plik


ÿþAlgebra, AiR, AEiI RSB, XII 2013 Geometria analityczna -’! Zad.1. Wyznaczy wspóBrzdne wektora AB oraz obliczy jego dBugo[. (a) A = (1, 2, 3), B = (-1, -3, -2) (d) A = (7, -8, 9), B = (-4, 3, -2) (b) A = (-1, 0, 1), B = (2, 4, 2) (e) A = (-1, 2, -3), B = (2, -2, -3) (c) A = (2, -1, 7), B = (-3, -2, 3) (f) A = (7, 6, -5), B = (11, 4, -9) -’! Zad.2. Dany jest pocztek oraz wpóBrzdne wektora AB. Znalez wspóBrzdne koDca tego wektora. -’! (a) A = (1, 2, 3), AB = [3, -2, 1] -’! (b) A = (7, 6, -1), AB = [4, 5, 6] -’! (c) A = (2, 1, 2), AB = [-1, -2, -1] - ’! (d) A = (2À - 1, À + 2, 1 - 2À), AB = [1 - À, -À, 2À] - ’! Zad.3. Dany jest koniec oraz wpóBrzdne wektora AB. Znalez wspóBrzdne pocztku tego wektora. - -’! ’! (a) B = (4, 7, 5), AB = [2, 5, 2] (c) B = (2, -6, -8), AB = [-4, 6, 10] - -’! ’! 1 2 1 2 (b) B = (-1, 10, -2), AB = [-4, 4, -4] (d) B = (À - 1, 2, + 1), AB = [À , -2, -À ] À Zad.4. Dane s wektory a = [2, 7, -1] i b = [3, -2, 2]. Obliczy: 1 (a) 2a - 3 b, (c) a + 11 b, (d) |a| · b + |b| · a, 2 2 (b) a + 4 b, (e) |a|2 · a - |b|2 · b. Zad.5. Punkty A, B, C, D s wierzchoBkami równolegBoboku. Znalez wspóBrzdne wierz- choBka D. (a) A(4, 5, 6), B(2, 7, 1), C(3, 6, 2) (b) A(-1, 4, 2), B(1, 5, 3), C(4, 1, -1) - ’! Zad.6. Dane s punkty A = (2, 0, -3) i B = (16, -7, 18). Znalez punkt C taki, |e 3AC = -’! - 4CB. - - ’! ’! Zad.7. Dane s punkty A = (12, 4, -5) i B = (14, 2, 5). Znalez punkt C taki, |e 5AB + 2AC jest wektorem zerowym. Zad.8. Znalez wersory poni|szych wektorów. 1 Algebra, AiR, AEiI RSB, XII 2013 (a) [3, 0, -4] (b) [-1, 2, 2] (c) [4, 1, -1] (d) [4, 5, -2] Zad.9. Wyznaczy cosinusy kierunkowe poni|szych wektorów. (a) [-2, 0, 1] (b) [4, 2, -4] (c) [5, 8, -1] (d) [1, 1, -5] Zad.10. Dla podanych wektorów a, b obliczy ich iloczyn skalarny i wektorowy. " " (a) a = [2, -1, 10], b = [-4, 2, 1] (c) a = [ 2, -1, 1], b = [-2 2, 2, -3] (b) a = [4, -4, -1], b = [5, -6, -1] (d) a = [À, 2, -1], b = [1, -1, À] Zad.11. Dla podanych wektorów a, b, c, obliczy ich iloczyn mieszany. (a) a = [1, 1, 2], b = [1, 2, 1], c = [2, 1, 1] (b) a = [3, 4, 5], b = [-4, 5, 1], c = [5, -1, 3] (c) a = [-1, -1, 7], b = [3, 3, -4], c = [4, 5, 1] (d) a = [0, -2, 3], b = [5, 3, -1], c = [-7, -1, -4] Zad.12. Obliczy (a bc), | b × c|, oraz |2a - b + 3c - 2j + k| dla podanych wektorów. (a) a = [2, 4, 1], b = 2i - j, c = j - k (b) a = [2, 0, -1], b = [-1, 2, 1], c = 3a + 4 b - 6j (c) a = [1, 0, -2], b = -2i + j + k, c = ( b - a) × [1, 0, 1] Zad.13. Obliczy (a bc), a × c, |3a - b + c| dla podanych wektorów. (a) a = [2, 3, -3], b = [2, 5, 1], c = 4i + 2j - k 1 (b) a = [-1, 2, 3], b = [2, 5, 6], c = a × b - a 3 1 (c) a = [2, 5, -1], b = -i + j + 2k, c = (2a - b) × (a + b) - [10, -4, 5] 3 Zad.14. Niech a = [2, 5, 1], b = [7, -7, 1], c = [0, 5, -1], d = [4, -2, -1]. Obliczy: (a) a × b + c × d, (c) ( b × c) · d - (c × d) · a, (b) c × (d × a) + b, (d) (a × c + c × d) · b - d · c. Zad.15. Znalez kt midzy wektorami a, b. (a) a = [-1, -1, 0], b = [0, -1, 0] (c) a = [5, -1, -2], b = 2a - [4, -2, -1] (b) a = [3, -2, 13], b = -5i - j + k (d) a = [4, -1, 2], b = a - [2, 0, 3] Zad.16. Dla jakich warto[ci parametru p podane wektory s prostopadBe? (a) a = [2p - 1, 1, 3], b = [-1, 2, 5] (d) a = [p2, -p, 2], b = [p - 1, p, p - 2] (b) a = [1, 1 - 3p, 2], b = [p, 4, 2p] (e) a = [p2, 2, 1 - 2p], b = [p + 1, 1 - p, 2p] (c) a = [p - 1, 2, 6], b = [2p, 4 - p, 1] 2 Algebra, AiR, AEiI RSB, XII 2013 (f) a = [2p - 1, p2 - 3p, 18 - p], b = [-9, p2 + 3p, p] Zad.17. Dla jakiej warto[ci parametru p kt midzy wektorami a = [2, p, -1] i b = [-3, 1, -2] À wynosi ? 3 Zad.18. Znalez wspóBrzdne wektora (wektorów) w, je[li wiadomo, |e jest on prostopadBy do " a = [3, -1, 5] i b = [2, 2, 5] oraz jego dBugo[ wynosi 314. Zad.19. Znalez wspóBrzdne wektora (wektorów), który jest prostopadBy do wektorów a = " [-3, 2, 2] i b = [1, 0, -4] oraz jego dBugo[ wynosi 42. Zad.20. Sprawdzi czy pukty A, B, C, D le| w jednej pBaszczyznie. (a) A = (1, 7, -1), B = (4, 2, -3), C = (2, 2, 0), D = (1, 0, 1) (b) A = (0, 1, 1), B = (2, 2, 1), C = (-2, 3, 3), D = (-5, 1, 4) 3 (c) A = (11, 0, 1), B = (1, 1, -11), C = (-1, -1, 0), D = (0, 1, 1) (d) A = (-7, 2, 1), B = (-7, 6, -1), C = (-5, -4, 5), D = (3, 10, 2) Zad.21. Dane s wierzchoBki trójkta ABC. Obliczy jego pole oraz dBugo[ wysoko[ci popro- wadzonej z wierzchoBka C. (a) A = (4, 5, 6), B = (-1, 2, 3), C = (-2, 3, 3) (b) A = (-1, -4, 2), B = (5, 1, 6), C = (8, 2, 7) (c) A = (-3, -5, 1), B = (-1, 2, 5), C = (-2, -1, 4) Zad.22. Obliczy objto[ czworo[cianu ABCD oraz dBugo[ jego wysoko[ci poprowadzonej z wierzchoBka D. (a) A = (6, 5, 4), B = (3, 2, -1), C = (3, 3, -2), D = (8, 1, 1) (b) A = (4, -2, 7), B = (5, 2, 9), C = (5, 0, 9), D = (7, -5, 4) (c) A = (1, 2, 3), B = (3, 4, 2), C = (-2, 3, 2), D = (4, 3, 7) Zad.23. Znalez dBugo[ dowolnej wysoko[ci czworo[cianu, zbudowanego na wektorach a, b, c. (a) a = [2, 4, 1], b = [5, 2, 2], c = [3, 3, 1] (b) a = [2, -1, 1], b = [1, 0, 2], c = [0, 1, 1] (c) a = [1, 0, 1], b = [-1, 1, 3], c = [2, -3, 0] Zad.24. Dane s wektory a = [3, 6, 1], b = 2i - k. Obliczy objto[ równolegBo[cianu zbudo- wanego na wektorach p, q, r. (a) p = 2a + k, q = b - 2a, r = 3a + b + 2i - j (b) p = a - 4j + k, q = a - b + i, r = (4 - | b|2) · b "1 (c) p = |(a-5j-i)×( b+j)| b+3j, q = (4j-a)× b-k, r = b×( b-a)+[2, -3, 8] 10 Zad.25. Dane s punkty A = (1, 1, 6), B = (-2, 1, 3), C = (0, -2, 1). Punkt D le|y na osi OX. Znalez wspóBrzdne punktu D, je[li wiadomo, |e objto[ czworo[cianu ABCD wynosi 6. 3 Algebra, AiR, AEiI RSB, XII 2013 Zad.26. Dane s punkty A = (2, 1, 2), B = (3, -2, 1), C = (5, 0, 1), D = (p, 2p, 1 - 3p). Wiadomo, |e objto[ równolegBo[cianu ABCD wynosi 10. Znalez warto[ parametru p. Zad.27. Napisa równanie pBaszczyzny przechodzcej przez punkt A i prostopadBej do wektora n. (a) A = (3, 2, 1), n = [4, 5, 6] (c) A = (5, 5, -2), n = [-1, 2, 4] (b) A = (-4, 3, 6), n = [5, 1, -1] (d) A = (3, -4, 0), n = [4, 3, 1] Zad.28. Napisa równanie pBaszczyzny przechodzcej przez punkt A i równolegBej do pBasz- czyzny À. (a) A(2, -3, 1), À : 2x - 3y + z = 0 (b) A(1, 2, 4), À : 4x - y - 2z + 1 = 0 Zad.29. Napisa równanie pBaszczyzny przechodzcej przez punkty A, B i C. (a) A = (1, 3, 1), B = (3, 1, 1), C = (-3, 3, 1) (b) A = (1, 0, -1), B = (-2, -6, 1), C = (3, 17, 2) (c) A = (-6, 1, 2), B = (3, 2, -1), C = (4, 3, 4) (d) A = (0, 0, 1), B = (1, 2, 0), C = (0, -5, 0) (e) A = (1, -2, 1), B = (3, 0, 3), C = (-1, -4, -1) (f) A = (-2, -3, -4), B = (1, 3, 2), C = (2, 5, 4) Zad.30. Napisa równanie pBaszczyzny przechodzcej przez punkty A(0, 2, 1), B(2, 6, -3) i równolegBej do wektora v = [1, 1, -3]. Zad.31. Napisa równanie pBaszczyzny przechodzcej przez punkty A(-3, 1, 1), B(-8, 2, 0) i y-2 x+1 z-1 równolegBej do prostej = = . 3 0 1 Zad.32. Znalez równanie pBaszczyzny zawierajcej punkty A(1, 0, 0), B(0, 0, 1), która z pBasz- À czyzn À : x + y - z + 10 = 0 tworzy kt . 3 Zad.33. Dla jakiej warto[ci parametru p pBaszczyzny À1 : px + 2y + (p - 1)z + 3 = 0 i À2 : x + py - z + 4 = 0 s (a) prostopadBe, (b) równolegBe? Zad.34. Napisa równanie prostej przechodzcej przez punkt A i równolegBej do wektora v. (a) A = (2, 0, 5), v = [4, -1, 0] (c) A = (5, 0, 4), v = [-1, 2, 3] (b) A = (-4, 3, 3), v = [1, 1, -2] (d) A = (-1, 1, 0), v = [5, 6, -4] Zad.35. Napisa równanie prostej przechodzcej przez punkty A i B. 4 Algebra, AiR, AEiI RSB, XII 2013 (a) A = (3, 3, 1), B = (2, 1, 2) (c) A = (-5, 4, 4), B = (-4, 3, 4) (b) A = (4, 4, 5), B = (-1, 0, 2) (d) A = (6, 1, -5), B = (-5, 3, 2) y-3 x+2 z-6 Zad.36. W jakich punktach prosta l : = = przebija pBaszczyzny ukBadu wspóB- 3 2 1 rzdnych? Uwaga: We wszystkich poni|szych zadaniach, je[li prosta ma posta parametryczn ñø ôø ±t + x0 òøx = y = ²t + y0 ôø óøz = ³t + z0, dla uproszczenia notacji, nie bdziemy za ka|dym razem pisa, |e t " R. Zad.37. Napisa równanie pBaszczyzny zawierajcej punkt A oraz prost l: ñø 1-y x-2 z-6 ôø - 1 (c) A = (4, -11, 5), l : = = , òøx = 5t 3 4 7 x+1 -y+4 z+3 (a) A = (4, -3, 3), l : -t + 6 y = (d) A = (-4, 0, 5), l : = = , ôø 3 2 4 óøz = 2t + 3, x + y - z = 0 (e) A = (5, 0, 2), l : ñø 2x + 2y + 3 = 0, ôø -2t + 1 òøx = x + y - z + 3 = 0 (b) A = (4, 3, -3), l : y = 5t - 6 ôø óøz = t - 3, (f) A = (5, 2, 8), l : 4x - y - z + 9 = 0. Zad.38. Znalez punkt wspólny (ew. punkty wspólne lub sprawdzi, |e ich nie ma) pBaszczyzny À i prostej l. x - y = 0 (a) À : 2x + z - 1 = 0, l : x + y + z - 1 = 0 2x + 5y + 3z - 29 = 0 (b) À : x + 2y + z - 5 = 0, l : x + y + 3z + 9 = 0 ñø ôø -t + 3 òøx = (c) À : 4x - y - z - 2 = 0, l : y = 2t - 2 ôø óøz = -3t + 1 ñø ôø òøx = 8 (d) À : x - 6y - z + 3 = 0, l : y = 7t - 6 ôø óøz = 8t + 7 y-4 x-2 z-5 (e) À : 2x - 4y + 3z + 5 = 0, l : = = 4 3 2 y-6 x+4 z+3 (f) À : 4x - 3y + 2 = 0, l : = = 3 4 -1 5 Algebra, AiR, AEiI RSB, XII 2013 Zad.39. Dla dowolnego podpunktu z zadania poprzedniego, napisa równanie rzutu prostej l na pBaszczyzn À. Zad.40. Znalez rzut punktu A na prost l. ñø ôø x - y = 0 òøx = t + 3 (c) A = (2, 3, -10), l : (a) A = (2, 7, 10), l : -t + 7 y = x + z + 1 = 0 ôø óøz = t + 4 x + y + z = 0 (d) A = (4, 5, -2), l : ñø x - 2y + z = 0 ôø òøx = t + 2 y+1 x-2 z-5 (e) A = (5, -1, 1), l : = = 2 1 -1 (b) A = (3, 4, 6), l : y = t - 1 ôø óøz = -t + 3 y-1 x+4 z-3 (f) A = (2, 5, -1), l : = = 1 2 -1 Zad.41. Znalez rzut punktu A na pBaszczyzn À. (a) A = (7, 7, -2), À : x - y + z = 0 (b) A = (4, -5, 3), À : 2x + 4y - z - 7 = 0 (c) A = (2, -2, -1), À : 3x - y + 3z - 5 = 0 (d) A = (7, -1, 3), À : 3x + 4y + z - 2 = 0 Zad.42. Znalez punkt symetryczny do punktu A(2, 1, 7) wzgldem (a) punktu B(3, 5, -1), y+1 x-3 z-1 (b) prostej l : = = , 2 1 1 (c) pBaszczyzny À : x + y - 3z - 4 = 0. x + y + 2z = 0 Zad.43. * Napisa równanie prostej (lub prostych) równolegBej do prostej l1 : y - 3z + 1 = 0 ñø ôø òøx = t + 4 i przecinajc prost l2 : y = 3t + 7 . ôø óøz = -2t - 7 Zad.44. Majc dan jedn z postaci równania prostej, znalez dwie pozostaBe. ñø ôø -7t + 5 x - y + 2z = 0 òøx = (b) l : (a) l : y = 2t - 7 5x + 2y - 3z + 30 = 0 ôø óøz = -5t+, y+2 x-1 z-3 (c) l : = = 2 3 4 Zad.45. Zbada wzajemne poBo|enie par prostych. ñø ñø ôø - 8 ôø òøx = 3t òøx = s + 3 (a) l1 : y = -t + 3 , l2 : y = -2s - 4 ôø ôø óøz = 5t - 16 óøz = -s - 3 6 Algebra, AiR, AEiI RSB, XII 2013 ñø ôø òøx = 5t y x z-1 (b) l1 : y = -t + 2 , l2 : = = 1 4 -4 ôø óøz = -2t + 3 2x - y - 11 = 0 x + y + 3z + 2 = 0 (c) l1; l2 : x - y - z - 8 = 0 x + z - 3 = 0 Zad.46. Obliczy odlegBo[ punktu A od pBaszczyzny À. (a) A = (14, 0, -1), À : 2x - 7y + z = 0 (c) A = (2, 1, -3), À : 5x - 7y + 2z + 3 = 0 (b) A = (3, 5, -8), À : 2x - 4y + z + 1 = 0 Zad.47. Obliczy odlegBo[ punktu A od prostej l. ñø ôø x - y + z - 7 = 0 òøx = 2t + 1 (b) A = (3, 1, 2), l : (a) A = (1, 1, 0), l : -t + 2 y = 2x - y - z - 5 = 0 ôø óøz = 2t - 1 y-4 x z+6 (c) A = (-3, 3, 1), l : = = 2 1 3 Zad.48. Napisa równanie prostej przechodzcej przez punkt A = (4, 0, -2) i równolegBej do x + y + z = 0 prostej . x - 4y + 2z + 1 = 0, Zad.49. Napisa równanie prostej przechodzcej przez punkt A = (4, 2, -1) i: (a) prostopadBej do pBaszczyzny 4x + y - z = 0, (b) prostopadBej do pBaszczyzny x - y - 2z + 1 = 0. Zad.50. Napisa równanie pBaszczyzny, zawierajcej punkt A i równolegBej do wektorów a i b. (a) A = (2, 2, 1), a = [4, 0, 1], b = [2, 1, 0] (b) A = (0, 0, 3), a = [3, 6, -1], b = [2, 0, 0] Zad.51. Napisa równanie pBaszczyzny zawierajcej proste l1 i l2. y-2 y+3 x+1 z-2 x-2 z+2 (a) l1 : = = , l2 : = = 1 2 1 3 1 -1 ñø ôø òøx = t + 1 y-2 x+3 z (b) l1 : = = , l2 : -t + 2 y = 3 -2 2 ôø óøz = 3t ñø ôø -6t òøx = x + y - z = 0 (c) l1 : -2t + 4 l2 : y = ôø x - 2y - 2z = 0 óøz = 3t, Zad.52. Znalez odlegBo[ midzy prostymi. y-1 y-1 x z-2 x-1 z-2 (a) l1 : = = , l2 : = = ; 4 1 2 4 1 2 7 Algebra, AiR, AEiI RSB, XII 2013 x - y - 5z - 4 = 0 y-5 x-4 z+3 (b) l1 : l2 : = = ; 3 -2 1 x + y - z - 6 = 0, Zad.53. Znalez odlegBo[ midzy parami pBaszczyzn. (a) À1 : x - 2y + 2z + 1 = 0, À2 : -x + 2y - 2z + 4 = 0 (b) À1 : 2x - 3y + z - 1 = 0, À2 : 4x - 6y + 2z + 7 = 0 (c) À1 : -3x + 15y - 6z - 18 = 0, À2 : 4x - 20y + 8z + 24 = 0 Zad.54. Punkt A le|y na osi OY , natomiast B i C maj wspóBrzdne B(2, 4, 3) i C(3, 3, 2). 39 Wiadomo, |e pole trójkta ABC wynosi . Znalez wspóBrzdne punktu A. 2 Zad.55. Dla jakiej warto[ci parametru p pBaszczyzny: À1 : x + py - p = 0 À2 : x + y - pz + p2 + 2p - 1 = 0 À3 : 2x - pz + p = 0 przecinaj si w jednym punkcie? Je[li taka warto[ parametru p istnieje, poda wspóB- rzdne tego punktu. x-p y+1 z-4 Zad.56. Dla jakiej warto[ci parametru p prosta = = jest p p+2 3 (a) równolegBa do pBaszczyzny À1 : 2x - y + 3z - 1 = 0, (b) prostopadBa do pBaszczyzny À2 : 3x + y - 3z + 5 = 0, (c) zawarta w pBaszczyznie À3 : y - z + 5 = 0? Zad.57. Na prostej l znalez punkt równoodlegBy od A i B. y-2 x-1 z+1 (a) A = (3, 2, 0), B = (1, 1, 1), l : = = 2 1 2 x - y + 2 = 0 (b) A = (2, 3, 0), B = (-1, 0, 1), l : x + 2y + z = 0 Zad.58. Jakie jest wzajemne poBo|enie prostej l i pBaszczyzny À? ñø ôø òøx = t + 1 (a) À : x + y + 4 = 0, l : -t y = ôø óøz = 3t + 1 y+4 x-5 z-6 (b) À : x + 2z - 3 = 0, l : = = 3 0 2 x - y + 2 = 0 (c) À : 3x + y - z + 1 = 0, l : 2y + z - 3 = 0 Zadania dodatkowe Zad.1. Dane s punkty A(0, 0, 0), B(-2, -1, 2), C(0, 3, 4). Wybra dowolny z nich i wyzna- czy równanie prostej zawierajcej wysoko[ poprowadzon z tego wierzchoBka oraz równanie prostej zawierajcej bok przeciwlegBy temu wierzchoBkowi. 8 Algebra, AiR, AEiI RSB, XII 2013 Zad.2. Dane s punkty A(0, 0, 0), B(1, 2, 1), C(2, 2, 3), D(4, -1, 2). Wybra dowolny z nich i wyznaczy równanie prostej zawierajcej wysoko[ opuszczon z tego punktu na przeciwlegB [cian czworo[cianu ABCD. y-2 x+1 z+3 Zad.3. O pBaszczyznie À wiadomo, |e zawiera prost l : = = i |e jej odlegBo[ 2 1 1 od punktu A(4, 3, 0) wynosi 1. Znalez równanie pBaszczyzny À. Zad.4. Obliczy pole trójkta ABC, je[li wiadomo, |e A i B s punktami przecicia prostej y-2 x+3 z l : = = z pBaszczyznami OXY i OY Z, natomiast C jest rzutem punktu 3 1 -1 (6, 0, 2) na pBaszczyzn 2x - 2y + 3z - 1 = 0. 9

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
10 geometria analityczna odp
geometria analityczna
15 Geometria analityczna Zestaw 1 Odpowiedzi
Geometria analityczna cwiczenia
Zagadnienia geometria analityczna
Zestaw Geometria analityczna
Geometria analityczna 1
16 Geometria analityczna Zestaw 2 Odpowiedzi
02 Geometria analityczna

więcej podobnych podstron