Geometria równań liniowych
Piotr Michałek, Michał Kmiecik
2012-12-15
1
P. Michałek i Michał Kmiecik Geometria równań liniowych
I Układanie równania macierzowego
Niech jako przykład posłuży nam układ równań:

2x + 3y = 8
-3x - 8y = 0
Zapisujemy go jako:

2 3 x 8
=
-3 8 y 0
Gdzie naszą macierz będziemy oznaczać jako A, wektor rozwiązań to x, a prawa
strona równania to b. Całe równanie jest więc postawi Ax=b.
Wez
my trochę trudniejszy przykład.
Å„Å‚
3a
ôÅ‚ - c + d = 5
ôÅ‚
òÅ‚
b + 2c = 8
a + b
ôÅ‚ - d = 3
ôÅ‚
ół
2d = 15
Powyższy układ analogicznie zapiszemy jako:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 0 -1 1 a 5
ïÅ‚0 1 2 0 śł ïÅ‚bśł ïÅ‚ śł
8
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
=
ðÅ‚1 1 0 -1ûÅ‚ ðÅ‚cûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3
0 0 0 2 d 15
II Przedstawienie macierzy 2 na 2 w postaci wierszowej
Będziemy rozpatrywać taki układ równań:

x - 3y = 6
2x - y = 2

1 -3 x 6
=
2 -1 y 2
Wykresy tych równań przedstawione są na rysunku poniżej. Jak widać roz-
wiÄ…zanie to P=(0,-2)
Strona 1
P. Michałek i Michał Kmiecik Geometria równań liniowych
Możemy równień miec układ nieoznaczony

2x - 3y = 5
-4x + 6y = -10

2 -3 x 5
=
-4 6 y -10
Oba wiersze leżą na jednej prostej, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
III Przedstawienie macierzy 2 na 2 w postaci kolumnowej
Reprezentacja kolumnowa polega na przedstawieniu układu równań za pomocą
kombinacji liniowej kolumn macierzy.
Skorzystajmy z poprzedniego przykładu:

2 -3 x 5
=
-4 6 y -10
... jako kombinacja liniowa jest postaci

2 -3 5
x + y =
-4 6 -10
Pamiętamy, że równanie to było nieoznaczone. Jest tak dlatego, gdyż kolum-
ny macierzy A oraz wektor b leżą na jednej prostej. Innymi słowy są od siebie
zależne:
Strona 2
P. Michałek i Michał Kmiecik Geometria równań liniowych

2 -3
= -2/3
-4 6

5 2 -3
= -
-10 -4 6
Zmiana wektora b w taki sposób, aby stał się niezależny od kolumn macierzy
doprowadza do braku rozwiązań, ponieważ nie istnieje taka kombinacja liniowa
kolumn macierzy aby dawała wektor b. Równanie ma natomiast jedno rozwiąza-
nie, gdy wektory macierzy będą niezależne, tzn jesli np wektor [2,-4] pozostanie
bez zmian ( wtedy za ich pomocą można utworzyć dowolny wektor), to dru-
giego wektora nie będzie można przedstawić w żaden sposób za pomocą tego
pierwszego, czyli c*[2,-4]. Drugą kolumną macierzy może być zatem np. [2,5]
IV Analiza macierzy 4 na 4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 3 2 2 a b1
ïÅ‚2 1 2 4 śł ïÅ‚bśł ïÅ‚b2śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
=
ðÅ‚5 10 0 10ûÅ‚ ðÅ‚cûÅ‚ ðÅ‚b3ûÅ‚
6 2 0 12 d b4
Strona 3
P. Michałek i Michał Kmiecik Geometria równań liniowych
W układzie tym znajdują się cztery niewiadome, oznacza to że mamy do czy-
nienia z przestrzenią czterowymiarową. Każde równanie tego układu jest bryłą
trójwymiarową. Ze względu na wielowymiarowość przestrzeni nie będziemy się
zajmować reprezentacją wierszową. Zapiszmy równanie w reprezentacji kolum-
nowej :
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 3 2 2 b1
ïÅ‚2śł ïÅ‚ śł ïÅ‚2śł ïÅ‚ śł ïÅ‚b2śł
1 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a +b +c +d =
ðÅ‚5ûÅ‚ ðÅ‚10ûÅ‚ ðÅ‚0ûÅ‚ ðÅ‚10ûÅ‚ ðÅ‚b3ûÅ‚
6 2 0 12 b4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2
ïÅ‚2śł ïÅ‚ śł
4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Zauważmy, że wektory i , leżą na jednej prostej dlatego kolumny
ðÅ‚5ûÅ‚ ðÅ‚10ûÅ‚
6 12
macierzy A nie rozpinają całej przestrzeni czterowymiarowej, a tylko trójwy-
miarowÄ….
Wynika z tego fakt, iż równanie to ma jedynie rozwiązanie gdy wektor b leży w
tej przestrzeni trójwymiarowej ( jest kombinacją liniową niezależnych kolumn
macierzy ). Gdyby lezał poza nią, nie byłoby rozwiązań.
V.Mnożenie macierzy przez wektor
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 4 1
ðÅ‚2 3 8ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2
1 -4 6 -7
I SPOSÓB
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 4 1 " 0 2 " 1 -7 " 4 0 + 2 - 28
ðÅ‚2ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚8ûÅ‚ ðÅ‚1 ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚-7 ðÅ‚2
1 + 2 3 + -7 = " 2ûÅ‚ + 2 " 3 + " 8ûÅ‚ = + 6 - 56ûÅ‚
1 -4 6 1 " 1 2 " (-4) -7 " 6 1 - 8 - 42
îÅ‚ Å‚Å‚
-26
ðÅ‚-48ûÅ‚
=
-49
II SPOSÓB
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 0 " 1 + 1 " 2 - 7 " 4

ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚2
0 1 4 2 + 2 3 8 2 + 1 -4 6 2 = " 1 + 3 " 2 - 8 " 7ûÅ‚
-7 -7 -7 1 " 1 - 4 " 2 - 6 " 7
Strona 4
P. Michałek i Michał Kmiecik Geometria równań liniowych
îÅ‚ Å‚Å‚
-26
ðÅ‚-48ûÅ‚
=
-49
Strona 5