UKA
ADY RÓWNAC
LINIOWYCH
Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x1, x2 ,K, xn , gdzie m, n "!
nazywamy układ równań postaci
a11x1 + a12 x2 +K+ a1n xn = b1
Å„Å‚
ôÅ‚a x1 + a22 x2 +K+ a2n xn = b2
ôÅ‚
21
, (*)
òÅ‚
ôÅ‚M
ôÅ‚am1x1 + am2 x2 +K+ amn xn = bm
ół
gdzie aij "!, bi "! dla i = 1,K, m , j = 1,K, n .
Powyższy układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzowej
AX=B,
a11 a12 K a1n
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a a22 K a2n śł
21
ïÅ‚ śł
gdzie A= nazywamy macierzą główną układu (macierzą
ïÅ‚ śł
M M M
ïÅ‚ śł
am2 K amn ûÅ‚
ðÅ‚am1
x1 b1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x śł ïÅ‚b śł
2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
współczynników), X= jest macierzą niewiadomych, a B= jest macierzą
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
M M
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚xn ûÅ‚ ðÅ‚bm ûÅ‚
wyrazów wolnych (sprawdzić jako ćwiczenie).
Rozwiązaniem układu (*) jest każdy ciąg x1, x2 ,K, xn liczb rzeczywistych
spełniających ten układ.
Jeżeli B jest macierzą zerową (wektorem zerowym), to układ równań
AX=0,
Nazywamy układem jednorodnym. W przeciwnym razie mówimy o układzie
niejednorodnym.
0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0śł
ïÅ‚ śł
Jednym z rozwiązań układu jednorodnego jest wektor zerowy X= .
ïÅ‚ śł
M
ïÅ‚0śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Arkadiusz Lisak 1
UKA
AD CRAMERA
Układ n równań liniowych z n niewiadomymi
a11x1 + a12 x2 +K+ a1n xn = b1
Å„Å‚
ôÅ‚a x1 + a22 x2 +K+ a2n xn = b2
ôÅ‚
21
òÅ‚
ôÅ‚M
ôÅ‚an1x1 + an2 x2 +K+ ann xn = bn
ół
nazywamy układem Cramera, gdy macierz układu jest macierzą nieosobliwą
(det A `" 0 ).
ROZWI
ZYWANIE UKA
ADU CRAMERA
I sposób
TW. Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami
det A1 det A2 det An
x1 = , x2 = , K , xn = ,
det A det A det A
gdzie Ai dla i = 1,K, n oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie jej
i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Przykładem jest metoda wyznacznikowa rozwiązywana układu dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi stosowana w szkole średniej.
II sposób
Rozwiązanie układu Cramera wyraża się wzorem
X=A-1Å"B,
gdzie A-1 jest macierzą odwrotną do macierzy nieosobliwej A (sprawdzić jako
ćwiczenie)
Arkadiusz Lisak 2
UKA
AD m RÓWNAC
LINIOWYCH Z n NIEWIADOMYMI
Niech dany będzie układ m równań liniowych z n niewiadomymi
a11x1 + a12 x2 +K+ a1n xn = b1
Å„Å‚
ôÅ‚a x1 + a22 x2 +K+ a2n xn = b2
ôÅ‚
21
, (*)
òÅ‚
ôÅ‚M
ôÅ‚am1x1 + am2 x2 +K+ amn xn = bm
ół
przy czym m < n lub m = n lub m > n .
Macierzą uzupełnioną A/B macierzy A nazywamy macierz powstałą przez dopisanie
do macierzy A kolumny utworzonej z wyrazów wolnych układu (z macierzy wyrazów
wolnych).
a11 a12 K a1n b1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a a22 K a2n b2 śł
21
ïÅ‚ śł
A/B=
ïÅ‚ śł
M M M M
ïÅ‚ śł
am2 K amn bm ûÅ‚
ðÅ‚am1
TWIERDZENIE KRONECKERA-CAPELLIEGO
TW. Układ równań liniowych (*) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd
macierzy głównej układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej
rzA=rzA/B=r.
Oczywiście r d" n . Wtedy
" gdy r = n , to układ równań (*) ma dokładnie jedno rozwiązanie,
" gdy r < n , to układ (*) ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od
n - r dowolnych parametrów.
WN. Jeśli rzA`"rzA/B, to układ jest układem sprzecznym (nie ma rozwiązań).
Arkadiusz Lisak 3
Rozwiązywanie układu m równań z n niewiadomymi, w którym rzA=rzA/B=r" w macierzy A znajdujemy podmacierz nieosobliwą stopnia r,
" z układu (*) tworzymy układ zredukowany A o r niewiadomych, w którym
niewiadome są tylko te, których współczynniki występują w macierzy A ;
pozostałe niewiadome traktujemy jako parametry i przenosimy na druga stronę
z ich współczynnikami,
" otrzymany układ zredukowany jest układem Cramera o r niewiadomych 
rozwiązujemy ten układ jak układ Cramera.
x
Å„Å‚ - y + 2z = 2
ôÅ‚x + 3y - z = 1
Przykład.
òÅ‚
ôÅ‚2x - 2y + 4z = 4
ół
Nie jest to układ Cramera, bo detA=0. Ale
1 -1 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
rzA=rz 1 3 -1 =2,
ïÅ‚ śł
śł
ïÅ‚ 2 -2 4
ðÅ‚ ûÅ‚
1 -1 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1
rzA/B=rz 3 -1 1śł =2,
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚2 -2 4 4ûÅ‚
czyli r1 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
Wez
my A = , więc det A =4. Wtedy
ïÅ‚1 śł
3
ðÅ‚ ûÅ‚
x
Å„Å‚ - y = 2 - 2z
.
òÅ‚x + 3y = 1+ z
ół
Jest to układ Cramera ze względu na niewiadomą x i y.
2 - 2z -1
'
det A1 1+ 3 6 - 6z +1+ z - 5z + 7 5 7
z
x = = = = = - z +
4 4 4 4 4
det A'
1 2 - 2z
'
det A
1 1+ z
1+ z - 2 + 2z 3z -1 3 1
2
y = = = = = z -
4 4 4 4 4
det A'
Ostateczne rozwiązanie układu równań:
5 7 3 1
x = - t + , y = t - , z = t , gdzie t "!.
4 4 4 4
Arkadiusz Lisak 4
WNIOSKI
Niech dany będzie układ m równań liniowych z n niewiadomymi
a11x1 + a12 x2 +K+ a1n xn = b1
Å„Å‚
ôÅ‚a x1 + a22 x2 +K+ a2n xn = b2
ôÅ‚
21
.
òÅ‚
ôÅ‚M
ôÅ‚am1x1 + am2 x2 +K+ amn xn = bm
ół
" m = n
det A `" 0 , to układ jest ukladem Cramera i ma dokładnie jedno rozwiązanie
(jest to przypadek z tw. Kroneckera-Capelliego, gdy rzA=rzA/B=n),
det A = 0
o rzA=rzA/BKroneckera-Capelliego),
o rzA`"rzA/B, to układ nie ma rozwiązań (tw. Kroneckera-Capelliego).
" m < n lub m > n (tw. Kroneckera-Capelliego)
rzA=rzA/B rzA=rzA/B=n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,
rzA`"rzA/B, to układ nie ma rozwiązań.
Są to wszystkie możliwe przypadki, bo oczywiście zawsze rzAd" n i jeśli m = n oraz
det A = 0 , to rzA`"n.
TW. Układ jednorodny m równań liniowych z n niewiadomymi posiada rozwiązania
niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej jest mniejszy od n,
tzn. jest mniejszy od ilości niewiadomych. W przeciwnym razie jedynym jego
rozwiÄ…zaniem jest rozwiÄ…zanie zerowe.
Arkadiusz Lisak 5