Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Układy równań liniowych. 1
Chemia - Zestaw nr 11. Układy równań liniowych.
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚a11 x1+a12 x2+. . .+a1n xn=b1
òÅ‚a x1+a22 x2+. . .+a2n xn=b2
21
Rozważamy układ m równań liniowych z n niewiadomymi: (U)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
óła x1+am2x2+. . .+amnxn=bm
m1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 · · · a1n x1 b1
ïÅ‚
a21 a22 · · · a2n śł ïÅ‚ x2 śł ïÅ‚ b2 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł, czyli AX = B. W celu roz-
 co można inaczej zapisać jako =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . .
.
. . . . . .
ðÅ‚ . ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . .
am1 am2 · · · amn xm bm
wiązania takiego układu stosujemy metodę operacji elementarnych na wierszach macierzy rozszerzonej
[A, B]. Mianowicie:
Operacjami elementarnymi na wierszach macierzy nazywamy
1. pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera;
2. dodanie do danego wiersza innego wiersza pomnożonego przez dowolną liczbę;
3. zamianę dwóch różnych wierszy miejscami.
Jeżeli na macierzy rozszerzonej [A, B] układu równań dokonujemy operacji tego typu, to układy rów-
nań liniowych odpowiadające powstałym macierzom są równoważne wyjściowemu, tzn. mają dokładnie
takie same rozwiązania. Celem tych operacji jest doprowadzenie macierzy do postaci, w której w A
występuje pewna ilość, powiedzmy r, kolumn zerojedynkowych, o numerach 1 j1 < j2 < . . . < jr n,
z jedynkami na r różnych miejscach (w 1, 2, ..., r-tym wierszu, choć w dowolnej kolejności), zaś m-r po-
zostałych, końcowych wierszy albo jest zerowych, albo wśród nich występuje przynajmniej jeden postaci
[0, 0, ..., 0, a], gdzie a = 0. (Liczba r okaże się w dalszym ciągu rzędem macierzy A.)

1. W pierwszym z tych przypadków, układ posiada rozwiązania, i wszystkie rozwiązania otrzymuje
się, przyjmując za parametry wszystkie niewiadome, które odpowiadają kolumnom nie wybranym
powyżej jako zerojedynkowe; pozostałe niewiadome wyrażamy w zależności od tych parametrów,
co jest możliwe dzięki temu, że każda z nich występuje tylko w jednym równaniu, ze współczyn-
nikiem 1. W rozważanym przypadku
rz A = rz [A, B] = r (oznaczenie rz A, czyli rząd macierzy A, zobacz poniżej)
2. W drugim z tych przypadków układ jest sprzeczny (rz A = r, zaś rz [A, B] = r + 1).
W powyższych rozważaniach rz A oznacza rząd macierzy A, będący wymiarem (stopniem) największego
niezerowego minora macierzy A, gdzie minorem nazywamy każdy wyznacznik utworzony z macierzy A
przez skreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn (tak, aby powstała macierz posiadająca wyznacznik, tzn.
macierz kwadratowa). Na wykładach z przestrzeni wektorowych (w semestrze letnim) dowiemy się, że
rząd macierzy A jest również liczbą liniowo niezależnych wierszy macierzy A, jak również ilością liniowo
niezależnych kolumn macierzy A.
1. Rozwiązać układy równań:
Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Układy równań liniowych. 2
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚x1+ x2+ x3+ x4+ x5= 15
x +2x2+3x3-2x4+ x5= 4
ôÅ‚x +2x2+ 3x3+ 4x4+ 5x5= 35 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚3x1
1
+6x2+5x3-4x4+3x5= 5
1
(a) x +3x2+ 6x3+10x4+15x5= 70 (b)
x +2x2+7x3-4x4+ x5=11
ôÅ‚x1 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
+4x2+10x3+20x4+35x5=126
ôÅ‚ ół2x1
ôÅ‚
+4x2+2x3-3x4+3x5= 6
ółx1
1
+5x2+15x3+35x4+70x5=210
1
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚x1-x3+x5 =0 Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚x -x4+x6 =0
ôÅ‚3x1+ 4x2+ x3+2x4+3x5=0 ôÅ‚
x+ y+ z+ u=1
òÅ‚5x + 7x2+ x3+3x4+4x5=0 òÅ‚ òÅ‚
2
1
(c) (d) x -x2+x5-x6=0 (e) 2x-3y-2z+5u=1
ôÅ‚ ôÅ‚x1 ół-x-6y-5z+2u=1
ôÅ‚4x1+ 5x2+2x3+ x4+5x5=0 ôÅ‚
ół7x +10x2+ x3+6x4+5x5=0 ôÅ‚ -x3+x6 =0
ôÅ‚
ółx2
1
-x4+x5 =0
1
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
x- y+ z- u=2 x- y+3z- u=-2 x +2z+ 3u=0
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚3x- y-7z+2u=0 òÅ‚2x+3y+ z+ u= 0 òÅ‚
x+2y+4z+ 5u=0
(f) (g) (h)
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚6x+2y- z- u=3 ôÅ‚4x +3z-2u=-1 ôÅ‚2x +4z+ 6u=0
ół2x-2y+2z-2u=5 ół3x+2y+5z+2u= 3 ół3x+2y+8z+11u=0
Å„Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x+y+z= 2
ôÅ‚
ôÅ‚ Å„Å‚
6 5 -2 4 x1 -4
ôÅ‚
ôÅ‚
x
òÅ‚ -z= 0 x1-x2+x3- x4+ x5=1
òÅ‚
ïÅ‚9 -1 4 -1 śł ïÅ‚x2śł ïÅ‚
13śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(i) y-z=-1 (j) x -x2+x3+ x4- x5=1 (k) =
ðÅ‚3 4 2 -2 ûÅ‚ ðÅ‚x3ûÅ‚ ðÅ‚
1ûÅ‚
ôÅ‚ ółx1
ôÅ‚
x-y = 1 -x2+x3+3x4-3x5=1
ôÅ‚
1
ôÅ‚
3 -9 0 2 x4 11
ół
x-y-z= 0
Odp. (niektóre): (a) (5, 4, 3, 2, 1);
Å„Å‚
x1=-(9/2)-2t1 - t2,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x2= t1,
òÅ‚
(b) x3= t2,
ôÅ‚
ôÅ‚
x4=-(7/2) +2t2,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x5= (3/2) +2t2.
(c) x3 = t1, x5 = t2, x1 = -3t1 - 5t2, x2 = 2t1 + 3t2, x4 = 0 ;
(d) x1 = t1 - t2, x2 = t1 - t3, x3 = t1, x4 = t1, x5 = t2, x6 = t3;
(k) x1 = 2/3, x2 = -1, x3 = 3/2, x4 = 0.
2. Rozwiązać w zależności od parametru a względnie :
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
2x- y+ z+ t=1 ax1+ x2+ x3=1 x1+2x2+ 3x3= 0
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
(a) x+2y- z+ 4t=2 ; (b) x1+ax2+ x3=a (c) 2x1+4x2+2ax3= 0
ół ół ół
x+7y-4z+11t=a x1+ x2+ax3=a2 x1+3x2+ x3=a - 3
Å„Å‚
Å„Å‚
2x1+ 3x2+ x3+2x4=3
ôÅ‚
ôÅ‚
ax1- x2+ x3= 1
òÅ‚ òÅ‚
x1+ax2+x3=2a 4x1+ 6x2+3x3+4x4=5
(d) x -ax2+ x3= 1 (e) (f)
ax1+ x2+x3= a 6x1+ 9x2+5x3+6x4=7
ół3x1 ôÅ‚
ôÅ‚
-3x2+2x3=2a
ół
1
8x1+12x2+7x3+x4=9
Å„Å‚
Å„Å‚
5x1-3x2+2x3+ 4x4=3
ôÅ‚
ôÅ‚
( + 1)x1+ x2+ x3=2 + 3
òÅ‚ òÅ‚
4x1-2x2+3x3+ 7x4=1
(g) (h) x1+( + 1)x2+ x3=3 + 32
8x1-6x2- x3- 5x4=9
ôÅ‚ ół
ôÅ‚
x1+ x2+( + 1)x3=4 + 33
ół
7x1-3x2+7x3+17x4=
Wsk. do (h): Przekształcać przy pomocy operacji elementarnych, lub też skorzystać ze wzorów Cramera
w przypadku, w którym jest to możliwe.
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚x=(4/5)-(1/5)t1-(6/5)t2
òÅ‚y=(4/5)+(3/5)t -(7/5)t2
1
Odp. (niektóre): (a) Gdy a = 5, układ jest sprzeczny; gdy a = 5, to ;

t1
ôÅ‚
ôÅ‚z=
ółt =
t2
(f) Jeżeli  = 8, to x1 = t1, x2 = t2, x3 = -1, x4 = 2 - t1 - (3/2)t2 ;
jeżeli  = 8, to x1 = t, x2 = (4/3) - (2/3)t, x3 = 1, x4 = 0.

Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Układy równań liniowych. 3
Å„Å‚
x1= t1,
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x2= t2,
(g) Jeżeli  = 0, to układ jest sprzeczny. Jeżeli zaś  = 0, to

x3=(17/2)-(19/2)t1 +(13/2)t2,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x4= (7/2)+ (7/2)t1 - (5/2)t2.
(h) Jeżeli  = 0, to x1 = t1 - t2, x2 = t1, x3 = t2;
jeżeli  = -3, to x1 = x2 = x3 = t;
jeżeli  = 0, -3, to x1 = 2 - 2, x2 = 2 - 1, x3 = 3 + 22 -  - 1.

3. Korzystając m.in. ze wzorów Cramera, rozwiązać następujące układy równań:
x+ y+ z=1 ax+ y+ z=p x+aby+b2z=a
(a) ax+ by+ cz=d (b) x+ay+ z=q (c) x+a2y+abz=b
a2x+b2y+c2z=d2 x+ y+az=r cx+ ay+ bz=c
(b - d)(c - d)
Odp. (a) Jeżeli a = b = c = a, to x = , y, z  cyklicznie.

(b - a)(c - a)
Jeżeli np. a = b, to: jeżeli a = b = c = d, to układ jest sprzeczny;

jeżeli a = b = c = d, to np. y, z można przyjąć za parametry i x = 1 - y - z;
jeżeli a = b = c = d, to z = 1, y parametr, x = y;

jeżeli a = b = d = c, to z = 0, y  parametr, x = 1 - y;

jeżeli a = b = c oraz d = a, c, to układ jest sprzeczny.