Zestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowych

1
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Załó\my, \e macierz A jest macierzą kwadratową stopnia n . Mówimy, \e macierz B tego
samego wymiaru jest macierzą odwrotną do A , je\eli spełniona jest równość:
A �" B = B �" A = I .
Uwaga:
Macierz A jest odwracalna, czyli posiada macierz odwrotną, wtedy i tylko wtedy, gdy jej
wyznacznik jest ró\ny od zera, czyli jest ona tzw. macierzą nieosobliwą.
Zadanie 1
Sprawdz, czy podane macierze są do siebie wzajemnie odwrotne:
3 2 1
�ł łł �ł - 2
łł
A =
�ł1 1śł , B = �ł-1 - 3śł
�ł �ł �ł �ł
�ł- 1 3 1
łł
�ł
�ł-1 2 5 4 4 4śł
łł
�ł
3 17 1śł
�ł
A = 0 0 1śł , B = �ł - śł
�ł śł
8 8 8śł
�ł
�ł śł
3 2 2�ł
0 1 0śł
�ł
�ł
�ł śł
�ł �ł
Rozwiązanie:
A) Obliczymy iloczyn A �" B :
3
�ł - 2 - 6 - 6 1 -12
łł �ł łł
A �" B = , czyli A �" B `" I , a więc podane macierze nie są do
�ł1 -1 - 2 + 3śł = �ł0 1 śł
�ł �ł �ł �ł
siebie wzajemnie odwrotne. OCZYOCZYWIŚCIE NIE musimy JUś OBLICZAĆ DRUGIEGO
Z ILOCZYNÓW PODANYCH W DEFINICJI MACIERZY ODWROTNEJ.
B) Podobnie jak powy\ej, obliczymy iloczyn:
2
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
1 3 3 17 1 1
�ł łł
+ - - + 5 - +
�ł
4 4 4 4 4 4śł �ł1 0 0łł
�ł0
�ł śł
A�" B = 0 1 0 = 1 0śł ,
�ł śł
�ł śł
3 3 9 17 3 1
�ł śł
�ł- + - + 2 + śł
�ł0 0 1�ł
4 4 4 4 4 4
�ł śł
�ł �ł
1 3 2 2 5 2 3
�ł łł
+ - + - + +
�ł
4 4 4 4 4 4 4śł �ł
1 0 0
łł
�ł
3 3 6 2 15 17 2śł �ł0
B �" A = �ł- + + - + śł = 1 0śł ,
śł
8 8 8 8 8 8 8śł �ł
�ł
�ł śł
0 0 1
�ł0 0 1�ł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
zatem podane macierze są do siebie wzajemnie odwrotne.
Uwaga powy\sza nie podaje sposobu, jak obliczyć macierz odwrotną do danej. Sposób ten
(jeden z mo\liwych ) jest opisany poni\ej:
Aby wyznaczyć macierz odwrotną do A , wykonujemy następujące czynności:
1) Obliczamy wyznacznik macierzy A ; jeśli det A = 0 , to macierz odwrotna nie istnieje,
2) Jeśli det A `" 0 , to obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów macierzy
A ( dopełnieniem algebraicznym wyrazu aij macierzy A
nazywamy wyznacznik podmacierzy powstałej z A przez wykreślenie i - tego wiersza i
i+ j
j - tej kolumny, pomno\ony przez liczbę (-1) ) dopełnienie algebraiczne wyrazu aij
będziemy oznaczać przez Aij .
3) Tworzymy macierz D = [Aij] ,
i, j=1,...,n
4) Wyznaczamy macierz transponowaną do D
1
5) Macierzą odwrotną do A jest macierz A-1 = �" DT
det A
Zadanie 2
Sprawdz, czy dana macierz jest odwracalna i, jeśli tak, wyznacz macierz odwrotną:
1 3
�ł łł
A) A =
�ł2 1śł
�ł �ł
3
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
�ł-1 1 2
łł
�ł śł
B) A = 3 0 1
�ł śł
�ł śł
0 1 -1�ł
�ł
1 2 3
�ł łł
�ł śł
C) A = 2 4 9
�ł śł
�ł-1 - 2 - 2�ł
śł
�ł
Rozwiązanie:
A) Najpierw obliczymy wyznacznik macierzy A :
1 3
= 1- 6 = -5 `" 0 , zatem A jest odwracalna. Obliczymy teraz dopełnienia algebraiczne
2 1
wszystkich wyrazów tej macierzy:
1+1
A11 = (-1) �"1 = 1,
1+2
A12 = (-1) �" 2 = -2 ,
2+1
A21 = (-1) �"3 = -3 ,
2+2
A22 = (-1) �"1 = 1.
Zauwa\my, \e w tym przypadku dopełnienia algebraiczne wyrazów są wyznacznikami
macierzy wymiaru 1�1, czyli zawierającej tylko jeden wyraz. Taki wyznacznik jest równy
temu wyrazowi.
1
�ł - 2 1
łł �ł - 3
łł
Macierz D ma więc postać : D = , zatem DT = i otrzymujemy
�ł- 3 1 śł �ł- 2 1 śł
�ł �ł �ł �ł
�ł- 1 3
łł
1
łł
1 �ł - 3 �ł śł
5 5
wreszcie macierz A-1 = - �" =
�ł
�ł- śł
2 1śł .
5 2 1
�ł �ł
�ł - śł
�ł 5 5�ł
Aby sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń, mo\emy obliczyć odpowiednie iloczyny:
4
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
�ł- 1 6 3 3
łł
+ -
�ł
5 5 5 5śł = �ł1 0łł ,
A�" A-1 =
�ł
2 2 6 1śł �ł0 1śł
�ł �ł
�ł- + - śł
�ł 5 5 5 5�ł
�ł- 1 6 3 3
łł
+ - +
�ł
5 5 5 5śł = �ł1 0łł ,
A-1 �" A =
�ł śł
�ł0 1śł
2 2 6 1
�ł �ł
�ł - - śł
�ł 5 5 5 5 �ł
zatem otrzymaliśmy poprawny wynik.
-1 1 2 -1 1
B) det A = 3 0 1 3 0 = 0 + 0 + 6 - 0 - (-1)- (- 3) = 10 `" 0
0 1 -1 0 1
Zatem istnieje macierz odwrotna do A . OBLICZYMY DOPEANIENIA ALGEBRAICZNE
WSZYSTKICH WYRAZÓW MACIERZY A :
0 1
1+1
A11 = (-1) �" = -1,
1 -1
3 1
1+2
A12 = (-1) �" = -1�"(- 3) = 3 ,
0 -1
3 0
1+3
A13 = (-1) �" = 1�"3 = 3 ,
0 1
1 2
2+1
A21 = (-1) �" = -1�"(-1- 2)= 3 ,
1 -1
-1 2
2+2
A22 = (-1) �" = 1,
0 -1
-1 1
2+3
A23 = (-1) �" = -1�"(-1) = 1,
0 1
1 2
3+1
A31 = (-1) �" = 1,
0 1
5
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
-1 2
3+2
A32 = (-1) �" = -1�"(-1- 6)= 7 ,
3 1
-1 1
3+3
A33 = (-1) �" = -3 .
3 0
�ł-1 3 3
łł
�ł śł
Otrzymujemy stąd macierz D = 3 1 1 ,
�ł śł
�ł śł
1 7 - 3�ł
�ł
�ł-1 3 1
łł
�ł śł
następnie DT = 3 1 7 ,
�ł śł
�ł śł
3 1 - 3�ł
�ł
�ł-1 3 1
łł
1
�ł śł
i wreszcie A-1 = �" 3 1 7 .
�ł śł
10
�ł śł
3 1 - 3�ł
�ł
Wykonamy jeszcze sprawdzenie:
1+ 3 + 6 - 3+1+ 2 -1+ 7 - 6 10 0 0
�ł łł �ł łł
1 1
�ł śł �ł śł
A�" A-1 = �" - 3 + 3 9 +1 3 - 3 = �" 0 10 0 = I ,
�ł śł �ł śł
10 10
�ł - 3 1-1 7 + 3 0 0 10�ł
śł �ł śł
3
�ł �ł �ł
1+ 9 -1+1 - 2 + 3 -1 10 0 0
�ł łł �ł łł
1 1
�ł- śł �ł śł
A-1 �" A = �" 3+ 3 3 + 7 6 +1- 7 = �" 0 10 0 = I
�ł śł �ł śł
10 10
�ł- 3+ 3 3 - 3 6 +1+ 3 0 0 10�ł
śł �ł śł
�ł �ł �ł
ZATEM WYKONALIŚMY POPRAWNE OBLICZENIA.
C)
1 2 3 1 2
det A = 2 4 9 2 4 =
-1 - 2 - 2 -1 - 2
- 8 + (-18)+ (-12)-(-12)-(-18)-(- 8)= 0
6
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zatem macierz powy\sza jest nieodwracalna.
Układ równań liniowych to układ równań postaci:
a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
ńł
�ła x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
�ł
21
�ł........................................
�ł
�łak1x1 + ak 2x2 + ... + akn xn = bk
ół
gdzie aij , bi " R dla i = 1, 2,..., k; j = 1,2,...,n .
Macierz A = [aij] nazywamy macierzą tego układu.
i=1,2,...,k
j=1,2,...,n
Jeśli w powy\szym układzie równań liczba równań jest równa liczbie niewiadomych,
czyli n = k , i wyznacznik macierzy tego układu jest ró\ny od zera, to układ ten
nazywamy układem Cramera.
Uwaga
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest nim ciąg liczb x1, x2,..., xn ,
gdzie ka\dą z liczb xi mo\na obliczyć korzystając z wzoru:
Wi
xi = ( dla i =1,2,..., n )
W
W jest wyznacznikiem macierzy tego układu (tzw. wyznacznikiem głównym), zaś Wi
jest wyznacznikiem macierzy powstałej przez zastąpienie w macierzy układu i - tej
kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Opisana powy\ej metoda rozwiązywania układów Cramera, nazywa się metodą
wyznaczników.
Zadanie 3
Sprawdz, czy podany układ jest układem Cramera. Jeśli tak, rozwią\ go metodą
wyznaczników.
7
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
ńł- 2x1 + x2 = 1
A) �ł
x1 + 4x2 = 13
ół
x1
ńł - x2 + 3x3 = 5
�ł5x + x2 + x3 = -2
B) �ł
1
�ł
x1 + x2 + x3 = 3
ół
x1 + x2 - x3 = 0
ńł
�ł- 2x1 + 3x2 + 2x3 = -1
C) �ł
�ł
3x1 - 2x2 - 3x3 = 1
ół
Rozwiązania:
A) Obliczymy najpierw wyznacznik główny tego układu, aby sprawdzić, czy jest to układ
Cramera:
- 2 1
W = = -8 -1 = -9 `" 0 ,
1 4
A zatem jest to układ Cramera i mo\emy zastosować metodę wyznaczników:
1 1
W1 = = 4 -13 = -9 ,
13 4
- 2 1
W2 = = -26 -1 = -27 .
1 13
Stosując teraz podane powy\ej wzory, otrzymujemy:
ńłx = - 9
= 1
1
�ł
�ł - 9
,
�ł
�łx2 = - 27 = 3
�ł
ół - 9
Czyli rozwiązaniem układu jest para liczb : (1,3)
B) Podobnie, jak poprzednio, obliczymy wyznacznik główny układu:
8
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
1 -1 3 1 -1
W = 5 0 -1 5 0 = 0 +1+15 - 0 -(-1)-(- 5)= 22 `" 0
1 1 1 1 1
Zatem jest to układ Cramera.
Mamy:
5 -1 3 5 -1
W1 = - 2 0 -1 - 2 0 = 0 + 3 +(- 6)- 0 - (- 5)- 2 = 0
3 1 1 3 1
1 5 3 1 5
W2 = 5 - 2 -1 5 - 2 = -2 + (- 5)+ 45 -(- 6)-(- 3)- 25 = 22
1 3 1 1 3
1 -1 5 1 -1
W3 = 5 0 - 2 5 0 = 0 + 2 + 25 - 0 - (- 2)-(-15)= 44 ,
1 1 3 1 1
0
ńłx = = 0
1
�ł
22
�ł
22
�łx
Zatem = =1 ,
�ł
2
22
�ł
44
�łx = = 2
3
�ł
22
ół
czyli rozwiązaniem układu jest ciąg trzech liczb: (0,1,2).
C) Tak, jak w poprzednich przykładach, obliczamy wyznacznik główny:
1 1 -1 1 1
W = - 2 3 2 - 2 3 = -9 + 6 + (- 4)-(- 9)-(- 4)- 6 = 0`.
3 - 2 - 3 3 - 2
poniewa\ wyznacznik główny jest równy 0 , więc powy\szy układ nie jest układem Cramera.
9
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Zbadaj, czy dana macierz posiada macierz odwrotną i, jeśli tak , wyznacz ją:
1
�ł - 2
łł �ł-1 0
łł
A) A = D) A =
�ł0 1 śł �ł śł
1 1
�ł �ł �ł �ł
2 3 2 3
�ł łł �ł łł
B) A = E) A =
�ł-1 - 2śł �ł4 5śł
�ł �ł �ł �ł
1
�ł - 4
łł �ł-1 3
łł
C) A = F) A =
�ł- 2 8 śł �ł śł
2 - 5
�ł �ł �ł �ł
Zadanie 2
Zbadaj, czy macierz B jest odwrotna do macierzy A :
3
�ł - 2 1
łł �ł - 2
łł
A) A = , B =
�ł1 1 śł �ł-1 3 śł
�ł �ł �ł �ł
1 1
�ł łł
4 2
�ł łł
�ł4 - 2śł
B) A = , B =
�ł0 1śł
�ł0 1 śł
�ł �ł
�ł �ł
1 1 1
�ł łł
�ł2 - 2 - 2śł
1 0 1
�ł łł
�ł1 1 1 śł
�ł-1
C) A = 1 0śł , B = �ł - śł
�ł śł
�ł2 2 2śł
�ł -1 1�ł
śł
0
�ł
�ł1 1 1 śł
�ł2 2 2 śł
�ł �ł
1 2 1
�ł łł �ł- 3 - 3 5
łł
1
�ł0 �ł
D) A = -1 3śł , B = �" 3 1 - 3śł
�ł śł �ł śł
4
�ł śł �ł śł
1 3 -1�ł
�ł2 1 3�ł �ł
10
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zadanie 3
Oceń, czy następujący układ równań jest układem Cramera i, jeśli tak, rozwią\ go metodą
wyznaczników.
ńł- 2x1 + x2 = 3
A)
�ł5x - 3x2 = -8
ół 1
2x1
ńł - 3x2 = 17
B)
�ł- 4x1 + 5x2 = -31
ół
x1
ńł - 2x2 + x3 =1
�ł2x + x2 - 3x3 = -8
C)
�ł
1
�łx
+ 2x3 = 3
ół 1
x1 + x2 - x3 =1
ńł
�ł-
D) 2x1 - x2 + 2x3 = 0
�ł
�ł- x1
+ x3 = 0
ół
x1 + x2 - x3 =1
ńł
�ł3x - x2 + 2x3 =11
E)
�ł
1
�łx - 2x2 + x3 = 0
ół 1
ńł- 3x1 + x2 + x3 = 4
�ł
F) 2x2 - 3x3 = 2
�ł
�ł- x1 - x2 + 2x3 = -2
ół
2x1
ńł - x2 + 5x3 = 15
�ł5x + x2 - x3 = 4
G)
�ł
1
�łx - x2 + x3 = 2
ół 1
4x1 + x2 - 3x3 = 0
ńł
�ł-
H) 2x1 - x2 + 2x3 = -1
�ł
�łx + x2 + x3 = 4
ół 1
3x1
ńł - x2 + x3 = -6
�łx + x2 - 2x3 = 3
I)
�ł
1
�ł- x1 - 2x2 + x3 = -4
ół
11
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
2x1 + x2 - x3 = 0
ńł
�łx - x2 + 5x3 = 0
J)
�ł
1
�ł3x
+ 3x3 = 0
ół 1
x1 + x2 + x3 = 0
ńł
�ł-
K) 2x1 + 3x2 4x3 = 0
�ł
�łx - x2 + 5x3 = 0
ół 1
3x1
ńł - 2x2 + x3 = 0
�łx + 5x2 - 4x3 = 0
L)
�ł
1
�ł4x + 3x2 - 2x3 = 0
ół 1
ODPOWIEDZI:
ZADANIE 1
1 2
�ł łł
A) TAK; A-1 =
�ł0 1śł
�ł �ł
2 3
�ł łł
B) TAK; A-1 =
�ł-1 - 2śł
�ł �ł
C) NIE
�ł-1 0
łł
D) TAK; A-1 =
�ł
1 1śł
�ł �ł
�ł- 5 3
łł
�ł śł
E) TAK; A-1 =
2 2
�ł
2 - 1śł
�ł �ł
5 3
�ł łł
F) TAK; A-1 =
�ł2 1śł
�ł �ł
ZADANIE 2
A) NIE
B) TAK
C) TAK
D) NIE
12
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
ZADANIE 3
A) TAK; ROZWIZANIEM JEST PARA LICZB: (-1,1).
B) TAK; ROZWIZANIEM JEST PARA LICZB: (4, - 3).
C) TAK; ROZWIZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (-1, 0, 2).
D) NIE JEST TO UKAAD CRAMERA
E) TAK; ROZWIZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (2,3,4).
F) TAK; ROZWIZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (4,10, 6).
G) TAK; ROZWIZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (1, 2,3).
H) TAK; ROZWIZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (0,3,1).
I) TAK; ROZWIZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (-1,2,-1).
J) TAK; ROZWIZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (0, 0, 0).
K) TAK; ROZWIZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (0,0,0).
L) TAK; ROZWIZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (0,0,0).

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zadania agebra, macierze, wielomiany, układy równań liniowych
zadania agebra, macierze, wielomiany, układy równań liniowych
Zestaw układy równań liniowych(1)
Zestaw 1 Funkcja kwadratowa Funkcja homograficzna Równanie liniowe
Wyklad 2 3 MACIERZE WYZNACZNIK UKLADY ROWNAN
uklady rownan liniowych
4 uklady rownan liniowych
t5 uklady rownan liniowych
BOiE układy równań liniowych
wykład 11 układy równań liniowych
zestaw al macierz odwrotna
układy rownań liniowych
110 Układy równań liniowych
7 Układy równań liniowych

więcej podobnych podstron