 2
�ł
5x - y + z = 1
ół
Zbadajmy rzędy macierzy
1 2 -3 1 2 -3 2
�ł łł �ł łł
A = i U =
�ł5 -1 1 śł �ł5 -1 1 1śł
�ł �ł �ł �ł
Obliczamy minor
1 2
= -11 `" 0
5 -1
Mamy więc, że R(A)=R(U)=2. Zatem rozwiązanie zależy od n-R(A)=3-2=1 parametru.
Przenosimy niewiadomą nie objętą obliczonym minorem tzn. niewiadomą z, na prawą stronę i
rozwiązujemy układ traktując z jako parametr (tj. przyjmując, że z = t " R ). Wtedy układ
przyjmuje postać:
x + 2y = 2 + 3t
ńł
�ł
5x - y = 1- t
ół
W celu otrzymania rozwiązania zastosujmy metodę Cramera
1 2
W = = -1- 10 = -11,
5 -1
Opracowała: K. Sokołowska 82
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
2 + 3t 2
Wx = = -2 - 3t - 2 + 2t = -4 - t
1- t -1
1 2 + 3t
Wy = = 1- t - 10 - 15t = -9 - 16t
5 1- t
4 + t 9 + 16t
stąd x = , y = , z = t " R .
11 11
Otrzymane rozwiązanie nazywamy rozwiązaniem ogólnym układu.
Rozwiązanie szczegółowe otrzymujemy za parametry podstawiając konkretne wartości
Np. Dla naszego przykładu niech t=1, wówczas rozwiązanie szczegółowe jest następujące:
5 25
x = , y = , z = 1.
11 11
16.2.4. Jednorodne układy równań
" Z określenia układu jednorodnego wynika, że równość R(A)=R(U) jest zawsze spełniona
przez macierze A i U. A zatem żaden układ jednorodny nie jest sprzeczny, lecz na mocy
twierdzenia Kroneckera-Capelliego ma co najmniej jedno rozwiązanie.
- Jeżeli R(A)= n, to jednorodny układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest
to rozwiązanie zerowe.
- Jeżeli R( A) < n , to jednorodny układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych
od n-R(A) parametrów.
PRZYKLAD 86
Rozwiązać układ równań
2x
ńł - y + z = 0
�ł x + y - z = 0
�ł
�ł4x + y - z = 0
ół
2 -1 1
Ponieważ W = 1 1 - 1 = 0 , więc sprawdzamy, czy istnieje chociaż jeden minor
4 1 - 1
wyznacznika W stopnia drugiego różny od zera:
2 -1
= 2 + 1 = 3 `" 0
1 1
Zatem R(A)=2, R(U)=2, więc układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od
n-R(A)=3-2=1 parametru.
Pomijamy trzecie równanie (nie zawierające elementów wyznaczonego przez nas minora), a
niewiadomą z (przy której współczynniki nie weszły do minora) przenosimy na lewą stronę i
przyjmujemy, że z = t " R . Wtedy otrzymujemy następujący układ równań:
Opracowała: K. Sokołowska 83
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
2x
ńł - y = -t
�łx + y = t
�ł
�łz = t " R
ół
Rozwiązując dwa pierwsze równania układu metodą Cramera otrzymamy:
x = 0, y = t, z = t " R
16.2.5. Rozwiązywanie układów równań metodą operacji elementarnych
" Metoda przekształceń elementarnych polega na przekształceniu wyjściowego układu
równań do równoważnego układu bazowego (najprostszego). W tym celu posługujemy się
następującymi operacjami elementarnymi:
a) mnożenie dowolnego równania układu przez liczbę różną od zera
b) dodawanie do dowolnego równania układu innego równania układu, pomnożonego
przez dowolną liczbę.
c) przestawienie dwóch dowolnych równań układu
d) pominięcie dowolnego, tożsamościowego równania układu.
" Stosując operacje od a) do d) dążymy do przekształcenia układu (1) do postaci
2 2
ńła11x1 + a12 x2 +...+a12 n xn = b12
�ł
a22 x2 +...+a2n xn = b22
2 2
�ł
,
�ł
...................
�ł
�ł
amn xn = bm
2 2
ół
a następnie do postaci
a11x1 + 0�" x2 +...+0�" xn = b12 2
2 2
ńł
�ł
a22 x2 +...+0�" xn = b22 2
2 2
�ł
.
�ł
...................
�ł
�ł
amn xn = bm
2 2 2 2
ół
PRZYKLAD 87
Rozwiążemy układ
x + 2y + z = 4
ńł
�ł-2x - y + 4z = -8
�ł
�ł
3x - 2y - z = 0
ół
1 2 1 | 4
�ł łł
�ł-2
U = -1 4 | -8śł I wiersz mnożymy przez 2 i dodajemy do II, a następnie
�ł śł
�ł -2 -1 | 0
śł
3
�ł �ł
I wiersz mnożymy przez (-3) i dodajemy do III
Opracowała: K. Sokołowska 84
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
1 2 1 | 4
�ł łł
�ł0 śł
U = 3 6 | 0 II wiersz dzielimy przez 3, a III wiersz dzielimy przez -4
�ł śł
�ł -8 -4 | -12�ł
śł
�ł0
1 2 1 | 4
�ł łł
�ł0
U = 1 2 | 0śł II wiersz mnożymy przez -2 i dodajemy do III
�ł śł
�ł śł
�ł0 2 1 | 3�ł
1 2 1 | 4
�ł łł
�ł0
U = 1 2 | 0śł III wiersz dzielimy przez -3
�ł śł
�ł -3 | 3�ł
śł
�ł0 0
1 2 1 | 4
�ł łł
�ł0 śł
U = 1 2 | 0 III wiersz mnożymy przez -2 i dodajemy do II,
�ł śł
�ł śł
�ł0 0 1 | -1�ł
a następnie III wiersz mnożymy przez (-1) i dodajemy do I
1 2 0 | 5
�ł łł
�ł0 śł
U = 1 0 | 2 II wiersz mnożymy przez (-2) i dodajemy do I
�ł śł
�ł śł
�ł0 0 1 | -1�ł
1 0 0 | 1
�ł łł
�ł0 śł
U = 1 0 | 2
�ł śł
�ł śł
�ł0 0 1 | -1�ł
Wyjściowy układ równań przyjmuje zatem następującą równoważną postać:
1x + 0y + 0z = 1
ńł
�ł0x +1y + 0z = 2
�ł
�ł0x + 0y +1z = -1
ół
Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x=1, y=2,z= -1 .
PRZYKLAD 88
Rozwiążemy układ
x
ńł - y = -1
�ł2x + 3y = 8
�ł
�ł
�ł-5x + y = -3
�ł
x + y = 6
ół
1
�ł -1 | -1
łł
�ł2 3 | 8śł
�ł śłI wiersz mnożymy przez (-2) i dodajemy do II,a następnie
�ł-5 1 | -3
śł
�ł śł
�ł1 1 | 6�ł
I wiersz mnożymy przez 5 i dodajemy do III oraz I wiersz
mnożymy przez (-1) i dodajemy do IV
Opracowała: K. Sokołowska 85
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
1
�ł -1 | -1
łł
�ł0 5 | 10śł
�ł śł
II wiersz dzielimy przez 5, a III wiersz dzielimy przez (-4)
�ł -4 | -8
śł
0
�ł śł
�ł0 2 | 7 �ł
1
�ł -1 | -1
łł
�ł0 1 | 2 śł
�ł śł
pomijamy II wiersz
�ł śł
0 1 | 2
�ł śł
�ł0 2 | 7 �ł
1
�ł -1 | -1
łł
�ł0 1 | 2 śł
II wiersz mnożymy przez -2 i dodajemy do III
�ł śł
�ł
�ł0 2 | 7 śł
�ł
1
�ł -1 | -1
łł
�ł0 1 | 2 śł
�ł śł
�ł
�ł0 0 | 3 śł
�ł
Ostatni wiersz powyższej macierzy wskazuje, że układ jest sprzeczny, gdyż ostatnie równanie
układu równoważnego 0 �" x + 0�" y = 3 jest sprzeczne.
PRZYKLAD 89
Rozwiążemy układ
3x
ńł - 6y + 11z = 20
�ł
-x + 2y - 7z = 3
ół
3
�ł -6 11 | 20
łł
przestawiamy z sobą wiersze
�ł-1 2 -7 | 3 śł
�ł �ł
�ł-1 2 -7 | 3
łł
I wiersz mnożymy przez 3 i dodajemy do II
�ł
3 -6 11 | 20śł
�ł �ł
�ł-1 2 -7 | 3
łł
II wiersz dzielimy przez (-10)
�ł
0 0 -10 | 29śł
�ł �ł
�ł-1 2 -7 | 3
łł
II wiersz mnożymy przez 7 i dodajemy do I
�ł
0 0 1 | -2,9śł
�ł �ł
,
�ł-1 2 0 | -173
łł
I wiersz mnożymy przez (-1)
�ł
0 0 1 | -29śł
,
�ł �ł
1 ,
�ł -2 0 | 173
łł
�ł0 0 1 | -29śł
,
�ł �ł
Z ostatniego wiersza mamy, że z = -2,9 .
Ponieważ powyższy układ posiada 3 zmienne i tylko dwa równania, więc aby go rozwiązać
należy jednej niewiadomej nadać parametr i wyznaczyć pozostałą niewiadomą. Niech
y = t " R . Rozwiązanie ogólne układu przyjmuje wtedy postać
x = 2t +17,3, y = t, z = -2,9 .
Opracowała: K. Sokołowska 86
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
16.3. Liniowa zależność i niezależność wektorów
" Niech (a1, a2, ...,ak) oznacza układ wektorów w przestrzeni wektorowej Vn.
Wektor a= x1a + x2a +...+ xka dla xi " R nazywamy kombinacją liniową tych
1 2 k
wektorów.
" Układ wektorów (a , a a ) w V jest liniowo zależny, gdy istnieją takie liczby x1, x2,..., xk
1 2, ..., k n
nie wszystkie jednocześnie równe zero, że
x1a + x2a +...+ xka =0.
1 2 k
" Układ wektorów (a , a a ) w V jest liniowo niezależny, gdy
1 2, ..., k n
x1a + x2a +...+ xka =0
1 2 k
jedynie przy x1=x2=...=xk =0, czyli układ równoważny temu warunkowi ma tylko jedno
rozwiązanie.
" Tw.
Układ n+1 wektorów z przestrzeni n wymiarowej jest zawsze liniowo zależny.
Tw.
Układ wektorów (a1, a2, ...,ak) jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej
jeden z tych wektorów jest liniową kombinacją pozostałych.
Sposoby sprawdzania liniowej niezależności wektorów:
" Jeśli liczba wektorów i wymiar przestrzeni z której pochodzą wektory są sobie równe,
należy obliczyć wyznacznik macierzy A, utworzonej z danych wektorów. Jeśli jest on
różny od zera, to dany układ wektorów jest liniowo niezależny.
" Jeśli liczba wektorów i wymiar przestrzeni z której pochodzą wektory nie są sobie równe,
należy określić rząd macierzy A, utworzonej z danych wektorów. Jeśli rząd macierzy jest
równy liczbie wektorów w danym układzie, to dany układ wektorów jest liniowo
niezależny, jeśli jest natomiast mniejszy od liczby wektorów, to dany układ wektorów jest
liniowo zależny.
PRZYKAAD 90
1 3
�ł łł �ł łł �ł-1
łł
Wyznacz kombinację liniową wektorów a1 = a2 = a3 = , gdy
�ł2śł, �ł2śł, �ł śł
2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
x1 = 2, x2 = -1, x3 = 3,
Układ tych wektorów jest liniowo zależny, gdyż każdy z nich można przedstawić w postaci
kombinacji liniowej pozostałych wektorów, np.
2a1 - a2 = a3
Opracowała: K. Sokołowska 87
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
16.4. Układy nierówności liniowych
" Układ m nierówności liniowych ma postać
a11x1 + a12x2 + ... + a1n xn d" b1
ńł
�ł
a21x1 + a22x2 + ... + a2n xn d" b2
�ł
�ł
.............................................
�ł
�łam1x1 + am2 x2 + ...+ amn xn d" bm
ół
" Rozwiązaniem układu nierówności liniowych jest każdy punkt przestrzeni Rn, którego
współrzędne spełniają jednocześnie wszystkie nierówności tego układu. W przestrzeni Rn
zbiór takich punktów nazywamy półpłaszczyzną, natomiast w Rn - półprzestrzenią.
" Układ nierówności liniowych nazywamy sprzecznym, jeżeli zbiór rozwiązań tego układu
jest zbiorem pustym
" Graficzną metodę rozwiązywania układu nierówności liniowych można stosować jedynie
w przypadku, gdy jest to układ o dwóch niewiadomych.
PRZYKAAD 91
Rozwiąż graficznie układy nierówności liniowych
x + y e" 2 2x1 - x2 e" 0
ńł ńł
�ł- x + y d" 1, �ł
x1 + x2 < 1
�ł �ł
�ł �ł2x + 2x2 > 2
x d" 2
ół ół 1
Opracowała: K. Sokołowska 88
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
M[1] 6 Uklad rownan liniowych
13 Uklad równan liniowych
1 7 Uklad rownan liniowych
1 7 Uklad rownan liniowych
układy równań liniowych, wykład
wykład 11 układy równań liniowych
Wykład 16 Równania liniowe
5 Zadania do wykladu Uklady rownan liniowych
Zestaw 1 Funkcja kwadratowa Funkcja homograficzna Równanie liniowe
uklady rownan liniowych
Zadania WYZNACZNIK UKLAD ROWNAN wer stud
4 uklady rownan liniowych
uklad rownan wyznacznik macierz odwrotna
t5 uklady rownan liniowych
BOiE układy równań liniowych
01 oprac geometria równań liniowych

więcej podobnych podstron