1 7 Uklad rownan liniowych

Układ równań liniowych
Definicje
a) Równaniem liniowym o niewiadomych x1 , x2 , & , xn nazywamy równanie
a11 x1 + a12 x2 + & + a12xn = b1, gdzie a11, a12, & , a12 , b1 są danymi liczbami
rzeczywistymi.
b) Rozwiązaniem tego równania nazywamy ciąg liczb (r1 , r2 , & , rn ) rzeczywistych
spełniających to równanie.
Definicja
Układ równań postaci:
a11x1 + a12x2 + ... + a1n xn = b1
ńł
�ł
a21x1 + a22x2 + ... + a2n xn = b2
�ł
�ł
.
�ł
�łam1x1 + am2x2 + ... + amn xn = bm
ół
nazywamy układem m równań liniowych o n niewiadomych .
Zapis macierzowy
Układ taki zapisuje się w postaci macierzowej następująco:
Am x n �" Xn = Bm , gdzie
a11 a12 ... a1n
�ł łł
�ła a22 ... a2n śł
21
�ł śł
Am x n = nazywa się macierzą współczynników,
�ł śł
. . . .
�ł śł
am2 ... amn �ł
�łam1
x1
�ł łł
�łx śł
2
�ł śł
�ł śł
Xn = . nazywa się wektorem niewiadomych,
�ł śł
.
�ł śł
�łxn śł
�ł �ł
b1
�ł łł
�łb śł
2
�ł śł
�ł śł
Bm = . macierzą (wektorem) wyrazów wolnych.
�ł śł
.
�ł śł
�łbm śł
�ł �ł
Zatem układ wyjściowy zapiszemy w postaci macierzowej
x1 b1
�ł łł �ł łł
a11 a12 ... a1n �łx śł �łb śł
�ł łł
�ła a22 ... a2n śł 2 2
�ł śł �ł śł
21
�ł śł
�ł śł �ł śł
�" . = .
�ł śł
. . . .
�ł śł �ł śł
. .
�ł śł
am2 ... amn �ł �ł śł �ł śł
�łam1
�łxn śł �łbm śł
�ł �ł �ł �ł
Wprowadza się równie\ pojęcie macierzy rozszerzonej lub uzupełnionej macierz
współczynników poszerza się o macierz wyrazów wolnych, pisze się U = [A|B], czyli
a11 a12 ... a1n b1
�ł łł
�ła a22 ... a2n b2 śł
21
�ł śł
�ł śł
U = . . . . . .
�ł śł
. . . . .
�ł śł
�łam1 am2 ... amn bm śł
�ł �ł
Gdy B = [0] jest wektorem zerowym mówimy, \e układ jest jednorodny.
Mogą zachodzić ró\ne przypadki , mo\e być tyle równań co niewiadomych ( m = n),
mo\e być więcej równań ni\ niewiadomych ( m > n) bądz mniej równań ni\
niewiadomych (m < n).
Twierdzenie
Przekształcenie L : Vn Vm , które wektorowi Xn przestrzeni Vn przyporządkowuje
wektor Ym przestrzeni Vm taki, \e Am x n �" Xn = Ym jest przekształceniem liniowym
przestrzeni Vn w przestrzeń Vm , gdzie Am x n jest macierzą nieosobliwą.
Macierz Am x n nazywamy macierzą przekształcenia L.
2. Rozwiązywanie układów równań liniowych
Definicja
Rozwiązać układ równań liniowych, to znaczy wyznaczyć zbiór jego rozwiązań, a więc
podać zbiór ciągów spełniających układ lub uzasadnić, \e ten zbiór jest pusty (nie
istnieje \adne jego rozwiązanie).
2.1. Istnienie rozwiązań
Istnienie i ilość rozwiązań takiego układu rozstrzyga twierdzenie pochodzące od
Kroneckera i Capellego, które mo\emy sformułować następująco:
Twierdzenie
Układ m równań liniowych o n niewiadomych ma rozwiązanie jedynie wtedy, gdy
rząd macierzy A układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej [A\B], czyli:
R(A) = R([A|B]) = r
Twierdzenie to rozstrzyga problem istnienia rozwiązań.
Stąd wynika, \e jeśli te rzędy nie są równe, to układ nie ma rozwiązań.
Przykład 1.
2x + 3y = 5
ńł
Układ nie ma rozwiązań, bo
�ł
ół4x + 6y = 8
2 3
�ł łł
a) macierz współczynników A = mo\na przekształcić (operacje elementarne
�ł4 6śł
�ł �ł
2 3
�ł łł
od wiersza 2 odejmujemy wiersz 1 pomno\ony przez 2 ) do postaci , co
�ł0 0śł
�ł �ł
oznacza, \e jej rząd jest 1 jest to liczba niezerowych wierszy;
2 3 5
�ł łł
b) macierz rozszerzoną A|B = mo\na przekształcić (operacje elementarne
�ł4 6 8śł
�ł �ł
2 3 5
�ł łł
od wiersza 2 odejmujemy wiersz 1 pomno\ony przez 2 ) do postaci , co
�ł0 0 8śł
�ł �ł
oznacza, \e jej rząd jest 2 jest to liczba niezerowych wierszy.
Przykład 2.
2x + 3y = 5
ńł
Natomiast układ ma rozwiązanie, bo
�ł
ół4x + 6y =10
2 3
�ł łł
a) macierz współczynników A = mo\na przekształcić (operacje elementarne
�ł4 6śł
�ł �ł
2 3
�ł łł
od wiersza 2 odejmujemy wiersz 1 pomno\ony przez 2 ) do postaci , co
�ł0 0śł
�ł �ł
oznacza, \e jej rząd jest 1 jest to liczba niezerowych wierszy;
2 3 5
�ł łł
b) macierz rozszerzoną A|B = mo\na przekształcić (operacje elementarne
�ł4 6 10śł
�ł �ł
2 3 5
�ł łł
od wiersza 2 odejmujemy wiersz 1 pomno\ony przez 2 ) do postaci , co
�ł0 0 0śł
�ł �ł
oznacza, \e jej rząd jest 1 jest to liczba niezerowych wierszy.
Przykład 3.
x + 2y = 3
ńł
�ł
2x - y = 1
�ł
Układ równań liniowych ma rozwiązanie, bo macierz
�ł
3x + y = 4
�ł
�łx - 3y = -2
ół
1 2 5 0
�ł łł �ł łł
�ł2 -1śł �ł2 -1śł
�ł śł �ł śł
współczynników doprowadzimy do postaci oraz macierz rozszerzoną
�ł śł �ł śł
3 1 0 0
�ł śł �ł śł
�ł1 - 3�ł �ł0 0 �ł
1 2 3 5 0 5 0 0 5
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł2 -1 1 śł �ł2 -1 1śł �ł2 -1 0śł
�ł śł �ł śł �ł śł
doprowadzimy do postaci i dalej .
�ł śł �ł śł �ł śł
3 1 4 0 0 0 0 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł1 - 3 - 2�ł �ł0 0 0�ł �ł0 0 0�ł
Obie macierze mają rząd równy 2.
2.2 Wyznaczanie rozwiązań układu równań
Zakładamy, \e układ ma rozwiązania, czyli rząd macierzy współczynników jest równy
rzędowi macierzy rozszerzonej. Przyjmijmy, \e układ ma n niewiadomych (równań mo\e być
więcej ni\ n lub mniej ni\ n); oznaczmy ten wspólny rząd obu macierzy literą r.
Mogą więc zachodzić dwa przypadki:
1� r = n, czyli liczba równań jest równa liczbie niewiadomych (bo rząd wynosi n, tyle ile
równań to będą wiersze macierzy i tyle ile niewiadomych bo to będą kolumn
macierzy współczynników); wtedy układ równań ma dokładnie jedno
rozwiązanie; jak je otrzymywać pokazuje przykład 1.
2� jeśli r < n, czyli liczba równań jest ró\na od liczby niewiadomych; wtedy układ ma
nieskończenie wiele rozwiązań zale\nych od n - r parametrów, czyli zmiennych,
którym mo\na nadawać dowolne wartości liczbowe.
Formalnie biorąc, rozwiązywanie układów równań liniowych, w tym równie\ badanie
istnienia i jednoznaczności rozwiązań ( w obu przypadkach) sprowadza się do przeprowadzania
macierzy rozszerzonej układu [A | B] do postaci [ I | X ] i umiejętnego przeczytania tego
rezultatu, gdzie I oznacza macierz jednostkową, X macierz, z której odczytujemy rozwiązania.
Ten sposób u nas nazywa się metodą eliminacji Gaussa i wymaga wykonywania przekształceń
elementarnych na wierszach macierzy.
Przykład 4. (typ 1o) liczba równań równa liczbie niewiadomych, rząd macierzy
współczynników równy liczbie równań.
x + 5y = 2
ńł
Rozwią\ układ równań:
�ł
ół- 3x + 6z = 15
1 5 x 2
�ł łł �ł łł �ł łł
Zapisujemy ten układ następująco: = .
�ł- 3 6śł �łyśł �ł15śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Przekształcamy macierz uzupełnioną
1 5 2 1 5 2 1 5 2 1 0 - 3
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
; ; ; .
�ł- 3 6 15śł �ł0 21 21śł �ł0 1 1śł �ł0 1 1 śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
Ostatni zapis oznacza, \e
1�" x + 0 �" y = -3
ńł
�ł
0 �" x +1�" z = 1
ół
Stąd odczytujemy, \e x = -3, y = 1 .
To samo mo\na odczytać z ostatniej macierzy.
Przykład 5. (typ 1o) - liczba równań równa liczbie niewiadomych, rząd macierzy
współczynników równy liczbie równań.
x
ńł - 2y + 3z = -7
�ł
Rozwią\ układ równań: 3x + y + 4z = 5
�ł
�ł2x + 5y + z = 18
ół
Przekształcamy macierz rozszerzoną
�ł łł
�ł1 śł
�ł łł - 2 3 - 7
1
1
�ł - 2 3 - 7 1 - 2 3 - 7 - 2 3 - 7
łł �ł łł
�ł śł
�ł 5 26 śł 5 26
�ł3 1 4 5 śł �ł0 7 - 5 26 śł
; ; 1 - ; 0 1 - śł ;
�ł
�ł0 śł
�ł śł �ł śł
7 7 7 7
�ł śł
śł
�ł
9
�ł2 5 1 18 śł �ł 9 - 5 32 śł �ł0 - 5 32
�ł �ł0 �ł
�ł �ł �ł0 0 10 - 10śł
�ł śł
�ł 7 7 �ł
�ł - 2 3 - 7
1 łł
1 0 0 2
�ł łł
�ł 5 26 śł
�ł0 śł
i dalej 1 - ; 1 0 3 .
�ł0 śł
�ł śł
7
�ł0 0 17 -1śł �ł 0 1 -1�ł
śł
�ł0
�ł �ł
Doprowadziliśmy macierz rozszerzoną do postaci [I | X].
Z niej odczytujemy x = 2, y = 3, z = -1.
Warto wiedzieć, \e układy typu 1o rozwiązuje się równie\ stosując wzory Cramera (zob.
twierdzenie poni\ej).
Przykład 6. (typ 2o) liczba niewiadomych większa ni\ liczba równań
2x + y
ńł - z + t = 1
�ł
Rozwią\ układ równań: y + 3z - 3t = 1
�ł
�ł
x + y + z - t = 1
ół
Przekształcamy macierz rozszerzoną układu
2 1
�ł -1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1
łł �ł łł �ł łł �ł łł
�ł0 1 3 - 3 1śł �ł0 1 3 - 3 1śł �ł0 1 3 - 3 1 śł �ł0 1 3 - 3 1śł
; ; ; .
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł śł śł śł
�ł1 1 1 -1 1�ł �ł 1 -1 1 1�ł �ł -1 - 3 3 -1�ł �ł 0 0 0 0�ł
�ł2 �ł0 �ł0
Opuszczamy wiersz 3, bo nie wpływa on na rozwiązania układu. Mamy
1 1 1 -1 1 1 0 - 2 2 0
�ł łł �ł łł
; .
�ł0 1 3 - 3 1śł �ł0 1 3 - 3 1śł
�ł �ł �ł �ł
1 0
�ł - 2 2 0
łł
Macierz rozszerzoną doprowadziliśmy do postaci , czyli [I | X].
�ł0 1 3 - 3 1śł
�ł �ł
Po tych przekształceniach otrzymaliśmy układ równowa\ny wyjściowemu
x
ńł - 0y - 2z + 2t = 0
.
�ł
0x + y + 3z - 3t = 1
ół
Mieliśmy 4 niewiadome a rząd wynosi 2 więc będą 2 parametry.
Przyjmując z i t za parametry (są to współczynniki występujące przy niewiadomych poza
1 0 x
�ł łł ńł - 0y = 2z - 2t x = 2z - 2t
ńł
macierzą ) otrzymujemy układ , czyli .
�ł �ł
�ł0 1śł
�ł �ł ół0x + y = -3z + 3t +1 óły = -3z + 3t +1
2z
�ł - 2t
łł
�ł1- 3z + 3tśł
�ł śł
Macierz X rozwiązań będzie następująca: X = , gdzie z, t mogą być dowolnymi
�ł śł
z
�ł śł
t
�ł �ł
liczbami rzeczywistymi.
Jest to tzw. rozwiązanie ogólne; rozwiązania szczegółowe otrzymamy przyjmując za
parametry z, t konkretne liczby. Na przykład dla z = 3, t = -5 otrzymujemy takie rozwiązanie
2 �"3
�ł - 2(-5) 16
łł �ł łł
�ł1- 3�" 3 + 3(-5)śł �ł- 23śł
�ł śł �ł śł
X = = .
�ł śł �ł śł
3 3
�ł śł �ł śł
- 5 - 5
�ł �ł �ł �ł
Przykład 7. (typ 2o) liczba równań większa od liczby niewiadomych
x + y + z = 2
ńł
�ł- x + 2y + 3z = 2
�ł
Rozwią\ układ równań:
�ł
2x - 3y - z = 1
�ł
�ł
x - y - z = 0
ół
Przekształcamy macierz rozszerzoną tego układu
1 1 1 2
�ł łł
�ł-1 2 3 2śł
�ł śł
;
�ł- 2 - 3 -1 1
śł
�ł śł
1 -1 -1 0�ł
�ł
po kolejnych przekształceniach doprowadzimy do macierzy
1 0 0 1 1 0 0 1
�ł łł �ł łł
�ł0 1 1 1śł �ł0 1 0 0śł
�ł śł �ł śł
i dalej
�ł śł �ł śł
0 0 1 1 0 0 1 1
�ł śł �ł śł
�ł0 0 2 2�ł �ł0 0 0 0�ł
Pomijamy czwarty wiersz, bo równanie mu odpowiadające (0x + 0y+0z=0) nie wnosi nowych
informacji o niewiadomych. Otrzymujemy
1 0 0 1
�ł łł
�ł0
1 0 0śł
�ł śł
�ł śł
�ł0 0 1 1�ł
Z tej macierzy odczytujemy rozwiązanie x = 1, y = 0, z = 1, jest to jedyne rozwiązanie.
__________________________________________________
Ujęcie ogólne
Układy Cramera
Definicja
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych AX = B, w którym A
jest macierzą kwadratową nieosobliwą (n równań o n niewiadomych oraz det A `" 0).
Twierdzenie
Układ Cramera A�"X = B ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem X = A-1 �" B .
Uzasadnienie
Załó\my, \e układ równań liniowych AX = B jest układem Cramera. To znaczy, \e det A `" 0.
Istnieje zatem macierz A-1 odwrotna do A.
Rozumujemy: A�"X = B,
mno\ymy to równanie przez A-1 i otrzymujemy kolejno:
A-1 ( A�"X) = A-1 �" B
(A-1 �" A)X = A-1 �" B
I �"X = A-1 �" B , poniewa\ A-1 �" A = I jest macierzą jednostkową.
Stąd X = A-1 �" B.
Twierdzenie to pozwala rozwiązać układ Cramera wykorzystując pojęcie macierzy odwrotnej.
Przykład 8. Zastosowanie powy\szego twierdzenia.
x + 2y = 2
ńł
Rozwią\ układ równań:
�ł
ół- 3x + 4z = 15
1 2 x 2
�ł łł �ł łł �ł łł
Zapisujemy ten układ następująco: �" = .
�ł- 3 4śł �łyśł �ł15śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0,4
�ł - 0,2 1 2
łł �ł łł
Macierz A-1 = jest macierzą odwrotną do macierzy A = .
�ł0,3 0,1 śł �ł- 3 4śł
�ł �ł �ł �ł
x 0,4
�ł łł �ł - 0,2 2
łł �ł łł �ł- 2,2
łł
Zatem = . =
�łyśł �ł0,3 0,1 śł �ł15śł �ł śł
2,1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
Rozwiązaniem danego układu równań jest wektor [-2,2; 2,1].
Twierdzenie
det Ai
Rozwiązanie r = [r1 , r2 ,& , rn] układu Cramera określają wzory: ri = ,
det A
gdzie 1 d" i d" n oraz Ai jest macierzą powstałą z macierzy A, w której kolumnę o
numerze i zastąpiono kolumną wyrazów wolnych.
Twierdzenie to pozwala wyznaczyć wprost składowe wektora rozwiązań układu Cramera.
Przykład 9. Zastosowanie powy\szego twierdzenia.
x + 2y = 8
ńł
Rozwią\ układ równań: .
�ł
ół3x + 5z = 7
1 2
�ł łł
Niech A = , det A = -1.
�ł3 5śł
�ł �ł
8 2
�ł łł
A1 = ; det A1 = 26.
�ł7 5śł
�ł �ł
1 8
�ł łł
A2 = ; det A1 = -17.
�ł3 7śł
�ł �ł
26 -17
Zatem x1 = = - 26 , x2 = = 17.
-1 -1
Rozwiązaniem danego układu równań jest wektor [-26; 17].
Dowolne układy równań
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
Niech AX = B będzie układem równań liniowych o n niewiadomych. Wtedy:
a) je\eli rz (A) `" rz(A| B), to układ nie ma rozwiązania,
b) je\eli rz (A) = rz(A| B) = n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,
c) je\eli rz (A) = rz(A| B) = r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zale\nych
od n r parametrów.
Algorytm rozwiązywania układów równań:
AX = B, gdy rz(A) = rz(A|B) = r < n.
1. Wyznaczamy minor rzędu r macierzy A .
2. Pomijamy wszystkie równania układu, których współczynniki nie weszły do
wyró\nionego minora.
3. Tworzymy układ o r niewiadomych oraz n r parametrach.
4. Rozwiązujemy otrzymany układ Cramera.
5. Podajemy ogólne rozwiązanie układu AX = B.
Ćwiczenia
Zad. 1.
Zapisz układ równań w następujący sposób:
(1): A �" X = B; (2): [A| B] ; (3): x1 k1 +x2 k2 +x3 k3 + & +xn kn = b .
x
ńł - 2y - 3z = 4
x
ńł - 3y + z = -1
�ł
2x
ńł - 5y = 3 3x + 5y - 7z + t = 1
�ł- �ł
a) , b) x + 2 y + z = 0 , c) .
�ł �ł �ł
- x - y = 1 2x - z + t = 2
ół
�ł �ł
2x + 3y - z = 1
ół
�ł- x + y + 3z + 4t = -1
ół
Zad. 2.
Wyznacz takie wartości parametru p, aby układ był układem Cramera.
(1
ńł - p)x + 3y + 3z = 0
ńł - 3y = 3p
6 p2x
�ł3x
a) , b) + (1 - p) y + 3z = 0 .
�ł �ł
2x - y = 7
ół
�ł3x + 3y + (1 - p)z = 0
ół
Zad. 3.
Rozwią\ układ równań wykorzystując wzory Cramera.
x + 2y - 3z = 0
ńł
x
ńł - 2y + 3z = -7 2x
ńł - y + z = 1
�ł
4x + 8y - 7z + t = 1
�ł �ł- �ł
a) 3x + y + 4z = 5 , b) 4x - 12y + z = 2 , c) .
�ł �ł �ł
x + 2y - z + t = 1
�ł2x + 5y + z = 18 �ł �ł
3x + 3y + z = 3
ół ół
�ł- x + y + 4z + 6t = 0
ół
Zad. 4.
Rozwią\ układ równań wykorzystując pojęcie macierzy odwrotnej.
t + v + z + p = 10
ńł
x + 5y = 2
ńł
�ł
x
ńł - 7 y = 2 t - v - z + p = 0
�ł �ł
a) x + 4 y = 6 , c) .
�ł2x + 3y = 5 , b) �ł �ł
2v + z - p = 13
ół
�ł2x + 10y + 6z = 12 �ł
ół
�ł
t + 2v - p = 1
ół
Zad. 5.
Rozwią\ układ równań.
1 1 1 1 4 1 x
�ł łł �ł łł �ł łł �ł- 2
łł
�ł �ł1 �ł �ł śł
a) [x y z] 8 4 0śł = [4 0 -5] , b) 1 - 2śł �" yśł = 4 ,
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł- 8 0 9śł �ł0 1 1 śł �ł zśł �ł 1 śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł2 1 - 1 1 �ł1 1 1 0
łł łł
�ł0 �ł2
śł śł
c) 2 3 1 , d) - 1 - 1 - 3 .
�ł �ł
śł śł
�ł �ł - 1 1 0 śł
�ł �ł
�ł1 1 1 - 1 śł �ł1
Zad. 6.
Określ istnienie i liczbę rozwiązań układu równań.
x + 2 y + 3z = 2 x1 + x2 + x3 = 0 x1
ńł ńł ńł - 3x2 + x3 + x4 + x5 = 0
�ł2x �ł �ł-
a) - 3y + z = -5 , b) 2x1 - x2 - x3 = -3 , c) x1 + 2x2 + 3x3 - x4 + 2x5 = 2 ,
�ł �ł �ł
�ł �ł4x1 - 5x2 - 3x3 = -7 �ł
2x + y - z = 5 2x1 - x2 - 4x3 + x4 - 6x5 = 3
ół ół ół
x1 + 2x2 + x3 = 2 3x1 + 2x2 - 3x3 = 1 x1
ńł ńł ńł - 2x2 = 2
�ł �ł �ł2x - 4x2 = 1
2x1 + 3x2 - x3 = 1 x1 + x2 + x3 = 0
�ł �ł �ł
1
d) , e) , f)
�ł �ł �łx - 5x2 = -3 .
x2 - 5x3 = -3 x1 + x2 + 4x3 = 1
1
�ł �ł �ł
�łx1 + 2x2 - 4x3 = -1 �ł2x1 + 3x2 + 5x3 = 3 �łx1 - 4x2 = -1
ół ół ół
Zad. 7.
Odczytaj wprost rozwiązania układu równań liniowych z niewiadomymi x, y, z, s, t.
0
�ł - 1 0 0 1 3
łł
�ł- 2 0 1 1 0 5
łł
�ł0 6 0 1 0 2śł
�ł
�ł śł
a) 1 1 - 1 0 0 2śł , b) .
�ł śł
�ł1 1 0 0 0 1śł
�ł 3 0 2 0 1 3śł
�ł �ł �ł0 2 1 0 0 0śł
�ł �ł
Zad. 8.
Rozwią\ układ równań.
x
ńł - y - 2z + 2t = -2
2x + 4 y + 7z - 4t = -6
ńł
�ł3 - 2 + 2z - 2t = -4
x y
�ł �ł
a) , b) 3x + 6y + 7z + t = 5 ,
�ł �ł
5x - 3y - z + t = 3
�ł �ł
x + 2y + 3z - t = -1
ół
�ł
2x + y - z + t = 1
ół
1 1 2 3 1 2 3 11 5 0
�ł łł �ł łł
�ł3 - 1 - 1 - 2 - 4śł �ł1 1 5 2 0śł
�ł śł �ł śł
c) , d) ,
�ł2 3 - 1 - 1 - 6śł �ł2 1 3 2 0śł
�ł1 2 3 - 1 - 4śł �ł1 1 3 4 0śł
�ł �ł �ł �ł
2
�ł - 2 1 - 1 1 x1 1
łł �ł łł �ł łł
T
x 2
�ł łł �ł - 1 1 1 1
łł �ł łł �ł łł
�ł1 2 - 1 1 - 2śł �łx śł �ł śł
1
2
�ł �ł- �ł1śł �ł2śł
�ł śł �ł śł �ł śł
e) = , f) yśł 4 -12 1śł = .
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł4 - 10 5 - 5 7 śł �łx3 śł �ł 1 śł
�ł 3 3 1śł �ł1śł �ł3śł
�ł2 - 14 7 - 7 11 śł �łx śł �ł- 1śł �ł z śł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł
�ł �ł �ł 4 �ł �ł �ł

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
M[1] 6 Uklad rownan liniowych
13 Uklad równan liniowych
układ równań liniowych wykład
Zestaw 1 Funkcja kwadratowa Funkcja homograficzna Równanie liniowe
uklady rownan liniowych
Zadania WYZNACZNIK UKLAD ROWNAN wer stud
4 uklady rownan liniowych
uklad rownan wyznacznik macierz odwrotna
t5 uklady rownan liniowych
BOiE układy równań liniowych
wykład 11 układy równań liniowych
01 oprac geometria równań liniowych
Równania liniowe rzędu pierwszego
Wykład 16 Równania liniowe

więcej podobnych podstron