Metody wyznaczania
pól powierzchni
wykłady z przedmiotu
 Geodezja i kartografia
Dr hab. inż. Andrzej Kobryń
Kataster
Obliczanie pola powierzchni figur geometrycznych zwiÄ…zane jest z
katastrem nieruchomości  instytucją o wielkim znaczeniu dla sprawnego
funkcjonowania państwa, gdyż jest podstawą do ustalania podatku
gruntowego.
Pierwsze znaki zakładania i prowadzenia katastru sięgają okresu
starożytności i odnoszą się do ludów Chaldei, Egiptu oraz Rzymu
Kataster gruntowy określa dla danego obszaru: granicami stan własności
(posiadanie), sytuację, użytkowanie gruntów, ich obszar, klasyfikację,
wartość.
Dane te zebrane są w tzw. operacie katastralnym, zakładanym i
prowadzonym dla jednostek katastralnych.
Na mapach katastralnych przedstawione sÄ…:
¨ð granice wÅ‚asnoÅ›ci użytków gruntowych,
¨ð konturów klasyfikacyjnych,
¨ð rzuty poziome obiektów staÅ‚ych (budynki, mosty).
¨ð figury zamkniÄ™te granicami wÅ‚asnoÅ›ci i użytków, odpowiednio
ponumerowane na mapie, stanowiÄ… tzw. parcele.
Mapa katastralna
Metody obliczenia pola powierzchni
wykorzystywane w geodezji
analityczna
Na podstawie miar kÄ…towych i liniowych uzyskanych w terenie lub
współrzędnych obliczonych z tych miar.
graficzna
Na podstawie miar uzyskanych z mapy przez pomiar np. długości
lub współrzędnych.
mechaniczna
Przy użyciu przyrządów mechanicznych, zwanych planimetrami
wodzikowymi.
kombinowana (mieszana lub analityczno-graficzna)
Na podstawie miar uzyskanych częściowo w terenie, częściowo zaś
na mapie (zapewnia wyższą dokładność niż metoda graficzna).
automatyczna (=analityczna, ale komputerowo)
Z wykorzystaniem map numerycznych lub map analogowych i
odpowiednich urządzeń elektronicznych (digitizery, planimetry
elektroniczne) wyposażonych w odpowiednie oprogramowanie.
Dokładności poszczególnych metod
obliczania pól powierzchni
najmniej dokładne
¨ðmetoda graficzna i mechaniczna (bÅ‚Ä…d wzglÄ™dny w
przedziale od 1:100 do 1:300)
¨ðnieco bardziej dokÅ‚adna, lecz bardziej pracochÅ‚onna
jest metoda graficzna
¨ðmetoda mechaniczna niezastÄ…piona jest przy
obliczaniu pól figur o bardzo nieregularnych obrysach
¨ðniska dokÅ‚adność jest wynikiem naÅ‚ożenia siÄ™ bÅ‚Ä™dów
pomiaru graficznego i błędów samej mapy
najbardziej dokładna
¨ðmetoda analityczna (dokÅ‚adność zależna od
dokładności pomiarów elementów terenowych)
Pomiary liniowe na mapie
podziałka transwersalna (poprzeczna)
Obliczenie pól prostych figur
dane: długość podstawy i wysokość
trójkąta
1 1 1
P =ð aha =ð bhb =ð chc
2 2 2
dane: dwa boki i kąt między nimi
1 1 1
P =ð a ×ð b ×ð singð =ð a ×ðc ×ð sin bð =ð b ×ðc ×ð sinað
2 2 2
dane: bok i dwa przyległe do niego kąty
1 b2 sinað singð
P =ð
2 sin bð
dane: trzy boki trójkąta
1
p =ð (ða +ð b +ð c)ð
P =ð p(p -ð a)(p -ð b)(p -ð c)
2
Obliczenie pól prostych figur
prostokÄ…t
P =ð a ×ð b
1
P =ð d2 sinjð
2
równoległobok
P =ð a ×ð h
P =ð a ×ð b ×ð sinað
Obliczenie pól prostych figur
trapez
P =ð c ×ð h
1
P =ð (ða +ð b)ðh
2
dowolny czworobok
1
P =ð p ×ðq ×ð sinjð
2
1
P =ð p(ðh1 +ð h2)ð
2
Obliczenie pól prostych figur
podział graficzny na trójkąty
metoda kombinowana
Obliczenie pól prostych figur
zamiana na trójkąt równoważny
Pole wieloboku zdjętego metodą
ortogonalnÄ…
z podobieństwa trójkątów wynika
x h1
=ð
(l1 -ð l4 ) -ð x h4
stÄ…d
(l1 -ð l4 )h1 (l1 -ð l4 )h1
x =ð (l1 -ð l4 ) -ð x =ð (l1 -ð l4 )
(h1 +ð h4 ) (h1 +ð h4 )
zatem pole I
PI =ð PIwew . -ð PIzew. =ð
1 1
=ð h1x -ð h4[ð(l1 -ð l4 ) -ð x]ð =ð
2 2
1
=ð (h1 -ð h4 )(l1 -ð l4 )
2
Pole wieloboku zdjętego metodą
ortogonalnÄ…
wielobok 1-2-3-4 podzielony liniÄ…
pomiarową i liniami domiarów
prostokÄ…tnych na trapezy I, II, III i IV,
których pola można obliczyć na
podstawie miar rzędnych i odciętych
¨ð różnice rzÄ™dnych l sÄ… równe
wysokościom
¨ð rzÄ™dne h sÄ… równe podstawom
trapezów
¨ð dla trapezów I i III, których
podstawy są położone po
przeciwnych stronach linii
pomiarowej, rzędnej położonej na
zewnÄ…trz wieloboku przypisuje
siÄ™ znak minus
2P =ð (ðh4 -ð h1)ð(l4 -ð l1) +ð (h3 +ð h4 )(l3 -ð l4 ) +ð
+ð (ðh3 -ð h2)ð(l2 -ð l3 ) +ð (ðh4 -ð h1)ð(l2 -ð l1)
Pole wieloboku zdjętego metodą
biegunowÄ…
1 1
P =ð r2r1 sin(að2 -ðað1) +ð r3r2 sin(að3 -ðað2) +ð
2 2
1 1
+ð r4r3 sin(að4 -ðað3 ) -ð r4r1 sin(að4 -ðað1)
2 2
czyli:
2P =ð r1r2 sin(að2 -ðað1) +ð r2r3 sin(að3 -ðað2) +ð
+ð r3r4 sin(að4 -ðað3 ) +ð r1r4 sin(að1 -ðað4 )
StÄ…d wynika:
n
2P =ð
åðr ri sin(aði -ðaði )
i +ð1 +ð1
i =ð1
Kontrola:
n
åð(að -ðaði ) =ð 0
i +ð1
i =ð1
Pole wieloboku ze współrzędnych
prostokÄ…tnych
Suma pól odpowiednich trapezów
o podstawach równoległych do
osi X:
2P =ð (x2 +ð x1)(y2 -ð y1) -ð (x3 +ð x2)(y2 -ð y3 ) -ð
-ð (x4 +ð x3 )(y3 -ð y4 ) +ð (x1 +ð x4 )(y1 -ð y4 )
stÄ…d:
n
2P =ð
åð(x +ð xi )(yi -ð yi )
i +ð1 +ð1
i =ð1
Pole wieloboku ze współrzędnych
prostokÄ…tnych
Suma pól odpowiednich trapezów
o podstawach równoległych do
osi Y:
2P =ð (y1 +ð y2)(x1 -ð x2) +ð (y3 +ð y2)(x2 -ð x3 ) -ð
-ð (y4 +ð y3 )(x4 -ð x3 ) +ð (y1 +ð y4 )(x1 -ð x4 )
stÄ…d:
n
-ð 2P =ð
åð(y +ð yi )(xi -ð xi )
i +ð1 +ð1
i =ð1
Pole wieloboku ze współrzędnych
prostokÄ…tnych  wzory Gaussa
Po wymnożeniu wyrazów w
nawiasach i uporzÄ…dkowaniu:
n
2P =ð xi (yi +ð1 -ð yi -ð1)
åð
i =ð1
oraz:
n
-ð 2P =ð
åðy (xi -ð xi )
i +ð1 -ð1
i =ð1
Obliczanie pól metodą mechaniczną
planimetry
Budowa planimetru
Planimetrowanie z biegunem na
zewnÄ…trz
pole czÄ…stkowe dP (ograniczone
punktami O1,W1, W2, O2) złożone z
¨ð równolegÅ‚oboku (kolor niebieski)
¨ð wycinka koÅ‚owego (kolor zielony)
suma tych pól
1
2
dP =ð r ×ðdh +ð dað ×ð r
2
droga kółka całkującego podczas
ruchu z W1 do W2
dl =ð dh -ð r'×ðdað
stÄ…d:
dh =ð dl +ð r'×ðdað
Planimetrowanie z biegunem na
zewnÄ…trz (c.d.)
po podstawieniu do równania
wyjściowego
1
2
dP =ð r ×ð(dl +ð r '×ðdað ) +ð dað ×ð r
2
stÄ…d:
1
2 (*)
dP =ð r ×ð dl +ð d að(r ×ð r '+ð r )
2
suma wszystkich pól cząstkowych (po
obwiedzeniu całej figury)
1
P =ð
åðdP =ðråðdl +ð åðdað(r ×ð r '+ð 2 r 2)
åðdað =ð 0
ponieważ
więc
P =ð r
åðdl
Planimetrowanie z biegunem na
zewnÄ…trz (c.d.)
wielkość Sdl jest całkowitą drogą
odpowiadajÄ…cÄ… efektywnemu obrotowi
kółka całkującego
drogę Sdl można wyrazić jako
åðdl =ð (n2 -ð n1)k
k- liniowa wartość jednostki odczytu,
czyli 0,001 obwodu kółka
stÄ…d
P =ð k ×ð r(n2 -ð n1)
ponieważ k oraz r nie zmieniają się
podczas planimetrowania, więc
P =ð C1(n2 -ð n1)
Planimetrowanie z biegunem
wewnÄ…trz
cały planimetr (łącznie z
biegunem) znajduje siÄ™ w
granicach konturu
planimetrowanej (dużej) figury.
¨ð ramiÄ™ biegunowe zakreÅ›la
koło o promieniu R.
¨ð drugÄ… część figury zakreÅ›la
ramiÄ™ wodzÄ…ce
(powierzchnia między
kołem a obwodem figury)
Planimetrowanie z biegunem
wewnÄ…trz (c.d.)
Å‚Ä…czne pole (suma pola
wyrażonego wzorem (*) oraz
pola koła o promieniu R)
1
P =ð r
åðdl +ð åðdað(r ×ð r '+ð 2 r 2) +ð PðR2
ponieważ åðdað =ð 2Pð
oraz
r
åðdl =ð C1(n2 -ð n1)
więc
1
2
P =ð C1(n2 -ð n1) +ð 2Pð(r ×ð r '+ð r ) +ð PðR2
2
stÄ…d:
2
P =ð C1(n2 -ð n1) +ð Pð(R2 +ð 2r ×ð r '+ðr )
Planimetrowanie z biegunem
wewnÄ…trz (c.d.)
stała dodawania
2
C2 =ð Pð(R2 +ð 2r ×ð r '+ðr )
stałą dodawania można
interpretować jako pole koła
obojętnego o promieniu R :
C2 =ð PðR'2
gdzie:
2
R'2 =ð r +ð R2 +ð 2rR
ostatecznie:
P =ð C1(n2 -ð n1) +ð C2
Wyznaczanie stałych planimetru
wyznaczenie
¨ð poprzez wielokrotne obwiedzenie z biegunem na zewnÄ…trz
jednego lub dwóch kwadratów siatki kartograficznej
¨ð na tej podstawie wyznaczymy rzeczywistÄ… wartość staÅ‚ej C1,
która odpowiada aktualnej długości promienia wodzącego r
C1 =ð P(n2 -ð n1)
zgodnie ze wzorem (*)
1
P =ð
åðdP =ðråðdl +ð åðdað(r ×ð r '+ð 2 r 2)
długość ramienia wodzącego r jest proporcjonalna do stałej C1
pożądaną długość ramienia r odpowiadającą  okrągłej stałej C1
obliczymy więc na podstawie proporcji
r : r ' =ð c1 : c'1
stÄ…d wynika:
r =ð r '(ðc1 : c'1)ð
Planimetrowanie