dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 20.11.2013
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
1
  
Zestaw ćwiczeń 8
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
VIII. Macierz odwrotna
Zadanie 8.1. (Odwracanie macierzy; [1, 98/8.7])
Rozwiązać podane równania macierzowe:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
-1 1 -2 -1 3 1 1 3 3 3
(a) X · = ; (b) · X · = ;
3 -4 3 4 2 1 1 2 2 2
([ ] )-1 [ ] [ ] [ ]
0 3 1 2 1 3 5 6
(c) + 4 · X = ; (d) 3 · X + = · X.
5 -2 3 4 -2 1 7 8
Zadanie 8.2. (Działania na macierzach)
Niech A, B " Mn×n oraz r " R. Podać kontrprzykÅ‚ady do każdego z poniższych stwierdzeÅ„:
(a) AB = BA;
(b) A-1B-1 = (AB)-1 (o ile wszystkie macierze odwrotne istniejÄ…);
(c) det(A + B) = det A + det B;
(d) det(rA) = r det A;
(e) (A + B)-1 = A-1 + B-1 (o ile wszystkie macierze odwrotne istniejÄ…).
Zadanie 8.3. (Macierze odwrotne; [2, 68/283])
I + X A
Obliczyć (f(A))-1 gdzie f(X) = oraz = A · B-1 dla macierzy:
I - X B
îÅ‚ Å‚Å‚
[ ]
1 0 2
1 2
ïÅ‚ śł
(a) A = , (b) A = 2 1 0 .
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
1 1 1
Zadanie 8.4. (Macierz odwrotna)
Wyznaczyć macierze odwrotne (o ile istnieją) do następujących macierzy (zadanie zrobić na dwa sposoby):
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 1 -1 1 1 2 1 -1 1 3 1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
7 -1 2 3 3 1 1 3 3 -2 -1 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A1 = ïÅ‚ śł A2 = ïÅ‚ śł A3 = ïÅ‚ śł
ðÅ‚ -3 4 3 1 3 2 3
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ -1 3 -2 3
ûÅ‚
1
-3 -2 2 -1 3 2 1 -1 -1 3 1 -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
5 3 12 7 1 2 1 -1 0 3 3 11
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
15 -2 -6 -10 3 2 -1 3 3 -1 12 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A4 = ïÅ‚ śł A5 = ïÅ‚ śł A6 = ïÅ‚ śł
ðÅ‚ -14 4 12 14 1 13 -2 0
ûÅ‚ ðÅ‚ -1 -3 -2 3
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
21 4 17 5 1 -8 -10 -1 2 3 1 -12
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 3 1 6 3 1 -1 3 2 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ -2 -1 3 -1 3 śł ïÅ‚ -2 -1 3 3 3 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A7 = -2 3 -1 3 1 A8 = 2 -2 3 3 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ -1 1 2 3 4
ûÅ‚ ðÅ‚ -1 0 2 1 4
ûÅ‚
1 -3 -2 -4 -3 0 -1 -2 2 -3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 3 2 3 -1 1 -2 2 -3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ -2 -1 3 3 3 śł ïÅ‚ 5 3 1 3 2 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A9 = 2 -2 3 3 1 A10 = 2 -1 3 -4 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 0 2 1 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ -1 0 -1 1 1
ûÅ‚
0 -1 -2 2 -3 1 -1 2 2 0
dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 20.11.2013
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
2
  
Zestaw ćwiczeń 8
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 1 -1 1
-1 -1 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 2 2 śł ïÅ‚ 2 2 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
22 16 -15 25
ïÅ‚ śł ïÅ‚ -10 -5 4 7
śł
Odpowiedzi: det A1 = 2, A-1 = , det A2 = -2, A-1 = ,
1 ïÅ‚ śł 2 ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
19 14 -13 22 19 9 -7 -13
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ -5 5 3
ûÅ‚ ðÅ‚ -5
ûÅ‚
-3 -4 -1 1
2 2 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
-30 -19 -5 18
îÅ‚ Å‚Å‚
-17 9 -1 31
ïÅ‚ śł
13 13 13 13
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
8 4 4 8
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
-23 24 53 6
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
-1 1 0 2 ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 13 13 26 13 śł
ïÅ‚ śł
det A3 = -8, A-1 = 7 -11 , det A4 = 26, A-1 = ïÅ‚ śł,
3 ïÅ‚ śł 4
ïÅ‚ śł
-3 0 66 34 9 -37
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2 2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 13 13 26 13 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
21 -9 1 -35 ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
-80 -55 -31 48
8 4 4 8
13 13 26 13
îÅ‚ Å‚Å‚
1905 -107 -857 1559
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
-133 23 14 2 14 14
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
-34 -1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
-33 13 15 -27
ïÅ‚ 2 2 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 2 2 2 2 śł
65 -11 33 1
ïÅ‚ śł
det A5 = -2, A-1 = , detA6 = 14, A-1 = ïÅ‚ śł,
5 ïÅ‚ śł 6
ïÅ‚ śł
-549 31 247 -449
ïÅ‚ śł
-59 10 -30 -1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
7 -1
ïÅ‚ 14 2 14 14 śł
ïÅ‚ śł
2 0
ðÅ‚ ûÅ‚
2 2 107 -48 87
-6
7 7 7
îÅ‚ Å‚Å‚
-17 -37 -17 19 -13
ïÅ‚ śł
5 10 10 5 5
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
-5 -5 -2 5 -4
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
13 14 4 -16 7
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
det A7 = 10, A-1 = ïÅ‚ śł, det A8 = 0,
5 5 5 5 5
7
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
26 51 21 -27 19
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
5 10 10 5 5
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
-24 -49 -19 28 -16
5 10 10 5 5
îÅ‚ Å‚Å‚
-5 1 4 7 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
11 1 12 19 2
2 6 3 6 3
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
-95 -104 -167 -19
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 11 31 26 -10 śł
ïÅ‚ -1 śł
ïÅ‚ śł
-22
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł 7 7 7 7
ïÅ‚ śł
3 3 3 3
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ -12 -1 -13 -21 -2
śł
ïÅ‚ -13 7 10 13 -4 śł
det A9 = 6, A-1 = , det A10 = -7, A-1 = ïÅ‚ śł.
9 ïÅ‚ śł 10
ïÅ‚ -2 -3 -3 1
śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2 6 3 6 3
ïÅ‚ śł 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 7 7 7 7 śł
ïÅ‚ -17 3 7
śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
4 -1 ðÅ‚ ûÅ‚
-5 -4 -4 -1
ïÅ‚ śł
2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚ 0
7 7 7 7
6 -1 -3 -2 1
Samodzielnie należy przeczytać oraz rozwiązać wszystkie zadania i przykłady z [1], Rozdział 3, str.
89 100 (z wyjątkiem zadań z gwiazdką).
Literatura
[1] Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie VIII poprawione, Wrocław, 2002.
dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 20.11.2013
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
3
  
Zestaw ćwiczeń 8
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
[2] Sylwester Przybyło and Andrzej Szlachtowski. Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w
zadaniach. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2006.