Politechnika Warszawska
Wydział Fizyki
32
Laboratorium Fizyki I
Antoni Latuszek
Bogumił Hałaciński
WYZNACZANIE MODUA
U PIEZOELEKTRYCZNEGO d METOD
STATYCZN

1. Podstawy fizyczne
Ćwiczenie to ma na celu zapoznanie się ze zjawiskiem piezoelektrycznym oraz własnościami
piezoelektryków i ich wykorzystaniu w technice.
1.1. Przypomnienie potrzebnych wiadomości
1. Odkształcenie  oznaczane najczęściej literą S (ang. strain  odkształcenie).
"l
S = (a)
l
Jest to względna zmiana długości lub ogólniej, jest to względna zmiana wzajemnego położenia
punktów materialnych ciała stałego.
2. Naprężenie  oznaczane najczęściej literami � lub T (ang. tensile  rozciągający) - równe jest sile
rozciągającej, działającej prostopadle do powierzchni A, na jednostkę tej powierzchni:
Ą# ń#
F N
T = (b)
ó# Ą#
A
ó#m2 Ą#
Ł# Ś#
3. Prawo Hook,a  odkształcenie sprężyste jest proporcjonalne do naprężenia:
S = sT (c)
gdzie s jest stałą materiałową, zwaną stałą sprężystości.
4. Moduł Younga  moduł sprężystości.
Ą# ń#
1 N
Y = (d)
ó# Ą#
s
ó#m2 Ą#
Ł# Ś#
Zależność (c) w oparciu o (d) zapisujemy jako:
T = YS , (e)
co oznacza, że przyłożone naprężenie jest proporcjonalne do spowodowanego odkształcenia.
5. Współczynnik Poisona ł  stała materiałowa określająca zwężenie przekroju poprzecznego ciała
rozciąganego siłami podłużnymi. Jest ona równa stosunkowi względnego odkształcenia poprzecznego
do jego względnego odkształcenia podłużnego (kierunek podłużny = kierunek działania siły F)  patrz
rys. 1.
Wyznaczanie modułu piezoelektrycznego d metodą statyczną
2
"x
-
xo
ł = (f)
"z
zo
F
xo
x=xo+"x
F
Rys. 1. Ilustracja definicji współczynnika Poissona.
6. Natężenie pola elektrycznego E między okładkami kondensatora płaskiego:
U V
Ą# ń#
E = (g)
ó#mĄ#
l
Ł# Ś#
U  napięcie między okładkami kondensatora, l  odległość między tymi okładkami.
7. Natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora wyrażone przez gęstość
powierzchniową ładunków �:
�
E = (h)
� �
o
q Ą# ń#
C
gdzie: � = (q  ładunek, A  powierzchnia), �0 = 8.85�10-12 [F/m]  przenikalność
ó# Ą#
A
Ł#m2 Ś#
C
dielektryczna próżni. � = - jest to względna stała dielektryczna równa stosunkowi pojemności
Co
kondensatora z dielektrykiem C i bez dielektryka C0 .
1.2. Materia w polu elektrycznym.
1. Przewodnikami nazywamy ciała, w których po przyłożeniu pola elektrycznego następuje
ukierunkowanie przemieszczenia (ruch) swobodnych ładunków elektrycznych (ładunki ujemne:
elektrony, aniony; ładunki dodatnie: kationy, dziury w półprzewodnikach).
2. Dielektrykami nazywamy ciała, w których na skutek braku elektrycznych ładunków
swobodnych może być wytworzone i utrzymywane bez strat pole elektryczne (dielektryk idealny).
Ponieważ w dielektrykach istnieją nieznaczne ilości ładunków swobodnych, przyjmuje się umownie
za dielektryki (izolatory) uważać te substancje, których rezystywność w temperaturze pokojowej jest
większa od � = 108 &!m. Dielektryk umieszczony w polu elektrycznym ulega polaryzacji.
3. Polaryzacja elektryczna lub polaryzacja dielektryczna jest to zjawisko powstawania
własnego makroskopowego pola elektrycznego w dielektryku, wywołanego zewnętrznym polem
elektrycznym. Związane jest ono z mikroprzesunięciami ładunków w obszarze atomów lub cząsteczek
wchodzących w skład dielektryka. W wyniku tych mikroprzesunięć ładunku związanego, na
o
z = z -
"
z
o
z
Wyznaczanie modułu piezoelektrycznego d metodą statyczną
3
przeciwnych powierzchniach prostopadłościanu tego ciała (np. ciała w kształcie płyty umieszczonej
prostopadle do linii sił pola elektrycznego) powstaje ładunek związany, którego gęstość
q C
Ą# ń#
powierzchniowa (z definicji) równa jest modułowi wektora polaryzacji P, czyli P = . A
adunki
2
ó#m Ą#
A
Ł# Ś#
te, zwane polaryzacyjnymi, wytwarzają własne makroskopowe pole elektryczne, skierowane
przeciwnie do pola zewnętrznego.
1.3. Zjawisko piezoelektryczne czyli polaryzacja dielektryczna wywołana ciśnieniem
W 1880 roku Jakub i Piotr Curie w czasie doświadczeń z płytkami wyciętymi z kryształu
kwarcu zauważyli, że wywieranie nacisku (piezo - ciśnienie) w pewnych kierunkach
krystalograficznych tego kryształu powoduje pojawienie się na jego powierzchniach ładunku
proporcjonalnego do wielkości przyłożonego ciśnienia  czyli płytka tego kryształu ulega polaryzacji
P, proporcjonalnej do przyłożonego ciśnienia T (patrz rys.2.):
P = d �T (1)
Polaryzacja P zmienia znak przy zmianie znaku naprężenia (rozciąganie ma znak  + , ściskanie    ).
A
adunki elektryczne (polaryzacja P) wywołane ciśnieniem, zostały nazwane piezoelektrykami,
a zjawisko fizyczne  zjawiskiem piezoelektrycznym prostym. Jego mechanizm dla kwarcu
wyjaśnia poglądowo rys.2.
- jon tlenu O-
b
- jon krzemu Si++
a
z
c
P
elektrody metalowe
z
F
F
Rys.2. a - Struktura kryształu kwarcu SiO2 z wyróżnioną płaszczyzną P.
b  niezdeformowany sześciokąt, wyróżniony na płaszczyz
nie P.
c  Zdeformowany wzdłuż osi x sześciokąt wraz z ładunkiem indukowanym na metalowych
elektrodach naparowanych na powierzchniach kryształu, prostopadłych do płaszczyzny P.
Kwarc (SiO2) ma komórkę elementarną złożoną z trzech atomów krzemu (elektrycznie
dodatnich  kwarc posiada znaczny udział wiązania jonowego) i sześciu atomów tlenu (elektrycznie
ujemnych). Na płaszczyz
nie P przecięcia kryształu można wyróżnić sześciokąty składające się
z trzech atomów krzemu i trzech atomów tlenu uwidocznionych na rys.2b i 2c. Jeżeli przykładając siłę
F kryształ ściśniemy wzdłuż osi x, leżącej w płaszczyz
nie P, wówczas atom krzemu przesunie się
Wyznaczanie modułu piezoelektrycznego d metodą statyczną
4
między atomy tlenu, a atom tlenu między atomy krzemu. Wytwarza się więc moment dipolowy, który
indukuje na metalizowanych powierzchniach kryształu ładunek o znaku pokazanym na rys. 2c.
W 1881 roku G. Lippmann teoretycznie przewidział, że napięcie elektryczne przyłożone do
niektórych powierzchni kryształu kwarcu powinno wywołać mechaniczną deformację (odkształcenie)
lub mechaniczne naprężenie (patrz rys.3). Bracia Jakub i Piotr Curie w tym samym roku potwierdzili
eksperymentalnie hipotezę Lippmanna, mianowicie liniową zależność odkształcenia S od pola
elektrycznego E:
S = d.E (2)
Okazało się, że współczynnik proporcjonalności wynosi także d, tak jak we wzorze (1).
Zmiana kierunku pola elektrycznego E zmienia znak odkształcenia S (wydłużenie ma znak  + ,
kurczenie    ).
U3
E3
P
xo
xo +"x
Rys.3. Efekt piezoelektryczny odwrotny. U  napięcie przyłożone do elektrod, P i E  wektory
polaryzacji i natężenia pola elektrycznego. "x i "z  zmiany wymiarów kryształu, wywołane
przyłożeniem pola elektrycznego.
Polaryzację elektryczną wywołaną mechanicznym naprężeniem nazywa się prostym
zjawiskiem piezoelektrycznym  wzór (1), a odkształcenie ciała pod wpływem przyłożonego napięcia
elektrycznego (pola E)  odwrotnym zjawiskiem piezoelektrycznym  wzór (2).
Z zależności (1) i (2) zjawisko piezoelektryczne proste i odwrotne można przedstawić
równaniem:
P S "P "S
= = d = = , (3)
T E "T "E
gdzie " oznaczają odpowiednie przyrosty; natomiast d jest modułem piezoelektrycznym lub
współczynnikiem piezoelektrycznym i jest określony przez przyrost grubości (długości) "l na
jednostkę napięcia U:
"l
Ą#
S "l m P P Cm2 ń# Cm Cm m
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
l
ó# Ą#
d = = = ; d = d = = = = (4)
ó#V Ą# ó# Ą# ó#CV Ą# ó#V Ą#
U
E U T T J
Ł# Ś# ó#m2N Ą# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
Ł# Ś#
l
W ogólnym przypadku moduły piezoelektryczne d tworzą tensor trzeciego rzędu dijk.
Naprężenie T oraz odkształcenie S tworzą symetryczne tensory drugiego rzędu Tij i Sij. W zapisie
macierzowym liczba równań i członów w równaniach zmniejsza się znacznie, a dla wybranych
kierunków może zredukować się do dwóch modułów d33 i d31.
Przedmiotem ćwiczenia jest wyznaczenie modułów d33 i d31 w zjawisku piezoelektrycznym
odwrotnym oraz modułu piezoelektrycznego d33 w zjawisku piezoelektrycznym prostym metodą
statyczną.
o
z
o
z
-
"
z
Wyznaczanie modułu piezoelektrycznego d metodą statyczną
5
1.4. Wyznaczanie modułów piezoelektrycznych d33 oraz d31 w odwrotnym zjawisku
piezoelektrycznym metodą statyczną.
Zasada pomiaru modułów d33 i d31 przedstawiona jest na rys.3. Kierunek polaryzacji P
w umowie międzynarodowej jest zgodny z kierunkiem osi 3 (tj. z).
Jeśli do płytki ceramiki piezoelektrycznej podłączymy napięcie U3, wówczas jej długość z
ulegnie skróceniu (lub wydłużeniu o "z) czyli ze w wzoru (2) mamy:
"z
= d33E3 = d33 U3 (5)
z0
z0
Indeks 3 w E3 oznacza, że wektor natężenia pola elektrycznego ma kierunek osi 3. A zatem:
"z
d33 = (6)
U3
Należy więc zmierzyć "z (w metrach) i U3 (w woltach) i podzielić "z przez U3. Pierwszy wskaz
nik 3
w d33 oznacza, że pole elektryczne ma kierunek osi 3, natomiast drugi wskaz
nik  3 ,
że odkształcenie zachodzi w tym kierunku, czyli wzdłuż osi z.
Ponieważ "z jest bardzo małe i do jego pomiaru należałoby posługiwać się bardzo czułymi
dylatometrami (urządzeniami do pomiaru zmian długości) więc do wyznaczenia "z korzystamy ze
zmian rozmiarów poprzecznych x0 płytki. Ten wymiar płytki może być dowolnie duży, więc i "x
będzie znaczne (rzędu wielu źm), co już można zmierzyć czułymi dylatometrami, i wykorzystując
współczynnik Poissona wyznaczyć "z :
"x
-
xo
ł = (7)
"z
zo
"xzo
A zatem: "z = .
xoł
Ostatecznie:
"xzo
d33 = (8)
xołU3
Podobnie wyznaczamy d31. Ze wzoru (2) mamy:
"x U3
= d31E3 = d31 (9)
x0 z0
Stąd :
"xz0
d31 = (10)
x0U0
Drugi wskaz
nik w d31 (tj. 1) oznacza, że odkształcenie pod wpływem przyłożonego pola zachodzi w
kierunku osi 1, a więc x.
Wyznaczanie modułu piezoelektrycznego d metodą statyczną
6
1.5. Zastosowania piezoelektryków
Zastosowania zjawiska piezoelektrycznego można podzielić na trzy zasadnicze grupy.
1. Do pierwszej zaliczamy zastosowania piezopłytek jako rezonatorów w generatorach
i stabilizatorach częstotliwości. Te zastosowania zapewnia wysoka dobroć piezoelementów.
Wymagana dobroć stosowanych rezonatorów zawiera się w przedziale 103  108.
2. Druga grupa zastosowań piezopłytek, to użycie ich w charakterze przetworników drgań zarówno
nadawczych jak i odbiorczych. Wymagane zazwyczaj szerokie pasmo przetwarzanych
częstotliwości osiągamy przez podwyższanie tłumienia (obniżanie dobroci). Techniczne przyrządy
z tej grupy zastosowań, to ultrasonografy, defektoskopy, echosondy, (sonary) i.t.p.
3. W trzeciej grupie znajdują się urządzenia, w których wykorzystujemy fizyczne działanie
wytworzonych piezoelektrycznie drgań i fal. Do grupy tej zaliczamy także przyrządy takie jak:
drążarki ultradz
więkowe, myjki, atomizery (rozpylacze cieczy) itp. W tej grupie zastosowań z
przyrządami opartymi na piezoefekcie rywalizują przyrządy oparte na zjawisku magnetostrykcji,
lecz z reguły mają one większy ciężar i rozmiary.
1.6. Zasada działania galwanometru balistycznego
Udowodnimy, że pierwsze wychylenie cewki galwanometru jest proporcjonalne do ładunku,
który przez nią przepłynął.
Wiadomo z mechaniki, że równanie momentów sił (II zasada dynamiki Newtona dla bryły
sztywnej) dla cewki galwanometru (ramki) ma postać:
2
d� d Ć dĆ
I = I = M - r - DĆ (11)
Z
2
dt dt
dt
dĆ
Mz  oznacza tu moment sił zewnętrznych na działających na cewkę, r jest momentem sił tarcia,
dt
DĆ - oznacza sprężysty moment zwrotny zawieszenia cewki. Wartość momentu sił zewnętrznych
działających na ramkę wyraża się wzorem:
Mz = Ni SBsinĆ (12)
gdzie i  natężenie prądu, S  powierzchnia ramki, N  ilość zwojów, B  wartość indukcji
magnetycznej działającej na ramkę, Ć  kąt pomiędzy normalną do płaszczyzny ramki a kierunkiem
wektora B (rys. 4)
Zależność momentu Mz od kąta Ć znika, jeśli się rozważy układ linii B w galwanometrze
(patrz rys. 4).
�
x
S
N
Ć
Rys. 4. Zasada działania galwanometru balistycznego.
Wyznaczanie modułu piezoelektrycznego d metodą statyczną
7
Jeżeli czas przepływu prądu przez galwanometr � jest dużo mniejszy od czasu pełnego
wychylenia (skręcenia) cewki galwanometru (� << T0 / 4) to ramka w tym czasie praktycznie nie
zdąży jeszcze wyjść z położenia równowagi i można przyjąć, że DĆ = 0. Przy małym tarciu
dĆ
( r H" 0 ) równanie (11) upraszcza się do postaci:
dt
d�
I = Ni SB (13)
dt
Stąd otrzymujemy:
�
I� = NSB = NSB q (14)
+"idt
o
gdzie q jest ładunkiem, który przepłynął przez cewkę.
Z drugiej strony wiemy, że uzyskana energia ruchu obrotowego cewki musi być równa
energii sprężystej zawieszenia po zatrzymaniu, czyli:
2 2
Dąo
I�
= (15)
2 2
Wyliczając � z równania (14) i wstawiając do (15) otrzymujemy:
DI
2
q2 = ąo (16)
2 2
N S B2
Wszystkie parametry charakteryzujące cewkę i galwanometr tj. N, S, I, D i B są dodatnie
i stałe, stąd prosta zależność: q = b�ąo , która stwierdza proporcjonalność pierwszego wychylenia do
ładunku, który przepłynął przez uzwojenie cewki galwanometru (w impulsie). Parametr b  nosi
nazwę stałej balistycznej galwanometru.
q
Z definicji, "P = gdzie A oznacza powierzchnię metalizowanej okładki. Stąd zależność:
A
bąo
"P = (17)
A
Stałą b dla danego galwanometru można wyznaczyć, jeżeli znamy pierwsze wychylenie
wywołane przez przepływ znanego ładunku. Realizuje się to przez ładowanie kondensatora o znanej
pojemności, znanym napięciem (Q = CU) a następnie rozładowanie go przez galwanometr.
Większą dokładność, niż przy pojedynczym pomiarze, osiągamy przez sporządzenie wykresu
zależności ąo(Q) i z nachylenia prostej, stosując metodę najmniejszej sumy kwadratów znajdujemy b.
2. Wykonanie ćwiczenia
2.1. Wyznaczenie stałej balistycznej galwanometru.
zwora i zaciski pomiarowe skala
Galwanometr:
pokrętło zerowania
Wyznaczanie modułu piezoelektrycznego d metodą statyczną
8
Połączyć układ pomiarowy według poniższego schematu.
K
V G
C
Zasilacz
Rys. 5. Schemat pomiarowy do wyznaczenia stałej balistycznej galwanometru G.
Podczas wykonywania połączeń nie usuwać zwory galwanometru. Usunąć ją można
dopiero po sprawdzeniu prawidłowości połączeń układu pomiarowego przez asystenta.
Napięcie zasilania zmieniać co 1V odczytując jego wartość przy użyciu woltomierza napięcia
stałego. Maksymalną wartością ustawianego napięcia będzie wartość, przy której plamka świetlna
galwanometru wychyli się do końca skali. Znając pojemność kondensatora C (w faradach) obliczyć
ładunek zgromadzony na jego okładkach dla każdego napięcia. Zależność ładunku od wychylenia
wskaz
nika umieścić w tabeli wyników. Po zmianie polaryzacji napięcia na przeciwną wykonać
pomiary ponownie. Wskaz
nik skali będzie wychylał się w przeciwną stronę. Przyjmując za dodatnie
wychylenie wskaz
nika w prawo, odpowiadające temu przypadkowi napięcie przyjąć także za dodatnie.
Przeciwne wychylenia i odpowiadające temu napięcie przyjąć za ujemne. Przy pomocy metody
najmniejszej sumy kwadratów obliczyć stałą balistyczną galwanometru b, (w kulombach na działkę).
Tabela wyników.
Lp Napięcie A
adunek Wychylenie
[V] [C] [dz]
2.2. Pomiar modułu piezoelektrycznego d w zjawisku piezoelektrycznym prostym
Badany piezoelektryk w kształcie krążka umieszczony jest w układzie mechanicznym
przedstawionym na rysunku 6.
Metalizowane powierzchnie krążka wyprowadzone są do zacisków zamontowanych
na podstawie układu mechanicznego. Zaciski te połączyć z galwanometrem. Piezoelektryczny krążek
znajduje się pod pewnym obciążeniem wstępnym, które stanowi mosiężny klocek. Dodatkowe zmiany
obciążenia realizuje się za pomocą ramienia dz
wigni jednostronnej przez dodawanie i odejmowanie
ciężarków przy końcu dłuższego ramienia dz
wigni (obciążnik główny). Zmiany obciążenia należy
dokonywać przy podniesionym ramieniu dz
wigni. Pomiary wykonać zarówno podczas opuszczania
dz
wigni, jak i podczas jej podnoszenia.
blokada ramienia
rączka
przeciwwaga
ramię
obciążnik wstępny
obciążnik główny
piezoelektryk
zaciski okładek piezoelektryka
Rys.6. Układ do pomiaru efektu piezoelektrycznego prostego.
Wyznaczanie modułu piezoelektrycznego d metodą statyczną
9
Moduł piezoelektryczny d wyznaczyć z zależności "q = d33�""F, która przedstawia linię prostą.
Zamiany "F realizujemy przez opisane dokładnie i zdejmowanie ciężarków.
(Uwaga  zmierzyć stosunek ramion dz
wigni!).
Odpowiadające zmianom "F wartości ładunku "q mierzyć wykorzystując do tego celu galwanometr
balistyczny.
1. Sprawdzamy wyważenie dz
wigni (ciężarki zdjęte).
2. Sprawdzamy, czy świeci się plamka galwanometru (G) .
3. Rozwieramy galwanometr wyjmując jedną wtyczkę zwory, nie ruszając pozostałych połączeń.
4. Regulujemy (jeśli zachodzi potrzeba) położenie zerowe plamki galwanometru.
5. Zwalniamy docisk piezoelementu przesuwając rączkę do dołu (eliminując nacisk).
6. Nakładamy na pręt jeden ciężarek.
7. Przemieszczając rączkę blokady w położenie górne odczytujemy maksymalne wychylenie plamki
galwanometru przy wahnięciu w prawo ąp .
8. Przemieszczając rączkę dz
wigni w położenie dolne odczytujemy maksymalne wychylenie plamki
galwanometru w stronę lewą ą l.
9. Zaczynając od położenia rączki blokady  jak w punkcie 5 (do dołu), dokładamy następny
obciążnik i powtarzamy czynności, aż do wyczerpania zakresu pomiarowego.
10. Po zakończeniu pomiarów zwieramy galwanometr zworą.
11. Sporządzamy wykres "Q od "F korzystając z obliczonej uprzednio stałej balistycznej
galwanometru.
12. Obliczamy d33 oraz "d33 stosując metodę najmniejszej sumy kwadratów.
Tabela wyników.
Lp Obciążenie m Siła nacisku F Wychylenie A
adunek
[kg] [N] [dz] [C]
2.3 Wyznaczanie modułów piezoelektrycznych d33 oraz d31 w odwrotnym zjawisku
piezoelektrycznym.
Napięcia stosowane przy pomiarze sięgają do 2500V. Dlatego  ze względów bezpieczeństwa -
płytkę piezoelektryczną umieszczono w izolacyjnej, przezroczystej osłonie. Czułość dylatometru
wynosi 1źm.
elektrody
osłona
Zasilacz wysokiego napięcia
dylatometr
płytka piezoelektryka
Rys.7. Układ pomiarowy efektu piezoelektrycznego odwrotnego.
1. Włączyć zasilacz wysokiego napięcia.
2. Zanotować położenie wskazówki dylatometru i przyjąć je jako zerowe.
3. Pokrętłem napięcia  Volts ustawić kolejno napięcia 200, 400, 600, ..., do 2500V. Po krótkim
ustaleniu się wskazań dylatometru odczytujemy przyrost długości "x, a wyniki zanotować w tabeli
Wyznaczanie modułu piezoelektrycznego d metodą statyczną
10
pomiarowej. Jeśli przy napięciu niższym do 2500 V nie następuje widoczne zmiana położenia
wskazówki dylatometru, to pomiary należy przerwać.
4. Wykonać pomiary zmniejszając kolejno wartości napięcia do zera (odczekać do momentu
zatrzymania się wskazówki dylatometru).
5. Wykonać wykres zależności wydłużenia od przyłożonego napięcia i obliczyć d33 oraz d31.
Wykres wydłużenia w funkcji napięcia ma charakter wąskiej quasi elipsy. Jest to wynikiem
histerezy nie tylko mechanicznej, ale głównie materiałowej. Po zmianie napięcia materiał reaguje po
części natychmiastowo, a po części z bardzo dużym czasem relaksacji (kilka dni). W związku
z powyższym moduł d33 wyliczamy z wykresu korzystając z pochylenia długiej osi  elipsy ,
x0
z zależności "x = d33 łU3 . Moduł d31 obliczamy z zależności d31 = d33.ł, gdzie ł = 0,33.
z0
UWAGA. Wszystkie potrzebne dane są umieszczone na stanowisku pomiarowym.
Tabela wyników.
Lp Napięcie U
Wydłużenie "x
[V]
[źm]
3. Pytania kontrolne
1. Czy tylko pole elektryczne może spolaryzować dielektryk ?
2. Czy piezoelektrykiem może być ciało posiadające środek symetrii komórki elementarnej?
3. Czy piezoelektrykiem może być ciało o koncentracji ładunków swobodnych porównywalnej
z koncentracją ładunku metalu (np. aluminium)?
4. Opisać mechanizm zjawiska piezoelektrycznego prostego.
5. Podać definicję modułu Younga.
4. Literatura
J. Groszkowski: Generacja i stabilizacja częstotliwości. W-wa, Państwowe Wyd. Techniczne 1950r.