Układ równań liniowych
Definicje
a) Równaniem liniowym o niewiadomych x1 , x2 , & , xn nazywamy równanie
a11 x1 + a12 x2 + & + a12xn = b1, gdzie a11, a12, & , a12 , b1 sÄ… danymi liczbami
rzeczywistymi.
b) Rozwiązaniem tego równania nazywamy ciąg liczb (r1 , r2 , & , rn ) rzeczywistych
spełniających to równanie.
Definicja
Układ równań (koniunkcję równań) postaci:
a11x1 + a12x2 + ... + a1n xn = b1
Å„Å‚
ôÅ‚
a21x1 + a22x2 + ... + a2n xn = b2
ôÅ‚
òÅ‚
.
ôÅ‚
ôÅ‚am1x1 + am2x2 + ... + amn xn = bm
ół
nazywamy układem m równań liniowych o n niewiadomych .
Zapis macierzowy
Układ powyższy zapisuje się w postaci macierzowej następująco:
Am x n Å" Xn = Bm , gdzie
x1 b1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 ... a1n
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x śł ïÅ‚b śł
ïÅ‚a a22 ... a2n śł 2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Am x n = ; Xn = . ; Bm = .
ïÅ‚ śł
. . . .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
am2 ... amn ûÅ‚
ðÅ‚am1
ïÅ‚xn śł ïÅ‚bm śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Am x n to macierz Xn to wektor Bm to macierz (wektor)
współczynników, niewiadomych, wyrazów wolnych.
Zatem układ wyjściowy w postaci macierzowej ma postać:
x1 b1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 ... a1n ïÅ‚x śł ïÅ‚b śł
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a a22 ... a2n śł 2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Å" . = .
ïÅ‚ śł
. . . .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. .
ïÅ‚ śł
am2 ... amn ûÅ‚ ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚am1
ïÅ‚xn śł ïÅ‚bm śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1
 Mówmy także o macierzy rozszerzonej lub uzupełnionej; jest macierz
współczynników poszerzona o macierz wyrazów wolnych, pisze się U = [A|B], czyli
a11 a12 ... a1n b1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a a22 ... a2n b2 śł
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
U = . . . . . .
ïÅ‚ śł
. . . . .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚am1 am2 ... amn bm śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Gdy B = [0] jest wektorem zerowym mówimy, że układ równań jest układem
jednorodnym.
Mogą zachodzić różne przypadki , może być tyle równań co niewiadomych ( m = n),
może być więcej równań niż niewiadomych ( m > n) bądz
mniej równań niż
niewiadomych (m < n).
Ćwiczenia
1. Dane są układy równań linowych:
x
Å„Å‚ - 2y - 3z = 4
x
Å„Å‚ - 3y + z = -1
ôÅ‚
2x
Å„Å‚ - 5y = 3 3x + 5y - 7z + t = 1
ôÅ‚- ôÅ‚
a) , b) x + 2 y + z = 0 , c) .
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
- x - y = 1 2x - z + t = 2
ół
ôÅ‚ ôÅ‚
2x + 3y - z = 1
ół
ôÅ‚- x + y + 3z + 4t = -1
ół
Zapisz każdy z nich w postaci:
" macierzowej typu: A Å" X = B oraz [A| B] ;
" wektorowej typu: x1 k1 +x2 k2 +x3 k3 + & +xn kn = b .
2. Dane są układy równań linowych:
1 2 3 x
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 p 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 ïÅ‚yśł
1 2śł Å" = 0 , 
ïÅ‚qśł ïÅ‚-1śł
ïÅ‚-1 0śł Å" = .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚
ïÅ‚0 0 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚zśł
ûÅ‚
Zapisz każdy z nich w postaci:
" klasycznej  koniunkcji równań liniowych,
" macierzowej typu: [A| B] ,
" wektorowej typu: x1 k1 +x2 k2 +x3 k3 + & +xn kn = b .
2