Geometria równań linowych ćwiczenia

Ćwiczenia z geometrii równań liniowych
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz
12 grudnia 2012
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 1 / 60
Ćwiczenie 1
Znajdz kombinację x1w1 + x2w2 + x3w3, która daje wektor zerowy.
�ł łł �ł łł �ł łł
2 8 9
�ł2�ł �ł �ł �ł �ł
w1 = w2 = 6 w3 = 4
2 10 14
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 2 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Aby znalezć odpowiednią kombinację tych wektorów,
posłużymy się metodą eliminacji Gaussa. Należy przedtem z podanych wektorów
utworzyć macierz.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 3 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Aby znalezć odpowiednią kombinację tych wektorów,
posłużymy się metodą eliminacji Gaussa. Należy przedtem z podanych wektorów
utworzyć macierz.
Otrzymujemy:
�ł łł
2 8 9
�ł2 �ł
W = 6 4
2 10 14
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 4 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
�ł łł
2 8 9
�ł2 �ł
W = 6 4
2 10 14
Następnie:
Pierwszy wiersz macierzy W pozostaje bez zmian:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 5 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
�ł łł
2 8 9
�ł2 �ł
W = 6 4
2 10 14
Następnie:
Pierwszy wiersz macierzy W pozostaje bez zmian:
�ł łł
2 8 9
�ł. . .�ł
. . .
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 6 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
�ł łł �ł łł
2 8 9 2 8 9
�ł2 �ł �ł.
W = 6 4 - > . .�ł
2 10 14 . . .
Następnie drugi wiersz macierzy W odejmiemy od pierwszego,
wynik zapiszemy w drugim wierszu:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 7 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
�ł łł �ł łł
2 8 9 2 8 9
�ł2 �ł �ł.
W = 6 4 - > . .�ł
2 10 14 . . .
Następnie drugi wiersz macierzy W odejmiemy od pierwszego,
wynik zapiszemy w drugim wierszu:
�ł łł
2 8 9
�ł0 2 5�ł
. . .
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 8 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
�ł łł �ł łł �ł łł
2 8 9 2 8 9 2 8 9
�ł2 �ł �ł. �ł0
W = 6 4 - > . .�ł - > 2 5�ł
2 10 14 . . . . . .
Trzeci wiersz macierzy W również odejmiemy od pierwszego,
a wynik zapiszemy w trzecim wierszu:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 9 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
�ł łł �ł łł �ł łł
2 8 9 2 8 9 2 8 9
�ł2 �ł �ł. �ł0
W = 6 4 - > . .�ł - > 2 5�ł
2 10 14 . . . . . .
Trzeci wiersz macierzy W również odejmiemy od pierwszego,
a wynik zapiszemy w trzecim wierszu:
�ł łł
2 8 9
�ł0 �ł
W = 2 5
0 -2 -5
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 10 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Co się stanie jeżeli drugi wiersz naszej
zredukowanej macierzy dodamy do trzeciego? Zobaczmy:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 11 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Co się stanie jeżeli drugi wiersz naszej
zredukowanej macierzy dodamy do trzeciego? Zobaczmy:
�ł łł
2 8 9
�ł0
W = 2 5�ł
0 0 0
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 12 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Trzeci wiersz się wyzerował! Co to może oznaczać?
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 13 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Trzeci wiersz się wyzerował! Co to może oznaczać?
Oznacza to, że nasza macierz została zbudowana z 3 wektorów,
z których 2 są zależne od 3-ego.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 14 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Wracając do naszego zadania... Wezmy zatem 2 ostatnie wiersze zredukowanej
macierzy W zanim ostatni wiersz został wyzerowany i przyrównajmy je do zera.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 15 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Wracając do naszego zadania... Wezmy zatem 2 ostatnie wiersze zredukowanej
macierzy W zanim ostatni wiersz został wyzerowany i przyrównajmy je do zera.

2x2 + 5x3 = 0
-2x2 - 5x3 = 0
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 16 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Jak widać, oba równania są sobie równe.
W tym momencie możemy stwierdzić, że rozwiązaniami układu równań są np.:
x1 = -11, x2 = 5 oraz x3 = -2
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 17 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Jak widać, oba równania są sobie równe.
W tym momencie możemy stwierdzić, że rozwiązaniami układu równań są np.:
x1 = -11, x2 = 5 oraz x3 = -2
Zatem
-11w1 + 5w2 - 2w3 = 0
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 18 / 60
Ćwiczenie 1 - Rozwiązanie
Jak widać, oba równania są sobie równe.
W tym momencie możemy stwierdzić, że rozwiązaniami układu równań są np.:
x1 = -11, x2 = 5 oraz x3 = -2
Zatem
-11w1 + 5w2 - 2w3 = 0
�ł łł �ł łł �ł łł
2 8 9
�ł-2�ł �ł=
-11�ł2�ł +5�ł 6 4 0
2 10 14

Ostatecznie uzyskujemy wektor v = -11 5 -2
Powstały wektor można dowolnie rozciągać, dlatego to tylko jedna z nieskończonej
ilości możliwości określenia jego składowych.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 19 / 60
Podsumowanie ćwiczenia 1:
Wniosek
Wektory składające się na macierz W są zależne, gdyż istnieje ich kombinacja
liniowa, która wyzeruje jej ostatni wiersz.
Mimo, że poszczególne wektory opisują przestrzeń, to tak naprawdę razem
wyznaczają płaszczyznę (w przestrzeni). Macierz zbudowana z wektorów
zależnych jest nieodwracalna.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 20 / 60
Ćwiczenie 2
Wykonaj mnożenie:
�ł łł �ł łł
3 7 -8 1
�ł4 0 2 �ł �ł2�ł
5 -3 0 3
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 21 / 60
Ćwiczenie 2
Mnożenie macierzy
Mnożenie macierzy nie jest skomplikowanym działaniem, lecz należy
pamiętać, że w ich przypadku nie zachodzi przemienność mnożenia
(AB = BA). W związku z tym muszą one spełnić pewien warunek. Ilość

kolumn macierzy pierwszej musi być równa ilości wierszy macierzy drugiej.
Jeśli ten warunek nie jest spełniony, ich pomnożenie nie będzie możliwe.
Jeżeli wprowadzimy oznaczenia dla wymiarów danych macierzy, otrzymamy:
m x n n x p
W wyniku wymnożenia macierzy o podanych wymiarach uzyskamy nową
macierz o wymiarach m x p
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 22 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
W naszym przypadku mamy do czynienia z macierzą 3 x 3 i 3 x 1 (wektor)
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 23 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
W naszym przypadku mamy do czynienia z macierzą 3 x 3 i 3 x 1 (wektor)
W wyniku ich mnożenia otrzymamy macierz (wektor) także 3 x 1
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 24 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
�ł łł �ł łł
3 7 -8 1
�ł4 0 2 �ł �ł2�ł
=
5 -3 0 3
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 25 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
�ł łł �ł łł
3 7 -8 1
�ł4 0 2 �ł �ł2�ł
=
5 -3 0 3
�ł łł
3 � 1 . .
�ł
. . .�ł
. . .
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 26 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
�ł łł �ł łł
3 7 -8 1
�ł4 0 2 �ł �ł2�ł
=
5 -3 0 3
�ł łł
3 � 1 +7 � 2 .
�ł
. . .�ł
. . .
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 27 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
�ł łł �ł łł
3 7 -8 1
�ł4 0 2 �ł �ł2�ł
=
5 -3 0 3
�ł łł
3 � 1 +7 � 2 -8 � 3
�ł �ł
. . .
. . .
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 28 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
�ł łł �ł łł
3 7 -8 1
�ł4 0 2 �ł �ł2�ł
=
5 -3 0 3
�ł łł
3 � 1 +7 � 2 -8 � 3
�ł+4 � 1 . . �ł
. . .
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 29 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
�ł łł �ł łł
3 7 -8 1
�ł4 0 2 �ł �ł2�ł
=
5 -3 0 3
�ł łł
3 � 1 +7 � 2 -8 � 3
�ł+4 � 1 +0 � 2 . �ł
. . .
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 30 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
�ł łł �ł łł
3 7 -8 1
�ł4 0 2 �ł �ł2�ł
=
5 -3 0 3
�ł łł
3 � 1 +7 � 2 +(-8) � 3
�ł+4 � 1 +0 � 2 +2 � 3 �ł
. . .
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 31 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
�ł łł �ł łł
3 7 -8 1
�ł4 0 2 �ł �ł2�ł
=
5 -3 0 3
�ł łł
3 � 1 +7 � 2 +(-8) � 3
�ł+4 � 1 +0 � 2 +2 � 3 �ł
+5 � 1 . .
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 32 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
�ł łł �ł łł
3 7 -8 1
�ł4 0 2 �ł �ł2�ł
=
5 -3 0 3
�ł łł
3 � 1 +7 � 2 +(-8) � 3
�ł+4 � 1 +0 � 2 +2 � 3 �ł
+5 � 1 -3 � 2 .
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 33 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Postępujemy wg danego schematu:
�ł łł �ł łł
3 7 -8 1
�ł4 0 2 �ł �ł2�ł
=
5 -3 0 3
�ł łł
3 � 1 +7 � 2 +(-8) � 3
�ł+4 � 1 +0 � 2 +2 � 3 �ł
=
+5 � 1 -3 � 2 +0 � 3
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 34 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Następnie sumujemy wartości w poszczególnych wierszach:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 35 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Następnie sumujemy wartości w poszczególnych wierszach:
�ł łł �ł łł
3 � 1 +7 � 2 -8 � 3 -7
�ł+4 � 1 +0 � 2 +2 � 3�ł = �ł �ł
.
+5 � 1 -3 � 2 +0 � 3 .
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 36 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Następnie sumujemy wartości w poszczególnych wierszach:
�ł łł �ł łł
3 � 1 +7 � 2 -8 � 3 -7
�ł+4 � 1 +0 � 2 +2 � 3�ł = �ł �ł
10
+5 � 1 -3 � 2 +0 � 3 .
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 37 / 60
Ćwiczenie 2 - Rozwiązanie
Następnie sumujemy wartości w poszczególnych wierszach:
�ł łł �ł łł
3 � 1 +7 � 2 -8 � 3 -7
�ł+4 � 1 +0 � 2 +2 � 3�ł = �ł �ł
10
+5 � 1 -3 � 2 +0 � 3 -1
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 38 / 60
Podsumowanie:
Wniosek:
Jak widać mnożenie macierzy przez wektor nie wymaga wielu obliczeń.
Niestety w przypadku mnożenia macierzy przez macierz sytuacja się nieco
komplikuje. Co prawda nie wzrasta poziom trudności obliczeń, lecz wzrasta
ich ilość. Im większe macierze tym większa liczba operacji arytmetycznych
potrzebnych do wykonania działania.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 39 / 60
Podsumowanie:
Wniosek:
Jak widać mnożenie macierzy przez wektor nie wymaga wielu obliczeń.
Niestety w przypadku mnożenia macierzy przez macierz sytuacja się nieco
komplikuje. Co prawda nie wzrasta poziom trudności obliczeń, lecz wzrasta
ich ilość. Im większe macierze tym większa liczba operacji arytmetycznych
potrzebnych do wykonania działania.
Rozwiążmy zatem bardziej skomplikowany przykład, który pokaże nam jak
dokonywać poszczególnych obliczeń, gdy zamiast wektora pojawi się inna macierz.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 40 / 60
Ćwiczenie 2a
Wykonaj mnożenie:
�ł łł

2 6
2 8 -1
�ł0 5 �ł
3 3 4
2 -8
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 41 / 60
Ćwiczenie 2a
Wykonaj mnożenie:
�ł łł

2 6
2 8 -1
�ł0 5 �ł
3 3 4
2 -8
Jaki będzie wymiar nowej macierzy?
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 42 / 60
Ćwiczenie 2a
Wykonaj mnożenie:
�ł łł

2 6
2 8 -1
�ł0 5 �ł
3 3 4
2 -8
Jaki będzie wymiar nowej macierzy?
Jeżeli przypomnimy sobie warunek jaki muszą spełnić macierze, aby dało się je
pomnożyć, szybko można stwierdzić, że będzie to macierz 3 x 3.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 43 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Sposobów mnożenia macierzy jest wiele. Ten, który zaprezentujemy może okazać
się prosty i łatwy w zrozumieniu, co nie daje gwarancji, że nie można znalezć
jeszcze prostszego. Każdy powinien dobrać sposób indywidualnie.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 44 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Sposobów mnożenia macierzy jest wiele. Ten, który zaprezentujemy może okazać
się prosty i łatwy w zrozumieniu, co nie daje gwarancji, że nie można znalezć
jeszcze prostszego. Każdy powinien dobrać sposób indywidualnie.
Rozbijemy zatem nasze działanie na
sumę dwóch iloczynów dwóch innych macierzy (wektorów).
�ł łł �ł łł
2 6

�ł0�ł �ł �ł
� 2 8 -1 + 5 � 3 3 4
2 -8
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 45 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Sposobów mnożenia macierzy jest wiele. Ten, który zaprezentujemy może okazać
się prosty i łatwy w zrozumieniu, co nie daje gwarancji, że nie można znalezć
jeszcze prostszego. Każdy powinien dobrać sposób indywidualnie.
Rozbijemy zatem nasze działanie na
sumę dwóch iloczynów dwóch innych macierzy (wektorów).
�ł łł �ł łł
2 6

�ł0�ł �ł �ł
� 2 8 -1 + 5 � 3 3 4
2 -8
Jak się okazuje nowe macierze (wektory) są tworzone przez odpowiednie wiersze
i kolumny poszczególnych macierzy danych w zadaniu.
�ł łł

2 6
2 8 -1
�ł0 �ł
=> 5
3 3 4
2 -8
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 46 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Otrzymujemy:
�ł łł �ł łł
2 � 2 2 � 8 2 � -1 6 � 3 6 � 3 6 � 4
�ł0 � 2 0 � 8 0 � -1�ł + �ł �ł
5 � 3 5 � 3 5 � 4 =
2 � 2 2 � 8 2 � -1 -8 � 3 -8 � 3 -8 � 4
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 47 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Otrzymujemy:
�ł łł �ł łł
2 � 2 2 � 8 2 � -1 6 � 3 6 � 3 6 � 4
�ł0 � 2 0 � 8 0 � -1�ł + �ł �ł
5 � 3 5 � 3 5 � 4 =
2 � 2 2 � 8 2 � -1 -8 � 3 -8 � 3 -8 � 4
Po zsumowaniu wartości w wierszach otrzymamy końcowy wynik:
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 48 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie
Otrzymujemy:
�ł łł �ł łł
2 � 2 2 � 8 2 � -1 6 � 3 6 � 3 6 � 4
�ł0 � 2 0 � 8 0 � -1�ł + �ł �ł
5 � 3 5 � 3 5 � 4 =
2 � 2 2 � 8 2 � -1 -8 � 3 -8 � 3 -8 � 4
Po zsumowaniu wartości w wierszach otrzymamy końcowy wynik:
�ł łł
22 34 22
�ł �ł
= 15 15 20
-20 -8 -34
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 49 / 60
Podsumowanie:
Wniosek:
Takie rozbijanie działania oczywiście nie jest potrzebne. Dokonując go jednak
łatwo zauważyć, że pierwsza kolumna macierzy pierwszej mnoży się tylko i
wyłącznie z pierwszym wierszem macierzy drugiej. Natomiast druga kolumna
macierzy pierwszej mnoży się tylko z drugim wierszem macierzy drugiej.
Wyniki się dodaje, tworząc w ten sposób nową macierz.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 50 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie cd.
Dane macierze można wymnożyć także bezpośrednio.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 51 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie cd.
Dane macierze można wymnożyć także bezpośrednio.
Otrzymujemy:
�ł łł

2 6
2 8 -1
�ł0 5 �ł
=
3 3 4
2 -8
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 52 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie cd.
Dane macierze można wymnożyć także bezpośrednio.
Otrzymujemy:
�ł łł �ł łł

2 6 (2 � 2 + 6 � 3) (2 � 8 + 6 � 3) (2 � (-1) + 6 � 4)
2 8 -1
�ł0 5 �ł �ł(0
= � 2 + 5 � 3) (0 � 8 + 5 � 3) (0 � (-1) + 5 � 4)�ł =
3 3 4
2 -8 (2 � 2 - 8 � 3) (2 � 8 - 8 � 3) (2 � (-1) - 8 � 4)
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 53 / 60
Ćwiczenie 2a - Rozwiązanie cd.
Dane macierze można wymnożyć także bezpośrednio.
Otrzymujemy:
�ł łł �ł łł

2 6 (2 � 2 + 6 � 3) (2 � 8 + 6 � 3) (2 � (-1) + 6 � 4)
2 8 -1
�ł0 5 �ł �ł(0
= � 2 + 5 � 3) (0 � 8 + 5 � 3) (0 � (-1) + 5 � 4)�ł =
3 3 4
2 -8 (2 � 2 - 8 � 3) (2 � 8 - 8 � 3) (2 � (-1) - 8 � 4)
�ł łł
22 34 22
�ł �ł
= 15 15 20
-20 -8 -34
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 54 / 60
Podsumowanie ćwiczenia 2
Własności mnożenia macierzy
Mnożenie macierzy nie jest przemienne AB = BA (za wyjątkiem macierzy

diagonalnych, równego stopnia).
Aby macierze można było mnożyć,
ich wymiary muszą spełnić warunek: m x n n x p .
Jeżeli ten jest spełniony, w wyniku otrzymamy macierz m x p.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 55 / 60
Ćwiczenie 3
Ćwiczenie sprawdzające
Czy podane zdania są prawdziwe? Odpowiedz uzasadnij. W przypadku fałszu
podaj prawidłowo brzmiące zdanie.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 56 / 60
Ćwiczenie 3
Ćwiczenie sprawdzające
Czy podane zdania są prawdziwe? Odpowiedz uzasadnij. W przypadku fałszu
podaj prawidłowo brzmiące zdanie.
1
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 pomnożona przez macierz o wymiarze
2 x 4 daje w wyniku macierz 4 x 2.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 57 / 60
Ćwiczenie 3
Ćwiczenie sprawdzające
Czy podane zdania są prawdziwe? Odpowiedz uzasadnij. W przypadku fałszu
podaj prawidłowo brzmiące zdanie.
1
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 pomnożona przez macierz o wymiarze
2 x 4 daje w wyniku macierz 4 x 2.
Nie, ponieważ podanych macierzy nie da się pomnożyć (nie zgadzają się ilości
wierszy oraz kolumn). Prawidłowe zdanie:
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 nie może być pomnożona przez macierz o
wymiarze 2 x 4.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 58 / 60
Ćwiczenie 3
Ćwiczenie sprawdzające
Czy podane zdania są prawdziwe? Odpowiedz uzasadnij. W przypadku fałszu
podaj prawidłowo brzmiące zdanie.
1
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 pomnożona przez macierz o wymiarze
2 x 4 daje w wyniku macierz 4 x 2.
Nie, ponieważ podanych macierzy nie da się pomnożyć (nie zgadzają się ilości
wierszy oraz kolumn). Prawidłowe zdanie:
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 nie może być pomnożona przez macierz o
wymiarze 2 x 4.
1
Macierz 3 x 4 razy macierz 4 x 2 daje w wyniku macierz o wymiarach 3 x 2.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 59 / 60
Ćwiczenie 3
Ćwiczenie sprawdzające
Czy podane zdania są prawdziwe? Odpowiedz uzasadnij. W przypadku fałszu
podaj prawidłowo brzmiące zdanie.
1
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 pomnożona przez macierz o wymiarze
2 x 4 daje w wyniku macierz 4 x 2.
Nie, ponieważ podanych macierzy nie da się pomnożyć (nie zgadzają się ilości
wierszy oraz kolumn). Prawidłowe zdanie:
Macierz kwadratowa o wymiarze 4 x 4 nie może być pomnożona przez macierz o
wymiarze 2 x 4.
1
Macierz 3 x 4 razy macierz 4 x 2 daje w wyniku macierz o wymiarach 3 x 2.
Jest to prawda. Macierze mogą być pomnożone, bo zgadza się ilość kolumn
pierwszej i ilość wierszy drugiej. W wyniku otrzymamy macierz 3 x 2.
Przemysław Smokowski i Radosław Wojdanowicz Ćwiczenia z geometrii równań liniowych 12 grudnia 2012 60 / 60

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Ludwika Kaczmarek Rownania rozniczkowe cwiczenia
01 oprac geometria równań liniowych
Równania Różniczkowe Ćwiczenia
Geometria analityczna cwiczenia
Cwiczenia rownanie charakterystyczne
Ćwiczenie nr 1 [geometria]
Ćwiczenie nr 3 [geometria]
cwiczenie 1 geometria
geometria wykreslna cwiczenia lista zadan
geometria wykreslna cwiczenia 10
Geometria ćwiczenia
cwiczenie 9 geometria
ZARZĄDZANIE FINANSAMI cwiczenia zadania rozwiazaneE

więcej podobnych podstron