Zestaw 8
Metody wyznaczania całek nieoznaczonych
Niech f : P Ą , gdzie P jest przedziałem. Mówimy, \
e F : P Ä„ jest funkcjÄ…
2
pierwotną funkcji f , gdy F = f . Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f
nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale P i oznaczamy fdx lub
+"
f (x)dx .
+"
ZachodzÄ… wzory
f (x)dx + g(x)dx ,
+"( f (x)+ g(x))dx = +" +"
f (x)dx , a "Ä„ .
+"af (x)dx = a+"
Przykład 1. Obliczyć całki:
2 5
ëÅ‚ öÅ‚dx
2
a) - 6x + 3 - +
÷Å‚
+"ìÅ‚5x
x x2
íÅ‚ Å‚Å‚
xa+1
Wykorzystując podane własności całek oraz xadx = + C dla a `" -1 ,
+"
a +1
1
dx = ln x + C otrzymujemy
+"
x
2 5 1 1
ëÅ‚ öÅ‚dx x2dx - 6 xdx + 3 - 2 dx + 5 dx =
2
+"ìÅ‚5x - 6x + 3 - x + x2 ÷Å‚ = 5+" +" +"dx +" +"
x x2
íÅ‚ Å‚Å‚
x3 x2 x-1 5 5
5 - 6 + 3x - 2ln x + 5 + C = x3 - 3x2 + 3x - 2ln x - + C
3 2 -1 3 x
3
4
x Å" x2 + x
b) dx
+"
x2
Z postaci funkcji podcałkowej wynika, \
e jest ona określona dla x > 0 . Wtedy mamy
2 1
2 1 -1 -7
3
4
3 4
1+ -2 -2
x Å" x2 + x x Å" x + x
3 4 3 4
= = x + x = x + x ,
x2 x2
2 -3
-1 -7
3
4
3 4
ëÅ‚ öÅ‚
x Å" x2 + x 3 4 1
3
3 4
÷Å‚dx x x
co daje dx = x + x = + + C = x2 - + C
+" +"ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4
2 - 3
x2 2 3
x3
íÅ‚ Å‚Å‚
3 4
x2 - x - 20
c) dx
+"
x + 4
Zauwa\
my, \
e x2 - x - 20 = (x + 4)(x - 5) . Zatem
x2 - x - 20 1
dx = + 5)dx = x2 + 5x + C
+" +"(x
x + 4 2
Całkowanie przez podstawianie
Niech P,T będą przedziałami i niech funkcja g : T P będzie ró\
niczkowalna. Je\
eli
2
funkcja f ma w P caÅ‚kÄ™ nieoznaczonÄ…, to funkcja f o g Å" g ma w T caÅ‚kÄ™
nieoznaczonÄ… oraz
2
f o g(x)Å" g (x)dx = (+" f (t)dt)o g(x)
+"
Przykład 2. Policzyć całki:
a) 3x +1dx
+"
2 2
Przyjmijmy g(x) = 3x +1 i f (t) = t . Wtedy g (x) = 3 oraz f o g(x)Å" g (x) = 3 3x +1 .
StÄ…d otrzymujemy
1 1 1 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ 3
3x +1dx = 3x +1dx = tdt = t3 + C1 = (3x +1) + C
ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"3 +"
3 3 3 3 9
íÅ‚ Å‚Å‚
x
b) dx
+"
x2 - 6
1
2
Przyjmijmy g(x) = x2 - 6 i f (t) = . Wtedy g (x) = 2x oraz
t
2x
2
f o g(x)Å" g (x) = . StÄ…d otrzymujemy
x2 - 6
2
x 1 2x 1 1 1
dx = dx = dt = (2 t + C1)= x2 - 6 + C
+" +" +"
2 2 2
t
x2 - 6 x2 - 6
x2
c) dx
+"
x3 - 5
1 3x2
2 2
Przyjmijmy g(x) = x3 - 5 i f (t) = . Wtedy g (x) = 3x2 oraz f o g(x)Å" g (x) =
t x3 - 5
StÄ…d otrzymujemy
x2 1 3x2 1 1 1 1
dx = dx = dt = (ln t + C1)= ln x3 - 5 + C
+" +" +"
x3 - 5 3 x3 - 5 3 t 3 3
ln x
d) dx
+"
x
1 ln x
2 2
Przyjmijmy g(x) = ln x i f (t) = t . Wtedy g (x) = oraz f o g(x)Å" g (x) = . StÄ…d
x x
otrzymujemy
ln x 1 1
2
2
dx = = t + C = (ln x) + C
+" +"tdt 2
x 2
ex
e) dx
+"
2ex +1
1 2ex
2 2
Przyjmijmy g(x) = 2ex +1 i f (t) = . Wtedy g (x) = 2ex oraz f o g(x)Å" g (x) = .
t 2ex +1
StÄ…d otrzymujemy
ex 1 2ex 1 1 1 1
dx = dx = dt = (ln t + C1)= ln(2ex +1)+ C
+" +" +"
2ex +1 2 2ex +1 2 t 2 2
Wzór na całkowanie przez części
2
Niech P będzie przedziałem i f , g : P Ą funkcjami ró\
niczkowalnymi. Je\
eli fg ma
2
całkę nieoznaczoną, to f g ma całkę nieoznaczoną oraz
2 2
f (x)g(x)dx = f (x)g(x)- f (x)g (x)dx
+" +"
3
Przykład 3. Policzyć całki:
a) x Å" exdx
+"
2 2
Przyjmijmy f (x) = ex i g(x) = x . Wtedy f (x) = ex i g (x) = 1 . Zatem
x
x Å" exdx = x Å" ex - dx = x Å" ex - ex + C = ex(x -1)+ C
+" +"e
b) xdx
+"ln
1
2 2
Przyjmijmy f (x) = 1 i g(x) = ln x . Wtedy f (x) = x i g (x) = . Zatem
x
+"ln xdx = x Å" ln x - +"dx = x Å" ln x - x + C = x(ln x -1)+ C
Zadania do samodzielnego rozwiÄ…zywania
Zadanie 1. W oparciu o własności całek obliczyć:
2
a) (x3 - 3x2 + 2x)dx x2 -1
g) (x2 - x +1) dx
+"
+"
m) dx
+"
x -1
b) (- 5x7 + 2x2 - 7)dx h) ( x +1)(x - x +1)dx x2 - 2x +1
+" +"
n) dx
+"
1- x
3 2
c) (x2 - x +1)(x2 + x +1)dx
1- x
ëÅ‚ öÅ‚
i) (3 + 24 x) dx
+"
+"
o)
+"ìÅ‚ x ÷Å‚ dx
íÅ‚ Å‚Å‚
3
1
ëÅ‚ öÅ‚dx
d) x(x -1)(x - 2)dx
3
(x2 -1)
+"
j) x2 + - 2x x
÷Å‚
p) dx
+"ìÅ‚3 x3
+"
íÅ‚ Å‚Å‚
x
e) x(x2 + 5)dx
3 + 53 x2
+"
k) dx
+"
3
x
f) (x2 - 3)dx x2 - x
+"4x
l) dx
+"
3
x
4
Zadanie 2. Stosując metodę podstawiania obliczyć całki:
2
x x
a) x Å"(x2 + 4) dx
g) dx m) dx
+"
+" 6 +"
(x2 + 3) x2 - 9
7 -3x+1
1
n) dx
b) x Å"(x2 - 8) dx
+"e
h) dx
+"
+"
2x - 3
2
x
c) 7x + 4dx
o) x Å" ex dx
+"
i) dx +"
+"
3 - 5x2
2
x
p) x Å" e-x dx
d) x x2 - 3dx
j) dx +"
+"
+"
x2 - 2
1
x
e) x 1+ x2 dx
x
k) dx
+"
e
+"
3
q) dx
2x2 -1
+"
x2
x
x2
f)
l) dx
+"1+ x2 dx
+"
5
x3 +1
Zadanie 3. Obliczyć całkując przez części:
a) x2 Å" exdx c) (2x2 -1)Å" exdx e) x2 Å" ln xdx
+" +" +"
b) (x2 +1)Å" exdx d) x Å" ln xdx f) x3 Å" ln xdx
+" +" +"
Odpowiedzi
Zadanie 1.
1 1
x5 x4
a) x4 - x3 + x2 + C m) x2 + x + C
g) - + x3 - x2 + x + C
4 2
5 2
b)
2 1
h) x5 + x + C n) x - x2 +C
5 2
5 2
- x8 + x3 - 7x + C
8 3
i)
1 1 1
c) x5 + x3 + x + C o) - - 2ln x + x + C
216 32
4 4
5 3 x
27x + x5 + 24 x3 + x7 + C
5 7
p)
1 9 1 4
3
d) x4 - x3 + x2 + C j) x5 - - x5 + C
x6 3x4 3x2
4 5 2x2 5
- + - ln x + C
6 4 2
1 5 9 15
3 3
e) x4 + x2 + C k) x2 + x4 + C
4 2 2 4
3 6
f) x4 - 6x2 + C
3 6
l) x8 - x7 + C
8 7
5
Zadanie 2.
1 3 1 1
m) x2 - 9 + C
a) (x2 + 4) + C g) - Å" + C
5
6 10
(x2 + 3)
1 8 1
h) 2x - 3 + C
b) (x2 - 8) + C n) - Å" e-3x+1 + C
16 3
2
2 1 1
3
c) (7x + 4) + C i) - 3 - 5x2 + C o) Å" ex + C
21 5 2
2
1 3 1
j) x2 - 2 + C
d) (x2 - 3) + C p) - Å" e-x + C
3 2
1
1 3 3 2
3
x
e) (1+ x2) + C k) (2x2 -1) + C
q) - e + C
3 8
5 4
5
f) ln 1+ x2 + C
l) (x3 +1) + C
12
Zadanie 3.
1
a) (x2 - 2x + 2)Å" ex + C c) (2x2 - 4x + 3)Å" ex + C
e) x3(3ln x -1)+ C
9
1 1
b) (x2 - 2x + 3)Å" ex + C
d) x2(2ln x -1)+ C f) x4(4ln x -1)+ C
4 16
6