0. Informacje o prowadzÄ…cym i literatura
Marek DÅ‚ugosz ([e-mail])
Konsultacje: Åšroda 12.00 - 13.30. B1/p.303
Polecana literatura:
 Analiza Matematyczna w zadaniach Tom 2 - Krysicki, WÅ‚odarski.
1 Równania różniczkowe I rzędu (28 II)
Różne zapisy równań
dy(t)
= y(t) (1)
dt
Ź = y (2)
y = y (3)
F (y, Ź, t) = 0 (4)
RozwiÄ…zywanie
dy
Tak wiÄ™c mamy = ky, a wiÄ™c y(t) = c · ekt co jest postaciÄ… rozwiÄ…zania
dt
ogólnego. Wszystkie zadania opierają się na tym wzorze.
Zadanie 1. Brak treści.
Dane:
di i
R = -
dt c
R = 1k&!
C = 10-9F
t0 = 0
uc(t0) = 10V
RozwiÄ…zanie:
di i
Z rozwiązania ogólnego wynika, że = - , co po dalszym przekształceniu
dt Rc
-t
Rc
przyjmuje postać i(t) = c · e .
Podstawiając pod t znaną nam wartość t0 otrzymujemy i(t0) = c.
u(t)
Z wzoru na natężenie wiemy, że i(t) = , a więc w naszym przypadku i(t0) =
R
u(t0)
= 0, 01A.
R
-6
Teraz już tylko podstawiajÄ…c i(t) = 10-2 · e-10 t[A].
Zadanie 2. Obliczyć czas rozpadu połowicznego radu.
Dane:
dy
= ky
dt
k H" -1, 4 · 10-11 1
sec
y0 = 2g
Rozwiazanie:
1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE I RZ
DU (28 II)
PomijajÄ…c już pierwsze przeksztaÅ‚cenie otrzymujemy y = c · ekt.  Gdy czas dla
y0 nie jest podany to w 99% przypadków można przyjąć, że t0 = 0 - Długosz.
Idąc za tym sformułowaniem otrzymujemy y0 = c = 2g.
-11
PodstawiajÄ…c do wzoru na y nowÄ… wartość c otrzymujemy y = 2g · e-1,4·10 t.
1
1
2
Oczywistym jest, że dla połowicznego rozpadu ekt = , stąd dalej ekt = eln .
2
1
Porównując jedynie potęgi otrzymujemy kt = ln , co po podstawieniu daje
2
1
ln
2
t = sekund, czyli około 1569 lat.
k
Zadanie 3. Obliczyć niezbędną populację początkowąa, aby w.w. rozrosła się
do 100 osobników.
Dane:
y(2) = 100
k = 1
RozwiÄ…zanie:
Mamy obliczyć y(0), a więc od razu otrzymujemy stałą y(0) = c. Jako, ze k = 1
to wiemy również, że y(2) = c · e2, co jest równoważne zapisowi y(2) = y(0) · e2.
Dalej już chyba nie trzeba tłumaczyć.
Zadanie 4. Populacja pewnego gatunku po jednym dniu rozrosła się dwu-
krotnie. Obliczyć jak rozrośnie się po tygodniu.
Dane:
y(1) = 2y(0)
RozwiÄ…zanie:
Bez zbÄ™dnego tÅ‚umaczenia y(1) = 2y(0) = y(0) · ek·1, czyli ek = 2.
y(7) = y(0) · ek"7 = y(0) · (ek)7 = y(0) · 27.
Populacja po tygodniu rozrośnie się 128-krotnie.
Zadanie 5. Ciśnienie na 6000 m.n.p.m. jest dwukrotnie niższe niż na wyso-
kości morza. Obliczyć stałą k.
Dane:
1
y(6000) = y(0)
2
RozwiÄ…zanie:
2y(6000) = y(0) = k, czyli y(6000) = 2y(6000) · e6000k, po skróceniu y(6000)
1 1
pozostaje 1 = 2e6000k. = e6000k, co jest równoważne ln = 6000k. Dalszą
2 2
część sobie daruje.
2 Notatki Jakuba Hyła
2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE II RZ
DU (14 II)
2 Równania różniczkowe II rzędu (14 II)
2.1 Ważne wzory
Wielomianem charakterystycznym równania różniczkowego ay + by + cy = 0
jest ar2 + br + c = 0
Wyznaczanie równania szczegółowego dzieli się na 3 przypadki:
1 2
r1 = r2 y(t) = c1er ·t + c2er ·t (5)

r1 = r2 y(t) = c1ert + c2tert (6)
r1,2 = p Ä… iq y(t) = c1ept · cos(qt) + c2ept · sin(qt) (7)
2.2 Zadania
Zadanie 1. Wyznacz równanie szczegółowe.
Dane:
y + 5y + 6y = 0
y(0) = 2, y (0) = 3
RozwiÄ…zanie:
Wyznaczanie wielomianu charakterystycznego (CP): v2 + 5v + 6 = 0
Wyznaczenie r1 i r2 (z "): r1 = -3, r2 = -2
Jako, że r1 = r2 to używamy wzoru 5: y(t) = c1e-2t + c2e-3t

Następnie podstawiamy t=0, aby otrzymać pierwsze równanie niezbędne do roz-
wiązania zadania: y(0) = c1 + c2 = 2, ostatnia równość wynika z faktu, że dane
do zadania podają nam, że y(0) = 2
Teraz liczymy pochodną funkcji y(t) i również przyrównujemy do danych z za-
dania dla argumentu 0: y (0) = -2c1 - 3c2 = 3.
Rozwiązując układ złożony z tych dwóch równań otrzymujemy, że c1 = 9, a
c2 = -7, tak więc równanie szczegółowe to
y(t) = 9e-2t - 7e-3t
.
Zadanie 2. Wyznaczyć równanie szczegółowe.
Dane:
1
y + y + y = 0
4
1
y(0) = 2, y (0) =
3
RozwiÄ…zanie:
1
Podobnie jak w powyższym napierw wyznaczamy CP: r2 + r + = 0
4
1
Teraz r1 i r2: r1 = r2 =
2
t t
2 2
Skoro r1 = r2 to używamy wzoru 6: y(t) = c1e + c2te
Podstawiąjąc do równania t=0 otrzymujemy y(0) = c1 = 2
3 Notatki Jakuba Hyła
2.2 Zadania 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE II RZ
DU (14 II)
Liczymy pochodną z y(t) (Należy pamietać, że w drugim członie jest iloczyn
1
dwóch funkcji zależnych od t), podstawiamy t=0 i otrzymujemy: y (0) = c1 +
2
1
c2 =
3
Z powyższego wynika, że c1 = 2, a c2 = -2
3
Tak więc równanie szczegółowe to
t 2 t
2 2
y(t) = 2e - te
3
Zadanie 3. Wyznaczyć równanie szczegółowe.
Dane:
y + y + y = 0
y(0) = 1, y (0) = -1
RozwiÄ…zanie:
Postępując analogicznie jak powyżej otrzymujemy CP: r2 + r + 1 = 0
"
-1Ä… 3
Zatem r1 i r2 to
2
"
1 3
Co za tym idzie p = - , a q =
2 2
" "
1 1
t 3 3
Stosując wzór 7 otrzymujemy y(t) = c1e- 2
· cos( t) + c2e- 2
· sin( t)
2 2
Podstawiąjać t=0 otrzymujemy y(0) = c1 = 1
Licząc pochodną tej funkcji należy zwrócić uwagę, że każdy człon jest iloczynem
dwóch funkcji zależnych od t, więc powstanie suma czterech członów w pochod-
nej
"
1 3
PodstawijÄ…c t=0 do y (t) otrzymujemy y (0) = - + c2 = -1 RozwiÄ…zujÄ…c
"2 2
3
układ równań otrzymujemy c1 = 1 oraz c2 = - Równanie szczegółowe ma
3
więc postać
" " "
1 3 3 1 3
2 2
y(t) = e- t · cos( t) - e- t · sin( t)
2 3 2
Zadanie 4. Wyznaczyć równanie różniczkowe na podstawie równania charak-
terystycznego y(t) = c1e2t + c2e-3t.
RozwiÄ…zanie:
Na pierwszy rzut oka widać, że r1 = 2, a r2 = -3, tak więc wystarczy wyzna-
czyć CP (r - 2)(r + 3) = 0 r2 + r - 6 = 0, a następnie otrzymać z tego
równanie różniczkowe y + y - 6y = 0. Cała filozofia.
Zadanie 5. Wyznacz równanie szczegółowe.
Dane:
y + 3y = 0
y(0) = -2, y(0) = 3
Rozwiazanie:
CP: r2 + 3r = 0, więc r1 = 0, r2 = -3
Tak więc równanie charakterystyczne to y(t) = c1 + c2e-3t
Następnie podstawiamy t=0 i otrzymujemy y(0) = c1 + c2 = -2
4 Notatki Jakuba Hyła
2.2 Zadania 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE II RZ
DU (14 II)
Pochodna z y(t) to y (t) = -3c2 · e-3t, wiÄ™c y (0) = -3c2 = 3
Co za tym idzie: c2 = -1, c1 = -1, więc nasze równanie szczegółowe ma postać
y(t) = -1 - e-3t
Zadanie 6. Wyznaczyć wartość ą taką, aby przy t " wartość równania
charakterystycznego zmierzało do 0.
Dane:
y - y - 2y = 0
y(0) = Ä…, y (0) = 2
RozwiÄ…zanie:
CP: r2 - r - 2 = 0
Co implikuje r1 = -1, r2 = 2
Równanie charakterystyczne wygląda następująco y(t) = c1e-t + c2e2t
Zauważmy, że pierwsza część sumy zmierza do zera, zaś druga zmierza do nie-
skończoności (i to w dodatku z tempem szybszym niż pierwsza cześć), tak więc
jedynym sposobem, aby równanie szczegółowe zmierzało do zera jest ustawienie
c2 = 0 powodując, że tylko pierwsza część równania będzie znacząca.
Podstawiając t = 0 do równania charakterystycznego otrzymujemy y(0) =
c1 + c2 = Ä…, zaÅ› podstawiajÄ…c do pochodnej otrzymujemy y (0) = -c1 + 2c2 = 2
Jeżeli c2 = 0 to c1 +2c2 = c1, oraz c1 +c2 = c1, więc łącząc równania otrzymane
z y(0) oraz y (0) dostajemy Ä… = 2.
5 Notatki Jakuba Hyła