Algebra, AiR, AEiI RSÅ‚, XII 2013
Geometria analityczna  Odpowiedzi
Zad.1. (Wsp. w., dł.)
" "
(a) [-2, -5, -5], 3 6 (d) [-11, 11, -11], 11 3
"
(b) [3, 4, 1], 26 (e) [3, -4, 0], 5
"
(c) [-5, -1, -4], 42 (f) [4, -2, -4], 6
Zad.2. (Kon. w.)
(a) (4, 0, 4) (b) (11, 11, 5) (c) (1, -1, 1) (d) (Ä„, 2, 1)
Zad.3. (Kon. w.)
4
(a) (2, 2, 3) (b) (3, 6, 2) (c) (6, -12, -18) (d) (-1, 4, 1 - )
Ä„
Zad.4. (Dod. w.)
" " " " " "
(a) [-5, 20, -8] (d) [2 17+9 6, 7 17-6 6, - 17+6 6]
(b) [14, -1, 7]
1
(c) [51, , 21] (e) [57, 412, -88]
2 2 2
Zad.5. (Równol.)
(a) (5, 4, 7) (b) (2, 0, -2)
Zad.6. C = (10, -4, 9)
Zad.7. C = (7, 9, -30)
Zad.8. (Wers.)
" " " " " "
2 2 2 2 5
(a) [3, 0, -4] (b) [-1, , ] (c) [2 2, , - ] (d) [4 5, , -2 5]
5 5 3 3 3 3 6 6 15 3 15
Zad.9. (Cos. kier.)
" " " " " " " "
5 2 1 10 4 10 10 3 3
(a) -2 5, 0, (b) , , -2 (c) , , - (d) , , -5 3
5 5 3 3 3 6 15 30 9 9 9
Zad.10. (Il. sk. i wek.)
1
Algebra, AiR, AEiI RSÅ‚, XII 2013
"
(a) 0, [-21, -42, 0] (c) -9, [1, 2, 0]
(b) 45, [-2, 1, -4] (d) -2, [2Ä„ - 1, -Ä„2 - 1, -Ä„ - 2]
Zad.11. (Il. miesz.)
(a) -4 (b) 11 (c) 17 (d) 6
Zad.12. (Dz.1.)
" " " " "
(a) 12, 3, 2 26 (b) 6, 3 5, 126 (c) 19, 219, 323
Zad.13. (Dz.2.)
" "
(a) 52, [3, -10, -8], 221 (c) 22, [11, -5, -3], 3 33
"
(b) 78, [-18, -6, -2], 43
Zad.14. (Dz.3.)
(a) [5, 9, -69] (b) [121, -10, -14] (c) 13 (d) -106
Zad.15. (KÄ…t)
" "
Ä„ Ä„ 2 6 14
(a) (b) (c) arccos (d) arccos
4 2 5 6
Zad.16. (Prost.)
" "
(a) 9 (c) " (e) 1, 1 - 3, 1 + 3
4
(b) (d) 2 (f) -3, -1, 1, 3
7
Zad.17. Żadnej.
Zad.18. [-15, -5, 8] lub [15, 5, -8]
Zad.19. [4, 5, 1] lub [-4, -5, -1]
Zad.20. (1 pł.)
(a) Nie. (b) Tak. (c) Nie. (d) Tak.
Zad.21. (P. i wys. tr.)
" " "
82 82 118 118 273 91
(a) , (b) , (c) ,
2 43 2 77 2 23
Zad.22. (Obj. i wys.)
" "
37 37 9 5 17 17 10
"
(a) , (b) 3, (c) ,
6 5 3 15
82
Zad.23. (dług. wys.)
2
Algebra, AiR, AEiI RSÅ‚, XII 2013
" " " " " "
5 2 5 38 5 293 5 118 5 22 5 2
(a) , , (c) , ,
14 38 293 59 11 3
" " "
6 3 14
(b) , ,
3 3 7
Zad.24. (Obj. równol.)
(a) 54 (b) 30 (c) 76
Zad.25. (Czwor.) (1, 0, 0) lub (-72, 0, 0)
3 3
5
Zad.26. (Równoleg.) -11 lub -15
11
Zad.27. (R. pł.)
(a) 4x + 5y + 6z - 28 = 0 (c) x - 2y - 4z - 3 = 0
(b) 5x + y - z + 23 = 0 (d) 4x + 3y + z = 0
Zad.28. (R. pł. równ. do pł.)
(a) 2x - 3y + z - 14 = 0 (b) 4x - y - 2z + 6 = 0
Zad.29. (R. pł. 3 pkt.)
(a) z - 1 = 0 (e) Jest ich niesk. wiele, np. 2x-y-z+3 =
0.
(b) 4x - y + 3z - 1 = 0
(c) x + 6y + z - 26 = 0
(f) Jest ich niesk. wiele, np. 4x + y - 3z =
(d) 7x - y + 5z - 5 = 0 1 = 0.
Zad.30. (R. pł. 2 pkt. w.) 4x - y + z + 1 = 0
Zad.31. (R. pł. 2 pkt. pr.) x + 2y - 3z + 4 = 0
"
Zad.32. (R. pł. kąt) x + 6y + z - 1 = 0
Zad.33. (2 pł. pr./r.)
(a) -1 (b) "
2
Zad.34. (R. pr.)
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ -t + 5
òÅ‚x = 4t + 2 òÅ‚x =
(a) y = -t (c) y = 2t
ôÅ‚ ôÅ‚
ółz = 5 ółz = 3t + 4
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ - 4 ôÅ‚ - 1
òÅ‚x = t òÅ‚x = 5t
(b) y = t + 3 (d) y = 6t + 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ółz = -2t + 3 ółz = -4t
Zad.35. (Pr. pł. ukł.) A(-20, -9, 0), B(-61, 0, 41), C(0, 41, 62)
2 2 3 3
Zad.36. (Pr. 2 pkt-y)
3
Algebra, AiR, AEiI RSÅ‚, XII 2013
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ - 4
òÅ‚x = t + 2 òÅ‚x = t
(a) y = 2t + 1 (c) y = -t + 3
ôÅ‚ ôÅ‚
ółz = -t + 2 ółz = 4
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ - 1 ôÅ‚
òÅ‚x = 5t òÅ‚x = 11t + 6
(b) y = 4t (d) y = -2t + 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ółz = 3t + 2 ółz = -7t - 5
Zad.37. (przec. pr. z pł. ukł.) OXY : (-20, -9, 0), OXZ: (-61, 0, 41), OY Z: (0, 41, 62)
2 2 3 3
Zad.38. (PÅ‚. pkt. i pr.)
(a) 9x + 5y - 20z + 39 = 0 (d) 2y - z - 5 = 0
(b) 3x - y + 11z + 24 = 0 (e) 7x + 7y - 13z - 9 = 0
(c) 5x + y - 2z + 1 = 0 (f) 11x - 21y - 17z + 123 = 0
Zad.39. (Pkt. wspólne)
Å„Å‚
1-t 16
ôÅ‚ (c) (-2, , 3)
òÅ‚x =
2 3 3
1-t
(a) y =
(d) (8, -2, 132)
5 5
ôÅ‚
ółz = t 2
(e) (-14, -8, -3)
(b) (2, 4, -5) (f) "
Zad.40. (Rz. pr. na pł.)
2 2
y
x z-1 y+ z-13
x-8
5 5
(a) = =
(d) = =
1 1 -2
5 -17 127
x+2,5 y-3,5 z-0,5
y+8
x+14 z+3
(b) = =
1 -1 1 (e) = =
112 95 52
2 14
x+ y-
z+100 3 4
3 3
(c) = = (f) (425, 625, -4)
22 -109 209
Zad.41. (Rz. pkt. na pr.)
2
(a) (42, 51, 52) (c) (42, 42, -52) (e) (51, , 31)
3 3 3 3 3 3 3 3 3
(b) (3, 0, 2) (d) (3, 0, -3) (f) (-1, 7, 0)
Zad.42. (Rz. pkt. na pł.)
2 4
(a) (72, 61, -11) (b) (621, -17, 120) (c) (2, -2, -1) (d) (412, -310, 213)
3 3 3 21 21 13 13
Zad.43. (Pkt. symetr.)
(a) (4, 9, -9) (b) (8, -1, -3) (c) (6, 5, -5)
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = 5t + Ä…
Zad.44. (Pr. rów. i przec.) y = -3t + 25 - Ä… - 2²
ôÅ‚
ółz = -t + ²
4
Algebra, AiR, AEiI RSÅ‚, XII 2013
Zad.45. (R. post. pr.)
x + y - z + 4 = 0
y+7
x-5 z-2
(a) = = ,
-7 2 -5
2x + 7y + 39 = 0;
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = t
y-30
x z-60
(b) y = -13t + 30 = = ;
1 -13 -7
ôÅ‚
ółz = -7t + 60,
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = 2t + 1 x - 2y + z - 8 = 0
(c) y = 3t - 2
ôÅ‚
ółz = 4t + 3, 4y - 3z + 17 = 0.
Zad.46. (Wzaj. poł. pr.)
(a) PrzecinajÄ… siÄ™ (w punkcie (1, 0, -1)).
(b) Są rozłączne.
(c) PokrywajÄ… siÄ™.
Zad.47. (Odl. pkt. od pł.)
"
"
3 6
(a) (b) 21 (c) 0
2
Zad.48. (Odl. pkt. od pr.)
"
" "
237
(a) (b) 3 (c) 3 5
9
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = 6t + 4
Zad.49. (Pr.) y = -t
ôÅ‚
ółz = -5t - 2
Zad.50. (Pr. i pł.)
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚x = 4t + 4 òÅ‚x = t + 4
(a) y = t + 2 (b) y = -t + 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ółz = -t - 1 ółz = -2t - 1
Zad.51. (Pł. i wekt. równ.)
(a) x - 2y - 4z + 6 = 0 (b) y + 6z - 18 = 0
Zad.52. (PÅ‚. i 2 pr.)
(a) 3x - 4y + 5z + 1 = 0 (c) 3x - 30y - 2z + 120 = 0
(b) 4x - 7y + z - 2 = 0
Zad.53. (Odl. m. pr.)
5
Algebra, AiR, AEiI RSÅ‚, XII 2013
" "
(a) 5 (b) 2 3
Zad.54. (Odl. m. pł.)
"
9 14
(a) 12 (b) (c) 0
3 28
Zad.55. (P. tr. oÅ› y) (0, 8, 0) lub (0, -1, 0)
Zad.56. (Pł. par.) Dla wszystkich p = -1, 0. Współ. punktu (p2, 1 - p, 2p + 1).

Zad.57. (Pr. par.)
(a) -7 (b) -3 (c) 1
Zad.58. (Pkt. równoodl.)
(a) (1, 2, -1) (b) (-1, 11, -21)
2 2 2
Zad.59. (Pł. i pr. wzaj. poł.)
(a) Są rozłączne.
(b) PrzecinajÄ… siÄ™ w jednym punkcie (-1, -4, 2).
1
(c) PrzecinajÄ… siÄ™ w jednym punkcie (-2, 11, ).
3 3 3
Zadania dodatkowe
y y+1 y-3
x z x+2 z-2 x z-4
Zad.1. (Tr. wys. równ.) = = , = = , = =
5 1 -7 5 4 -3 5 16 13
y y-2 y-2
x z x-1 z-1 x-2 z-3 x-4
Zad.2. (Czwor. wys. równ.) = = , = = , = = , =
6 5 -3 7 8 -10 5 2 -7 4
y+1
z-2
=
-1 -2
" " " " " "
Zad.3. (PÅ‚.) x + 2y - (2 + 2)z + 5(1 + 2) = 0 lub x - 2y - (2 - 2)z + 5( 2 - 1) = 0
"
66
Zad.4. (P. tr.)
2
6