mgr Adam Marszałek
Zakład Inteligencji Obliczeniowej
Instytut Informatyki PK
Algebra z geometrią: Lista nr 2
Geometria analityczna w R2 i R3
Zad.1. Obliczyć długość wysokości rombu, mając dane dwa jego przeciwległe wierzchołki
"
A(2, -1), C(-4, 3) i długość boku równą 5 2.
Zad.2. Dana jest prosta 2x - y + 3 = 0. Sprawdzić, które z punktów A(2, 1), B(-1, -4),
C(-1, 1) leżą na danej prostej.
Zad.3. Napisać równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i two-
3
rzącej z osią Ox kąt Ą.
4
Zad.4. Napisać równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkt P i prostopadlej do wek-
tora n, jeżeli
1. P (3, 1), n = [-2, 2],
2. P (-4, 1), n = [2, 1],
Zad.5. Dane są równania boków trójkąta
AB : 2x - y + 2 = 0, BC : x - y = 0, AC : x + y - 2 = 0.
Znalez
ć współrzędne wierzchołków.
Zad.6. Proste x = -1 i x = 3 przecinają prostą y = 2x - 1 w punktach A i B. Znalez
ć
-
współrzędne wektora AB.
Zad.7. Przez punkt A(2, 1) poprowadzić prostą tak, aby punkt A był środkiem odcinka za-
wartego między prostymi 2x + y = 0 i x - y - 2 = 0.
Zad.8. Znalez
ć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2, 4) i prostopadłej do prostej
2x + y - 2 = 0.
Zad.9. Dla jakiej wartości parametru m proste (m-1)x+my-5 = 0, mx+(2m-1)y-10 = 0
przecinają się w punkcie leżącym na osi Ox.
Zad.10. Dane są dwie proste 3x-y-4 = 0, 2x+6y+3 = 0. Znalez
ć równanie dwusiecznej tego
kąta zawartego między danymi prostymi, w którym leży poczatek układu współrzędnych.
Zad.11. Znalez
ć równanie płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych,
mając dany wektor normalny tej płaszczyzny n = [3, 2, -5].
Zad.12. Dla jakich wartości parametrów m i k płaszczyzny 4x - 3y + 6kz - 8 = 0 oraz
2mx + y - 4z + 4 = 0 są równoległe.
Zad.13. Dla jakiej wartości parametru m płaszczyzny 7x-2y-z = 0 oraz mx+y-3z-1 = 0
są prostopadłe.
Zad.14. Napisać równanie prostej (w R3) przechodzącej przez punkt A(2, -1, 1) i równoległej
do wektora [3, 2, -2].
Zad.15. Znalez
ć kąt między prostymi
3x - 4y - 2z = 0 4x + y - 6z - 2 = 0
l1 : i l2 :
2x + y - 2z = 0 y - 3z + 2 = 0
Zad.16. Znalez
ć środek okręgu wpisanego w trójkąt o bokach x + y + 12 = 0, 7x + y = 0,
7x - y + 28 = 0.
Zad.17. Przez punkt przecięcia prostych x + 2y - 11 = 0, 2x - y - 2 = 0 poprowadzić prostą
odległą od początku układu współrzędnych o 5.
1
Zad.18. Wyznaczyć współrzędne środka S i promień r okręgu danego równaniem x2 + y2 -
10x + 24y - 56 = 0.
Zad.19. Napisać równanie okręgu o środku w poczatku układu wspołrzędnych i stycznego do
prostej 6x - 8y + 10 = 0.
Zad.20. Napisac równanie okręgu przechodzącego przez punkt A(1, -1) i przez punkty prze-
cięcia okręgów x2 + y2 + 2x - 2y - 23 = 0 i x2 + y2 - 6x + 12y - 35 = 0.
Zad.21. Napisać równania stycznych do okręgu x2 + y2 - 2x + 6y + 5 = 0 i prostopadłych do
prostej x - 2y = 0.
Zad.22. Wyznaczyć kąt pod jakim widać okrąg (x - 1)2 + (y - 2)2 = 1 z punktu A(3, 2).
Zad.23. Dana jest elipsa o równaniu 5x2 + 9y2 = 45 oraz punkt A(2, -5). Napisać rówanie
3
prostych przechodzących przez punkt A i ogniska danej elipsy.
Zad.24. Znalez
ć trajektorię punktu A poruszającego się w ten sposób, że jego odległość od
prostej x = -4 jest dwa razy większa od odległości od punktu F (-1, 0).
Zad.25. Znalez
ć równania stycznych do elipsy 12x2 + 16y2 = 192 równoległych do prostej
x - 2y = 0.
Zad.26. Napisać równanie okręgu, którego średnicą jest wspólna cięciwa elipsy x2 + 5y2 = 36
i paraboli x2 = 8y.
Zad.27. Napisać rownanie hiperboli o ogniskach położonych na osiach odcietych symetrycznie
względem poczatku układu i o osiach 2a = 20, 2b = 12.
Zad.28. Wyznaczyć punkty hiperboli 9x2 - 16y2 = 576, ktorych odległość od prawgo ogniska
jest równa 4.5.
Zad.29. Napisać równania stycznych do hiperboli x2 - 4y2 = 32 poprowadzonych z punktu
A(1, 0).
Zad.20. Napisać równanie paraboli o ognisku w punkcie F (-5, 0) i kierownicy x = 5.
Zad.31. Napisać równanie stycznych do paraboli y2 = 12x tworzących z prostą y = 3x - 4
kat 45ć%.
2