WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 1
ZADANIE 3
Z4/3. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH
PA
ASKICH - ZADANIE 3
Z4/3.1. Zadanie 3
Wyznaczyć metodą Rittera siły normalne w prętach numer 3, 21 i 22 kratownicy z drugorzędnym
zakratowaniem przedstawionej na rysunku Z4/3.1.
30,0 kN
19,0 kN
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12
14 16
10
1 2 3 4 5 6 7 8
1
17
3
5 7 9 11 13 15
20,0 kN
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
[m]
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/3.1. Kratownica z drugorzędnym zakratowaniem
Z4/3.2. Analiza kinematyczna kratownicy płaskiej
Kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z4/3.1 składa się z 18 węzłów, 33 prętów kratownicy.
Podpory odbierają ponadto trzy stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności będzie
miał więc postać
2Å"18=33ƒÄ…3 . (Z4/3.1)
Jak więc widać kratownica płaska na rysunku Z4/3.1 spełnia warunek konieczny geometrycznej niezmien-
ności. Może ona być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Kratownica na rysunku Z4/3.1 zbudowana jest z trójkątów, może więc stanowić tarczę sztywną.
Rysunek Z4/3.2 przedstawia tą tarczę sztywną wraz z prętami podporowymi.
I
1
2 3
Rys. Z4/3.2. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza sztywna numer I jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Posiada ona trzy stopnie
swobody, które odbierają jej trzy pręty podporowe. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej
niezmienności (2.4).
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
22
2
8
5
2
19
2
23
2
26
0
1
9
8
7
2
24
1
2
WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 2
ZADANIE 3
Kierunki prętów podporowych numer 1, 2 i 3 nie przecinają się w jednym punkcie. Został tym samym
spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza sztywna numer I jest więc geomet-
rycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. Także więc i kratownica płaska będzie układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z4/3.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Rysunek Z4/3.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych na podporze przegubowo-nieprze-
suwnej i przegubowo-przesuwnej.
30,0 kN
19,0 kN
2 6 10 14
30 31 32 33
18
4 8 12
16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
Y
V1
V17
20,0 kN
X [m]
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/3.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Reakcję poziomą H wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na kratownicę
1
płaską na oś poziomą X. Wynosi ona
²Ä… X = H1-19,0=0
. (Z4/3.2)
H =19,0 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na kratow-
1
nicę płaską względem punktu 17. Wynosi ona
²Ä… M =V Å"4Å"4,0-20,0Å"3Å"4,0-30,0Å"4,0-19,0Å"3,0=0
17 1
. (Z4/3.3)
V =26,06 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na kra-
17
townicę płaską względem punktu 1. Wynosi ona
²Ä… M =-V Å"4Å"4,0ƒÄ…20,0Å"4,0ƒÄ…30,0Å"3Å"4,0-19,0Å"3,0=0
1 17
. (Z4/3.4)
V =23,94 kN
17
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
2
2
2
8
9
25
1
2
2
2
2
0
1
3
9
4
6
8
7
2
2
1
2
WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 3
ZADANIE 3
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską na oś pionową Y. Wynosi ona
²Ä… Y =V ƒÄ…V -30,0-20,0=26,06ƒÄ…23,94-30,0-20,0=0 . (Z4/3.5)
1 17
Pionowe reakcje V oraz V zostały więc wyznaczone poprawnie. Rysunek Z4/3.4 przedstawia prawidłowe
1 17
wartości i zwroty reakcji podporowych.
30,0 kN
19,0 kN
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12
14 16
10
19,0 kN
1 2 3 4 5 6 7 8
1
17
3
5 7 9 11 13 15
20,0 kN
26,06 kN
23,94 kN
[m]
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/3.4. Kratownica płaska w równowadze
Z4/3.4. Wyznaczenie sił normalnych metodą Rittera
Aby wyznaczyć siły normalne w prętach numer 3, 21 i 22 należy wykonać w pierwszej kolejności
przekrój A-A przedstawiony na rysunku Z4/3.5. W przekroju tym wyznaczymy wartości siły normalnej
w pręcie numer 31. Następnie wykonamy przekrój B-B. W przekroju tym wyznaczymy wartości sił normal-
nych w prętach numer 3, 21 i 22.
30,0 kN
19,0 kN
B
2 6 A 10 14
30 31 32 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12
14 16
10
19,0 kN
1 2 4 5 6 7 8
3
1
17
A
3 B 7 9 11 13 15
5
20,0 kN
26,06 kN
23,94 kN
[m]
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/3.5. Przekroje A-A i B-B
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
3,0
1,5
1,5
22
2
8
5
19
2
2
23
29
2
0
1
6
8
2
24
1
27
2
8
5
19
2
22
2
29
2
0
2
6
8
3
24
1
27
1
2
WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 4
ZADANIE 3
N31
2 30 6 31
Ä…
4 8
9
11
12
10
19,0 kN
1 2 Ä… 3 4
1
N4 9
3 5 7
20,0 kN
26,06 kN
2,0 2,0 2,0 2,0
[m]
4,0 4,0
Rys. Z4/3.6. Siły normalne w przekroju A-A
Rysunek Z4/3.6 przedstawia siły normalne działające w przekroju A-A. Punktem Rittera dla pręta
numer 31 jest węzeł numer 9. Przedstawia go rysunek Z4/3.6. Równaniem równowagi dla wyznaczenia siły
normalnej w pręcie numer 31 będzie suma momentów wszystkich sił działających na odciętą część kratow-
nicy względem punktu 9. Ma ono postać
²Ä… M =N Å"3,0-20,0Å"4,0ƒÄ…26,06Å"8,0=0 (Z4/3.6)
9 31
Siła normalna w pręcie numer 31 wynosi więc
N =-42,83 kN
. (Z4/3.7)
31
Pręt ten jest więc ściskany.
30,0 kN
19,0 kN
2 6 10 14
30 31 32 33
Ä…
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12
14 16
10
19,0 kN
1 2 Ä… 3
4 5 6 7 8
1
17
3
5 7 9 11 13 15
20,0 kN
26,06 kN
23,94 kN
[m]
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/3.7. Kąt nachylenia krzyżulców numer 21 i 22 do poziomu
Mając wyznaczoną siłę normalną w pręcie numer 31 możemy teraz dokonać przekroju B-B. Rysunek
Z4/3.7 przedstawia kąt nachylenia krzyżulców numer 21 i 22 do poziomu. Funkcje kąta nachylenia tych
prętów wynoszą
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
3,0
1,5
1,5
9
1
2
2
23
20
N
2
18
1
3
2
2
8
5
2
19
2
2
2
1
23
29
2
0
2
6
8
24
1
27
WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 5
ZADANIE 3
3,0
sinśą·Ä…źą= =0,6
, (Z4/3.8)
3,02ƒÄ…4,02
ćą
4,0
cosśą·Ä…źą= =0,8
. (Z4/3.9)
3,02ƒÄ…4,02
ćą
0,8Å"N22 N31
2 30 6 31
Ä…
4
9
11
10
19,0 kN
1 2 Ä…
1
3
N3
3 5
20,0 kN
26,06 kN
2,0 2,0 2,0 2,0
[m]
4,0 4,0
Rys. Z4/3.8. Siły działające w przekroju B-B
Rysunek Z4/3.8 przedstawia siły normalne działające w przekroju B-B. Ze względu na to, że krzy-
żulec numer 22 jest prętem pochyłym najwygodniej będzie nam rozłożyć siłę normalną w tym pręcie na
dwie siły składowe. Pozioma składowa wynosi
N =N Å"cosśą·Ä…źą=0,8Å"N . (Z4/3.10)
22X 22 22
Pionowa składowa wynosi
N =N Å"sinśą·Ä…źą=0,6Å"N . (Z4/3.11)
22Y 22 22
Punktem Rittera dla pręta numer 22 jest węzeł numer 5. Przedstawia go rysunek Z4/3.8. Równaniem
równowagi dla wyznaczenia siły normalnej w pręcie numer 22 będzie suma momentów wszystkich sił
działających na odciętą część kratownicy względem punktu 5. Ma ono postać
²Ä… M =0,8Å"N Å"3,0ƒÄ… N31Å"3,0ƒÄ…26,06Å"4,0=0
5 22
. (Z4/3.12)
2,4Å"N -42,83Å"3,0ƒÄ…26,06Å"4,0=0
22
Siła normalna w pręcie numer 22 wynosi więc
N =10,10 kN
. (Z4/3.13)
22
Pręt ten jest więc rozciągany.
Dr inż. Janusz Dębiński
22
0,6
Å"
N
3,0
1,5
1,5
22
9
1
N
22
20
18
1
1
2
2
N
WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 6
ZADANIE 3
2 30 6 31
Ä…
N31
4
11
9
10
19,0 kN N3 9
1 2 Ä…
1
3
3 5 0,8Å"N21
26,06 kN
20,0 kN
2,0 2,0 2,0 2,0
[m]
4,0 4,0
Rys. Z4/3.9. Siły działające w przekroju B-B
Rysunek Z4/3.9 przedstawia siły normalne działające w przekroju B-B. Ze względu na to, że krzy-
żulec numer 21 jest prętem pochyłym najwygodniej będzie nam rozłożyć siłę normalną w tym pręcie na
dwie siły składowe. Pozioma składowa wynosi
N =N Å"cosśą·Ä…źą=0,8Å"N . (Z4/3.14)
21X 21 21
Pionowa składowa wynosi
N =N Å"sinśą·Ä…źą=0,6Å"N . (Z4/3.15)
21Y 21 21
Punktem Rittera dla pręta numer 21 jest węzeł numer 9. Przedstawia go rysunek Z4/3.9. Równaniem
równowagi dla wyznaczenia siły normalnej w pręcie numer 21 będzie suma momentów wszystkich sił
działających na odciętą część kratownicy względem punktu 9. Ma ono postać
²Ä… M =0,6Å"N Å"4,0ƒÄ…N Å"3,0-20,0Å"4,0ƒÄ…26,06Å"8,0=0
9 21 31
. (Z4/3.16)
2,4Å"N -42,83Å"3,0-20,0Å"4,0ƒÄ…26,06Å"8,0=0
21
Siła normalna w pręcie numer 21 wynosi więc
N =0,0042 kNH"0
. (Z4/3.17)
21
Pręt ten jest więc prętem zerowym. Można to łatwo udowodnić. W nieobciążonym węz
le numer 7 pręt
numer 12 jest zerowy. Następnie w nieobciążonym węz
le numer 8 pręt numer 21 będzie zerowym.
Rysunek Z4/3.10 przedstawia siły normalne działające w przekroju B-B. Punktem Rittera dla pręta
numer 3 jest węzeł numer 8. Przedstawia go rysunek Z4/3.10. Równaniem równowagi dla wyznaczenia siły
normalnej w pręcie numer 3 będzie suma momentów wszystkich sił działających na odciętą część kratow-
nicy względem punktu 8. Ma ono postać
²Ä… M =-N Å"1,5ƒÄ…N Å"1,5-20,0Å"2,0ƒÄ…26,06Å"6,0-19,0Å"1,5=0
8 3 31
. (Z4/3.18)
-N Å"1,5-42,83Å"1,5-20,0Å"2,0ƒÄ…26,06Å"6,0-19,0Å"1,5=0
3
Dr inż. Janusz Dębiński
21
3,0
0,6
Å"
N
1,5
1,5
N
22
9
22
1
2
21
N
0
18
1
2
WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 7
ZADANIE 3
N31
2 30 6 31
4 8
9
11
10
19,0 kN
1 2
1
3
N3
3 5
20,0 kN
26,06 kN
2,0 2,0 2,0 2,0
[m]
4,0 4,0
Rys. Z4/3.10. Siły działające w przekroju B-B
Siła normalna w pręcie numer 3 wynosi więc
N =15,74 kN
. (Z4/3.19)
3
Pręt ten jest więc rozciągany.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
N
22
9
22
1
20
18
21
1
N
2