Macierz odwrotna
WYKA
AD 13
Jacek Jędrzejewski
2008/2009
Spis treści
1 Macierz odwrotna 2
2 Algorytm odwracania macierzy 3
1
1 Macierz odwrotna
Przypominamy: symbolem Em będziemy oznaczali macierz jednostkową stop-
nia m.
Mamy więc
j=1,...,m
Em = ´ij i=1,...,m ,
gdzie ´ij oznacza  deltÄ™ Kroneckera .
W zbiorze Mn(K ) macierzy kwadratowych stopnia n mnożenie macierzy
jest działaniem (wewnętrznym). Jest ono działaniem łącznym, ale nieprze-
miennym.
Definicja 1 Macierz A ze zbioru Mn(K ) nazywamy odwracalną, jeśli ist-
nieje macierz B taka, że
" "
A B = B A = En.
Definicja 2 Macierz B, spełniającą poprzednie równości nazywamy macie-
rzÄ… odwrotnÄ… do macierzy A i oznaczamy symbolem A-1.
Mamy więc:
" "
A A-1 = A-1 A = En.
Zajmiemy się za chwilę sposobami, jak sprawdzić, że dana macierz jest
odwracalna i jak wyznaczyć macierz odwrotną.
Teraz omówimy podstawowe własności macierzy odwracalnych.
Własność 3 Jeśli macierz A jest odwracalna, to również i macierz A-1 jest
odwracalna i
-1
A-1 = A.
Dowód wynika bezpośrednio z definicji macierzy odwrotnej.
2
Własność 4 Jeśli macierze A i B, mające ten sam stopień są odwracalne,
"
to również i macierz A B jest odwracalna i
" "
(A B)-1 = B-1 A-1.
D o w ó d. Zauważmy, że

" " " " " "
B-1 A-1 (A B) = B-1 A-1 A B =
" " "
= B-1 E B = B-1 B = E
oraz podobnie

" " " " " "
(A B) B-1 A-1 = A B B-1 A-1 =
" " "
= A E A-1 = A A-1 = E,
a to kończy dowód.
Definicja 5 Zbiór wszystkich macierzy odwracalnych stopnia n o współczyn-
nikach z ciała K oznaczamy jako GL(n, K).
Okazuje się, że mnożenie macierzy jest działaniem (wewnętrznym) w zbio-
rze macierzy odwracalnych, zatem z poprzednich własności wnioskujemy, że:
Twierdzenie 6 Zbiór wszystkich macierzy odwracalnych stopnia n o współ-
czynnikach z ciała K czyli GL(n, K) z mnożeniem macierzy jest grupą.
2 Algorytm odwracania macierzy
Przypomnijmy, że operacjami elementarnymi na wierszach macierzy nazywa-
my następujące operacje:
zmiana kolejności dwóch wierszy,
pomnożenie wiersza przez niezerowy element ciała K,
dodanie do jednego wiersza innego wiersza pomnożonego przez element
ciała K.
Nie wymieniamy teraz skreślania wiersza zerowego, gdyż w dalszych roz-
ważaniach zajmiemy się tylko macierzami odwracalnymi.
3
Definicja 7 Macierzą elementarną nazywamy macierz, która powstała z ma-
cierzy jednostkowej przez dokonanie na niej jednej operacji elementarnej.
Twierdzenie 8 Macierz odwrotna do macierzy elementarnej jest macierzÄ…
elementarnÄ….
Twierdzenie 9 Macierz A stopnia n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy,
gdy jest iloczynem pewnej liczby macierzy elementarnych.
Twierdzenie 10 Jeśli A jest macierzą kwadratową stopnia n, to można ją
przekształcić w macierz jednostkową E (też stopnia n), stosując skończoną
liczbÄ™ operacji elementarnych na wierszach wtedy i tylko wtedy, gdy macierz
E można przekształcić w macierz A-1, stosując te same operacje w tej samej
kolejności.
Z powyższych rozważań możemy utworzyć następujący algorytm odwra-
cania macierzy.
Dla macierzy A stopnia n tworzymy macierz, oznaczanÄ… jako [A|E], po-
wstałą z macierzy A przez dostawienie macierzy jednostkowej w kolumnach
od n + 1-ej do 2n-tej.
Do tej macierzy stosujemy przekształcenia elementarne na wierszach w
taki sposób, aby macierz A przekształcić w macierz jednostkową.
Jeśli w pewnym kroku otrzymamy w pierwszej części tej macierzy wiersz
zerowy, to macierz A nie jest odwracalna.
W przeciwnym przypadku, po skończonej liczbie operacji elementarnych,
po lewej stronie od pionowej kreski otrzymamy macierz jednostkowÄ…, a po
prawej stronie  macierz odwrotnÄ… do macierzy A.
Przykład 11 Znalez
ć macierz odwrotną do macierzy A, gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 -4
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A = 2 1 -2 .
ðÅ‚ ûÅ‚
4 -1 -1
4
Tworzymy macierz  podwójną [A|E].
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 -4 1 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2 1 -2 0 1 0 .
ðÅ‚ ûÅ‚
4 -1 -1 0 0 1
Do wiersza drugiego dodajemy pierwszy pomnożony przez -2 i do wiersza
trzeciego dodajemy pierwszy pomnożony przez -4. Otrzymujemy macierz
 podwójną , mającą postać:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 -4 1 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 3 6 -2 1 0 .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 3 15 -4 0 1
Następnie do trzeciego wiersza dodajemy wiersz drugi pomnożony przez
-1. Otrzymujemy
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 -4 1 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 3 6 -2 1 0 .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 9 -2 -1 1
1 1
Mnożymy drugi wiersz przez , a trzeci przez .
3 9
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 -4 1 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 1 2 -2 1 0 .
ðÅ‚ ûÅ‚
3 3
0 0 1 -2 -1 1
9 9 9
Teraz do drugiego wiersza dodajemy trzeci pomnożony przez -2 oraz do
pierwszego wiersza dodajemy trzeci pomnożony przez 4.
îÅ‚ Å‚Å‚
1
1 -1 0 -4 4
9 9 9
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 1 0 -2 5 -2 .
ðÅ‚ ûÅ‚
9 9 9
0 0 1 -2 -1 1
9 9 9
Na koniec do pierwszego wiersza dodajemy drugi.
5
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 -1 1 2
9 9 9
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 1 0 -2 5 -2 .
ðÅ‚ ûÅ‚
9 9 9
0 0 1 -2 -1 1
9 9 9
Ostatecznie, z powyższych obliczeń wynika:
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 1 2
9 9 9
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A-1 = -2 5 -2 .
ðÅ‚ ûÅ‚
9 9 9
-2 -1 1
9 9 9
6