Zad. Wektor u = [3,-4,5] zaczepiono w punkcie A = (2,-2,5). Znajdz
współrzędne końca tego wektora.
B = (5,-8,10).
2Ä„
(3a )(a )
Zad. Wektory a i b tworzÄ… kÄ…t . WiedzÄ…c, \
e a = 3 i b = 4 oblicz - 2b + 2b . -61
3
Zad. Oblicz iloczyny skalarne:
a) [2,-3] [5,4]
b) [1,-1] [-2,5]
c) [2,0] [1,73]
d) [2,0] [0,-7]
e) [2,3,4] [-1,2,-3]
f) [1,0,-2] [0,1,3]
g) [4,-2,8] [3,2,-1]
h) [-1,2,-3] [2,0,-1] 1
i) [ 2, 3, 5] [ 8,- 27,0] -5
u
( )
Zad. Obliczyć kąt między wektorami: cos u,v = v
u v
Ä„
a) u = [3,-1,2]; v = [4,2,-5]
2
Ä„
b) u = [3,-1,2]; v = [1,2,3]
3
Zad. Iloczyn mieszany
x1 y1 z1
(u )
( )
u,v, w = × v w = x2 y2 z2
x3 y3 z3
Obliczyć iloczyny mieszane podanych trójek wektorów:
a) a = [0,1,-1]; b = [1,-2,-3]; c = [1,5,0]; -10
b) a = [-1,4,2]; b = [1,-2,-3]; c = [-1,4,-2]; 0
c) a = [1,1,0]; b = [0,1,1]; c = [1,0,1]; 2
d) a = [-2,1,3]; b = [4,3,-1]; c = [1,0,-2]; 10
e) a = [1,4,-1]; b = [3,2,0]; c = [0,0,-3]; 30
Zad. Znajdz
iloczyn skalarny wektorów AB i CD, je\
eli A = (2,1,-3), B = (1,3,0), C = (-1,2,3), D = (1,3,2).
AB = [-1,2,3] i CD = [2,1,-1], AB CD = -3
Zad. Znajdz
koniec wektora o długości 3 i początku A = (6,4,-2) równoległego do wektora u = [4,2,-4] ale
majÄ…cego przeciwny zwrot.
Zad. Znajdz
wartości m, przy których wektory
a) a = [m,m +1,-1] i b = [m - 2,m -1,11] m1 = 3,m2 = -2
1 1
b) a = [1+ m,2m] i b = [1- m,-4m] m1 = ,m2 = -
3 3
są prostopadłe.
îÅ‚1,1- 2 2 Å‚Å‚
Zad. Znajdz
kąt między wektorami a = [1,1,1] i b = ,1+ 30
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 2 2 ûÅ‚
Wskazówka: korzystając z definicji iloczynu skalarnego bądz
wektorowego,
1
 np. jeÅ›li a = a1,a2,a3 , b = b1,b2,b3 a b = a Å" b Å" cos(a, b)
[ ] [ ]
a1b1 + a2b2 + a3b3
a b
a stÄ…d cos(a, b) = =
2 2 2 2 2 2
a Å" b a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3
Zad. Znajdz
kąty trójkąta ABC o wierzchołkach: A = (3,1), B = (2,3), C = (1,0). 45 ,45 ,90
Zad. Napisz równanie prostej prostopadłej do wektora [-3,5] i przechodzącej przez punkt M = (2,-3).
-3x + 5y + 31 = 0
Prosta równoległa do wektora u = [a,b,c] i przechodząca przez punkt A = x1, y1, z1 ma równanie parametryczne:
( )
x = x1 + at
Å„Å‚
ôÅ‚y = y1 + bt
òÅ‚
ôÅ‚
ółz = z1 + ct
x - x1 y - y1 z - z1
Je\
eli abc `" 0 , to jest to równowa\
ne temu, \
e = =
a b c
Wektor u = [a,b,c] nazywamy wektorem kierunkowym prostej. Kąt pomiędzy dwoma prostymi w przestrzeni to
kąt między ich wektorami kierunkowymi.
Prosta przechodzÄ…ca przez punkty A = x1, y1, z1 , B = x2, y2, z2
( ) ( )
x - x1 y - y1 z - z1
x2 - x1 = y2 - y1 = z2 - z1
Wektory prostopadłe do płaszczyzny nazywa się jej wektorami normalnymi.
Równanie ogólne płaszczyzny
Ax + By + Cz + D = 0
gdzie [A,B,C] jest wektorem prostopadłym do niej (normalnym)
Odległość punktu od płaszczyzny
Ax1 + By1 + Cz1 + D
d =
2
A2 + B2 + C
Płaszczyzna przechodząca przez punkt P0 = x0, y0, z0 i prostopadła do wektora u = [A, B,C] ma równanie
( )
A x - x0 + B y - y0 + C z - z0 = 0
( ) ( ) ( )
Dwie płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 i A' x + B ' y + C ' z + D = 0 są równoległe wtedy i tylko wtedy, kiedy ich
wektory normalne u = [A, B,C] i v = [A', B ',C '] są równoległe, czyli gdy istnieje liczba t taka, \
e
A' B ' C '
A' = At B ' = Bt C ' = Ct Ô! = =
A B C
Zad. Znajdz
odległość płaszczyzny 2x - 4y + 4z - 3 = 0 od początku układu współrzędnych.
RozwiÄ…zanie:
tj. odległość punktu (0,0,0) od płaszczyzny :
D 3 3 1
d = = = =
2
6 2
4 +16 +16
A2 + B2 + C
2
Zad. Napisz równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej wyznaczonej przez punkty M = (2,-3,1) oraz
N = (-1,2,4), przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
RozwiÄ…zanie:
Równanie prostej przechodzącej przez punkty MN :
y + 3 -1
x - 2 z
= =
-1- 2 2 + 3 4 -1
1 1 1
(x ) (z
- - 2 = y + 3 = -1)
( )
3 5 3
-5x +10 - 3y - 9 - 5z + 5 = 0 5x + 3y + 5z - 6 = 0 Ò! u = [5,3,5] Ò! 5x + 3y + 5z = 0
Zad. Znajdz
równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty:
K = (1,1,5), M = (-1,1,1), N = (2,0,4).
RozwiÄ…zanie:
Podstawiając za zmienne x, y, z współrzędne punktów K, M, N i rozwiązując układ równań o niewiadomych
A, B,C, D znajdziemy równanie ogólne płaszczyzny: Ax + By + Cz + D = 0
Å„Å‚
ôÅ‚A + B + 5C + D = 0
òÅ‚-A + B + C + D = 0
ôÅ‚
ół2A + 4C + D = 0
Uwaga: Trzy równania cztery niewiadome!! Przyjmijmy więc np. D =1. Ale to prowadzi do sprzeczności, zatem
niech D = 0
Å„Å‚
ôÅ‚A + B + 5C = 0
òÅ‚-A + B + C = 0
ôÅ‚
ół2A + 4C = 0
PrzyjmujÄ…c dalej np. C = -1 Ò! A = 2, B = 3
StÄ…d 2x + 3y - z = 0
Zad. Znajdz
odległość punktu P od płaszczyzny danej równaniem:
a) P = (5,-1,-6) 3x - 4y +12z -12 = 0 d = 5
41
b) P = (3,5,-8) 6x - 3y + 2z - 28 = 0 d =
7
13
c) P = (1,3,-2) 2x - 3y + 4z +12 = 0 d =
29
Zad. Znajdz
odległość punktu M = (3,4,-2) od płaszczyzny danej równaniem:
a) x - 2y + 2z + 24 = 0 d = 5
b) 6x - 3y - 2z + 4 = 0 d = 2
c) 4x - 4y - 7z =10 d = 0
Zad. Znajdz
wektor o długości 1 prostopadły do płaszczyzny x + y - z - 2 = 0.
Rozwiązanie: wektor normalny do płaszczyzny: u = [1,1,-1]
Szukamy wektora do niego równoległego o długości 1:
3
Zad. Znajdz
równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty:
a) O = (0,0,0), P = (4,-2,1), Q = (2,4,-3). x + 7y +10z = 0
b) O = (1,2,1), P = (0,3,0), Q = (1,1,1). A = - C, B = D = 0 Ò! np. x - z = 0
{ }
Zad. Napisać równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P = (-1,0,3) i równoległej do wektora
u = [2,-1,5]
Zad. Obliczyć odległość punktu
P = (5,-1,6) od płaszczyzny Ą : 3x - 4y + 12z - 12 = 0;
P = (3,-2,1) od płaszczyzny Ą: 2x - y + 3z = 0.
Zad. Dane są wektory u = [5,-3,4], v = [2,1,-2], w = [1,1,2]. obliczyć:
(u )× (u ),
u v, v × w, × v w, v × w w× u , w× u × v
Zad. Dane są wektory u = [-1,0,2], v = [2,3,5], w = [1,-1,2]. obliczyć:
a) 2u - 3v + 4w
(5v )
b) u × - 3w
(2u )
c) u + 4w
( )
d) u v sin u,v
( )
e) u w cos u, w
4