10. Ruch płaski ciała sztywnego
1. Prędkość w ruchu płaskim
Metody wyznaczania prędkości w ruchu płaskim
1. Analitycznie
y
Dane: u�A, w� Szukane: u�B
r� r� r� r� r� r�
u�A u�B l u�B =� u�A +�u�B u�B =� w� �� r�
/ A / A
x
u�B
O
2. Na podstawie położenia
B
chwilowego środka prędkości
Dane: u�A, w� lub u�A i położenie su�
r�
w�
Szukane: u�B
u�B/A
u�A
u�A
r�A =� u�B =� w�r�
B
r�B
w�
u�A
3. Na podstawie rzutów prędkości
A
na kierunek wspólnej prostej
j�
Dane: u�A, kierunek l
r�A
j�
prędkości punktu B
su� Szukane: u�B
chwilowy środek prędkości
r� r�
w� u�A' =�u�B'
1
Zadanie 1
Wyznaczyć prędkość punktów A, B, C i D toczącego się
bez poślizgu krążka o promieniu r. Dana jest prędkość
środka krążka u�O.
B
D
r
u�O C
A
O
Zadanie 2
W mechanizmie korbowym korba OA o długości r obraca się z prędkością kątową w�0 wokół
nieruchomej osi. Wyznaczyć prędkość suwaka B oraz prędkość kątową w� korbowodu AB w
położeniach mechanizmu pokazanych na rysunku. Długość korbowodu AB równa jest l.
B
a) b) c)
B
B
l
l
l A
r
w�0 A w�0 w�0
r
r
A
O O O
r r2 r
Odp.: u�B =� w�0r w� =� 0 u�B =� w�0 r2 +� l2 w� =� w�0 u�B =� 0 w� =� w�0
l l2 l
2
Odp.:
A
Zadanie 3 a)
2r
u�B =� 3u�0
6r
r
u�0
Szpula o promieniach r i 2r
B
toczy się bez poślizgu po
prostej. Prędkość środka
szpuli wynosi u�0. Ze szpulą
ć� 2 ��
b)
związany jest przegubowo
u�B =� u�0��1-� �� 2r
�� ��
35
Ł� ł�
r
pręt AB o długości 6r, któ-
u�0 A
rego koniec B ślizga się po
B
wspomnianej prostej.
Wyznaczyć prędkość
końca B pręta w położeniach
pokazanych na rysunku.
c)
2r
u�B =� -�u�0
r
u�0
B
A
Zadanie 4
Mechanizm planetarny składa się z koła centralnego 1 o promieniu
r1, satelity 2 o promieniu r2, jarzma 3 oraz koła zewnętrznego 4.
4
Dane Szukane
A
r2 w�2
O2
2
a) w�1=0 w�4
3
w�3=w�0 u�A
w�3
1
r1
O1 b) w�1= w�0 w�4
w�1
w�4
w�3= w�0 u�A
c) w�4= 0 w�3
w�1=w�0 u�A
w�0 r1
c) w�3 =�
r1 +� r2 b) w�4 =� w�0 3r1 +� 2r2
2 r1 +� r2
Odp.: a) w�4 =� 2w�0
r1 +� 2r2
r1 +� 2r2
2
u�A =� w�0 2(�r1 +� r2)� u�A =� w�0 (�2r1 +� r2)�2 +� (�r1 +� r2)�2 u�A =� w�0r1 2
3
Zadanie 5
Pręt AB o długości l ślizga się po dwóch prostych nachylonych
pod kątem a�.
Wyznaczyć prędkość końca B oraz prędkość kątową pręta jeśli
tworzy on z prostą poziomą kąt b� (b�wynosi u�A.
B
l
a�
b� u�A
A
cos b� u�A sina�
u�B =�u�A w� =�
Odp.:
cos(�a� -� b� )� l cos(�a� -� b� )�
Zadanie 6
Pręt AB o długości l ślizga się po poziomej prostej oraz po narożu C.
Koniec A pręta posiada prędkość u�A.
Wyznaczyć prędkość końca B oraz prędkość kątową pręta jeśli
tworzy on z prostą poziomą kąt �a�. Dany jest wymiar h.
B
C
h
a� u�A
A
u�A u�A
Odp.: u�B =� h2 +� l2 sin4a� -� 2hl sin3a� w� =� sin2a�
h h
4
Zadanie 7
Ze szpuli o promieniach R i r odwinięto nić o długości l. Koniec
nici ciągnięty jest z prędkością u�.
Po jakim czasie nić nawinie się na szpulkę?
R
r
u�
l
l R -� r
ć� ��
t =�
�� ��
Odp.:
u� r
Ł� ł�
Zadanie 8
Szpula o promieniach r i R toczy się bez poślizgu między dwiema
równoległymi listwami posiadającymi prędkości u�1 oraz u�2.
Wyznaczyć prędkość kątową szpuli oraz prędkości punktów A i B.
u�1
B
R
r
A
u�2
u�1 +�u�2
Odp.: u�A =� w� r2 +� e2 u�B =� w�(�r -� e)� w� =�
r +� R
Ru�2 -� ru�1
gdzie: e =�
u�1 +�u�2
5
Zadanie 9
A
Mechanizm składa się z 3 prę-
tów połączonych przegubowo.
Pręty O1A oraz O2B mogą obra-
a
w�0
cać się wokół nieruchomych osi
O1 i O2. Pręt O1A obraca się z
O1
prędkością kątową w�0.
Wyznaczyć prędkość kątową
a
pręta O2B.
O2
B
a a
w�0
Odp.: w� =�
2
Zadanie 10
Mechanizm składa się z 3 prętów połączonych przegubowo.
Pręty O1A oraz O2B mogą obracać się wokół nieruchomych osi
O1 i O2. Punkt A posiada prędkość u�A.
Wyznaczyć prędkość punktu B.
u�A
A
B
60�
O1 60�
O2
Odp.: u�B =� 2u�A
6
Zadanie 11
C
Pręty AC i BC połączono przegubo-
60�
wo w punkcie C. Końce prętów
ślizgają się wzdłuż wzajemnie B
prostopadłych prostych z prędko-
u�B
ściami u�A oraz u�B.
Wyznaczyć prędkość punktu C w
położeniu mechanizmu pokazanym
A
u�A
na rysunku.
1
2
u�C =� u�2 +�u�B
Odp.:
A
2
Zadanie 12
Koniec A pręta AB o długości 3r ślizga się z prędkością u�A po
powierzchni walcowej o promieniu r. Równocześnie pręt opiera
się o naroże C.
Wyznaczyć prędkość końca B oraz prędkość kątową pręta w
pokazanym położeniu.
B
C
r
A
u�A
13 -� 6 2 u�A
u�B =� u�A w� =�
Odp.:
2 2r
7
Zadanie 13
Koła o promieniach r1 i r2, z których pierwsze jest nieruchome,
opasano nierozciągliwą, szorstką taśmą zaś ich środki połączono
przegubowym prętem. Obliczyć prędkość kątową w�2 drugiego
koła, jeśli prętowi nadano prędkość kątową w�0.
r1
r2
O1
O2 w�2
w�0
r1 -� r2
w�2 =� w�0
Odp.:
r2
Zadanie 14
Środki trzech kół, mogących toczyć się po sobie bez poślizgu,
połączono listwą, której nadano prędkość kątową w�0. Obliczyć
prędkości kątowe drugiego i trzeciego koła, jeśli koło pierwsze
zostało unieruchomione. Dane są promienie kół.
w�2
r1
r2
O1
O2 r3 O3 w�3
w�0
r1 +� r2
w�2 =� w�0
r2
Odp.:
r1 +� r2 -� r3
w�3 =� w�0
r3
8
Zadanie 15
Zagięty pod kątem a�=60o cienki pręt ślizga się po powierzchni
nieruchomego walca w płaszczyz
nie prostopadłej do jego osi.
Punkt A pręta, w którym styka się on z walcem, posiada prędkość
u�A. Obliczyć prędkość u�B naroża B pręta.
A
B
a�
u�B =� 2u�A
Odp.:
Zadanie 16
Ciężar C podnoszony jest za pomocą
mechanizmu wielokrążkowego pokaza-
u�
nego na rysunku.
Jaka będzie prędkość u�C ciężaru, jeśli
koniec liny pociągniemy z prędkością u� ?
u�C
C
1
u�C =� u�
Odp.:
4
9
Zadanie 17
Na dwóch walcach, o promieniach r1 i r2, ułożono deskę, po czym
środkowi pierwszego walca nadano prędkość u�1.
Obliczyć prędkość u�2 środka drugiego walca oraz prędkość
kątową w� deski, jeśli w układzie nie ma poślizgu.
w�
r1
u�1
r2 u�2
u�2 =� u�1 w� =� 0
Odp.:
10