2. Metody wyznaczania macierzy odwrotnej: metoda wyznacznikowa (za pomocą dopełnień algebraicznych), metoda operacji
elementarnych. Przykłady zastosowań macierzy w zagadnieniach ekonomicznych.
Zadanie 4. [wyznaczanie macierzy odwrotnej]
Macierz jest nieosobliwa jeżeli jej wyznacznik jest różny od zera.
Macierz odwrotna A-1 do macierzy kwadratowej nie-osobliwej A nazywamy taką macierz, że A-1A= A A-1. Można dowieść,
1
że A-1= [Aik]T , gdzie [Aik]T jest transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych.(metoda wyznacznikowa)
det A
(A I)~ (A-1 Å" A A-1™)= (™ A-1)
(metoda operacji elementarnych)
îÅ‚3 1 -1Å‚Å‚
îÅ‚1 2Å‚Å‚ îÅ‚1 2Å‚Å‚ îÅ‚8 3Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
a) A = b) A =
ïÅ‚3 5śł ïÅ‚2 5śł c) A = ïÅ‚3 1śł d) ïÅ‚4 2 1 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚2 -1 1 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Zadanie 5. Dla poniższej macierzy znajdz
: a) wyznacznik macierzy,
b) macierz dopełnień algebraicznych,
c) macierz transponowaną dopełnień algebraicznych,
d) macierz odwrotnÄ….
1 0 2 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 2 3 0 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 4 1 1
ïÅ‚2 8 2 - 4śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Zadanie 6. [rzÄ…d macierzy] Znajdz
rzędy następujących macierzy:
Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy
(i) zamianÄ™ wierszy (kolumn) ;
(ii) pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę różną od 0 ;
(iii) pomnożenie wybranego wiersza (kolumny) przez pewną liczbę i dodanie do
innego wiersza (kolumny)
Macierze nazywamy równoważnymi, jeżeli jedna powstaje z drugiej przez zastosowanie
działań elementarnych .
Stąd A~B <=> r (A) = r (B) (~)- równoważne
1 3
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 3 5 5 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1 2 0 1 2 0 1 2
2 6 îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚2 śł ïÅ‚-1
ïÅ‚ śł
a) b)
ïÅ‚-1 -2 0 1 2 0 -1 -2śł c) ïÅ‚ -1 0 śł d) ïÅ‚ 0 -2 2śł
śł
ïÅ‚-1 -3
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ -3 -3ûÅ‚ ïÅ‚ 2 1 1 3ûÅ‚
śł śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚1 ðÅ‚
1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚2 -1 3 śł
1 2 3 4 5
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚-5 -4 -3 -2 -1śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0
ïÅ‚ śł
e) f) g) ïÅ‚ śł
0 0 0
ïÅ‚2 1 5 śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 0 0śł
ïÅ‚1 0 -3śł
1 2 -1 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚0 0 0śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚3 0 9 ûÅ‚
h) 0 0 0 0 0 10
[ ]
Zadanie 7. [równanie macierzowe] ZakÅ‚adamy, że speÅ‚niona jest równość A Å" X = B .
x1 1 2 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Znajdz
macierz X = , jeżeli A = .
ïÅ‚x śł ïÅ‚2 -1śł , B = ïÅ‚-3śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚