ZESTAW
GEOMETRIA ANALITYCZNA
1. Napisać równanie ogólne i parametryczne płaszczyzn spełniających podane warunki:
a) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, -2, 0) i jest prostopadła do wektora
= (0, -3, 2);
n
b) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, -1, 3) i jest równoległa do wektorów
= (1, 1, 0), = (0, 1, 1);
a b
c) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (2, 3, -6) i jest prostopadła do płaszczyzn
Ä„1 : x + y + z - 5 = 0, Ä„2 : x - y + 2 = 0;
2. Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostych spełniających podane warunki:
a) prosta przechodzi przez punkty P1 = (-1, 1, 0), P2 = (0, 3, -2);
b) prosta przechodzi przez punkt P = (0, -2, 3) i jest prostopadła do płaszczyzny Ą :
3x - y + 2z - 6 = 0;
-

c) prosta przechodzi przez punkt P = (-3, 5, 2) i jest równoległa do wektora v =
(2, -1, 3);
3. Sprawdzić czy wektory = (1, -1, 2), = (0, 4, -1), = (2, 2, 3) są współpłaszczyzno-
a b c
we.
4. Znalez
ć punkt symetryczny do punktu P = (0, 1, 3) względem punktu S = (1, 0, -1);
5. Dane są dwa wzajemnie prostopadłe wersory p i Obliczyć:
q.
a) pole równoległoboku zbudowanego na wektorach = 3 - = 5 + 2 oraz obie
u p q, v p q
wysokości tego równoległoboku;
b) pole trójkąta zbudowanego na wektorach = 3 i = p - 2
u p v q;
6. Sprawdz
czy wielomiany w1(x) = 1, w2(x) = 2x oraz w3(x) = x2 - 5 tworzÄ… bazÄ™ prze-
strzeni wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
7. Dla jakich wartości parametrów k, p płaszczyzny x + ky - z - 6 = 0, px + y - kz + 3 = 0
są równoległe?
8. Obliczyć miarę kąta między płaszczyznami
Ä„1 : 2x - 2y + 3z - 5 = 0
1
Ä„2 : 2x + y - z + 3 = 0.
9. Obliczyć odległość
x-1 y+1 x x y-1 z-3
a) prostych równoległych l1 : = = , l2 : = = ;
1 2 -1 -2 -4 2
b) prostej
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 2 + t
òÅ‚
l : y = -3 + 2t, t " R
ôÅ‚
ół
z = 2 - t
od płaszczyzny Ą : 2x + y + 4z = 0.
2
Odpowiedzi:
zad 1.
a) 3y - 2z + 6 = 0, (x, y, z) = (1, -2, 0) + s(1, 0, 0) + t(0, 2, 3), gdzie t, s " R
b) x - y + z - 5 = 0, (x, y, z) = (1, -1, 3) + s(1, 1, 0) + t(0, 1, 1), gdzie t, s " R
c) x + y - 2z - 17 = 0, (x, y, z) = (2, 3, -6) + s(1, -1, 0) + t(0, 2, 1), gdzie t, s " R
zad 2.
x+1 y-1 z
a) (x, y, z) = (-1, 1, 0) + t(1, 2, -2), gdzie t " R, = =
1 2 -2
x y+2 z-3
b) (x, y, z) = (0, -2, 3) + t(3, -1, 2), gdzie t " R, = =
3 -1 2
x+3 y-5 z-2
c) (x, y, z) = (-3, 5, 2) + (2, -1, 3)t, gdzie t " R, = =
2 -1 3
zad 4.

P = (2, -1, -5);
zad 5.
11 11
" "
Pole równoległoboku wynosi 11[j2], h1 = , h2 = . Pole trójkąta wynosi 3[j2];
10 29
zad.6.
tak;
zad.7.
p=1,k=1;
zad.8.
"
- 102
Ä… = arccos ;
102
zad
"
"9.
a) 14 b)9 21.
21
3