Mechanika ogólna
Mechanika ogólna
Wykład nr 9
Wykład nr 9
Kratownice  metoda Rittera.
Kratownice  metoda Rittera.
1
1
Przykład A  metoda
Przykład A  metoda
Rittera  przekrój 1(z lewej)
Rittera  przekrój 1(z lewej)
l
åðY :VA -ð N2-ð1 ×ðsinað =ð 0
l
åðM :VA ×ð3m +ð10kN ×ð3m +ð N2-ð3 ×ð3m =ð 0
1
l
l
åðM : H ×ð3m +ð N ×ð3m =ð 0
åðM : HA ×ð3m +ð NA-ð1 ×ð3m =ð 0
2
20kN
N
2-3
6,154kN
10kN 2 3 4
N2-ð1 =ð=ð 8,704kN
N
3-2
0,707
N
2-1
N
1-2
N2-ð3 =ð-ð6,154kN -ð10kN =ð-ð16,154kN
H
A A B
1
N N
1-A
A-1
NA-ð1 =ð 10kN
V
A 3m 3,5m R
B
2
2
3m
Przykład A  metoda
Przykład A  metoda
Rittera  przekrój 1(z prawej)
Rittera  przekrój 1(z prawej)
p
åðY : RB +ð N1-ð2 ×ðsinað -ð 20kN =ð 0
p
åðM : RB ×ð3,5m +ð N3-ð2 ×ð3m =ð 0
1
p
p
åðM : R ×ð6,5m -ð N ×ð3m -ð 20kN ×ð3m =ð 0
åðM : RB ×ð6,5m -ð N1-ð ×ð3m -ð 20kN ×ð3m =ð 0
2 A
20kN
20kN -ð13,846kN
N
2-3
10kN 2 3 4
N1-ð2 =ð=ð 8,704kN
N 0,707
3-2
N
2-1
N
-ð13,846kN ×ð3,5m
1-2
N3-ð2 =ð=ð -ð16,154kN
H
A A B 3m
1
N N
1-A
A-1
13,846×ð6,5m -ð 20kN ×ð3m
V
A 3m 3,5m R
B N1-ð A =ð=ð 10kN
3m
3
3
Przykład A  metoda
Przykład A  metoda
Rittera  przekrój 2
Rittera  przekrój 2
p
åðY : RB -ð N4-ð1 ×ðsin bð =ð 0
p
åðM : RB ×ð3,5m +ð N4-ð3 ×ð3m =ð 0
1
p
p
åðM : N ×ð3m =ð 0
åðM : NB-ð1 ×ð3m =ð 0
4
20kN
13,846kN
N
4-3
10kN 2 3 4
N4-ð1 =ð=ð 21, 269kN
0,651
N
3-4
N
4-1
N
1-4
-ð13,846kN ×ð3,5m
N4-ð3 =ð=ð -ð16,154kN
H
A A B
3m
1
N N
1-B
B-1
V
3m 3,5m
A R
B NB-ð1 =ð 0
4
4
3m
3m
Przykład A  Wyniki:
Przykład A  Wyniki:
zestawienie sił
zestawienie sił
20kN
10kN -16,154kN -16,154kN
-10kN
10kN
0
6,154kN
13,846kN
5
5
Przykład B  kratownica
Przykład B  kratownica
trójkątna
trójkątna
20kN
3m 3m 3m
6
6
-20kN
-6,154kN
-13,846kN
4,5m
N
N
8
8
k
k
,
7
9
0
6
4
2
,
k
1
N
2
Przykład B  reakcje
Przykład B  reakcje
20kN
5
1,5m
sinað =ð=ð 0, 447
2 2
1,5m +ð 3m
(ð )ð (ð )ð
4
3m
cosað =ð=ð 0,894
3
2 2
1,5m +ð 3m
(ð )ð (ð )ð
3m
H
A B
sin bð =ð cos bð =ð =ð 0,707
2 2
A 2
1
3m +ð 3m
(ð )ð (ð )ð
R
V
A 3m 3m B 3m
X : HA +ð 20kN =ð 0
HA =ð-ð20kN
åð
VA =ð-ð15kN
åðY :VA +ð RB =ð 0
RB =ð 15kN
åðM : RB ×ð6m -ð 20kN ×ð 4,5m =ð 0
A
7
7
Węzeł 2
Węzeł 2
N2-3
åðY : N2-ð3 ×ðsinað =ð 0
2
N2-ð3 =ð 0
að
N2-B
X : N2-ðB +ð N2-ð3 ×ðcosað =ð 0
åð
N2-ðB =ð 0
8
8
4,5m
m
1,5m
1,5m
1,5m
Węzeł B
Węzeł B
N
X : NB-ð2 -ð NB-ð1 =ð 0
B-3
åð
N
B-1 N
NB-ð1 =ð 0
B-2
B
R
R
B
åðY : RB +ð NB-ð3 =ð 0
NB-ð3 =ð-ð15kN
9
9
Węzeł 5
Węzeł 5
20kN
5
X : 20kN +ð N5-ð4 ×ðcosað =ð 0
åð
að
N
5-4
-ð20kN
N5-ð4 =ð=ð -ð22,371kN
5-ð4
0,894
0,894
N
N
5-A
åðY : N5-ð +ð N5-ð4 ×ðsinað =ð 0
A
N5-ð A =ð 22,371kN ×ð0, 447 =ð 10kN
10
10
Węzeł A
Węzeł A
N
A-4
åðY : NA-ð5 +ð NA-ð4 ×ðsin bð +ðVA =ð 0
N
A-5
bð
H
A
-ð10kN +ð15kN
-ð10kN +ð15kN
N =ð=ð 7,072kN
NA-ð4 =ð=ð 7,072kN
0,707
N
A-1
V
A
X : NA-ð1 +ð NA-ð4 ×ðcos bð +ð HA =ð 0
åð
NA-ð1 =ð 20kN -ð 7,072kN ×ð0,707 =ð15kN
11
11
Węzeł 4
Węzeł 4
X : N4-ð3 ×ðcosað -ð N4-ð A ×ðcos bð -ð N4-ð5 ×ðcosað =ð 0
åð
7,072kN ×ð0,707 -ð 22,371kN ×ð0,894
N4-ð3 =ð=ð
0,894
N
N
4-5
4-5
=ð-ð16,778kN
4
að
N
4-3
bð
åðY :N4-ð5 ×ðsinað -ð N4-ð ×ðsin bð +ð
A
N
N
4-1
4-A
-ð N4-ð1 -ð N4-ð3 ×ðsinað =ð 0
N4-ð1 =ð-ð22,371kN ×ð0, 447 -ð 7,072kN ×ð0,707 +ð16,778kN ×ð0, 447 =ð-ð7,5kN
12
12
Węzeł 3
Węzeł 3
X : N3-ð2 ×ðcosað -ð N3-ð1 ×ðcosað -ð N3-ð1 ×ðcosað =ð 0
åð
N4-3
3
N3-ð1 =ð 16,778kN
N
N3-1 N3-B N3-2
Sprawdzenie:
Sprawdzenie:
åðY :N4-ð3 ×ðsinað -ð N3-ðB -ð N3-ð1 ×ðsinað -ð N3-ð2 ×ðsinað =ð
=ð-ð16,778kN ×ð0, 447 -ð16,778kN ×ð0, 447 +ð15kN =ð 0
13
13
Węzeł 1
Węzeł 1
Sprawdzenie:
Sprawdzenie:
N N
1-4 1-3
X :N1-ð3 ×ðcosað +ð N1-ðB -ð N1-ð A =ð
að åð
=ð16,778kN ×ð0,894 -ð15kN =ð 0
=ð16,778kN ×ð0,894 -ð15kN =ð 0
1
1
N
N
N
N
1-A
1-B
Sprawdzenie:
Sprawdzenie:
åðY :N1-ð4 -ð N1-ð3 ×ðsinað =ð -ð7,5kN +ð16,778kN ×ð0, 447 =ð 0
14
14
Przykład B  metoda
Przykład B  metoda
Rittera  przekrój 1(z lewej)
Rittera  przekrój 1(z lewej)
l
åðM : N5-ð4 ×ðcosað ×ð 4,5m +ð 20kN ×ð 4,5m =ð 0
A
l
åðM :VA ×ð3m -ð HA ×ð3m +ð 20kN ×ð1,5m -ð NA-ð1 ×ð3m =ð 0
4
l
åðM :VA ×ð9m +ð 20kN ×ð 4,5m +ð NA-ð4 ×ðsin bð ×ð9m =ð 0
åðM :VA ×ð9m +ð 20kN ×ð 4,5m +ð NA-ð4 ×ðsin bð ×ð9m =ð 0
2
2
-ð20kN
20kN
5
N
5-4
N5-ð4 =ð=ð -ð22,371kN
N
4-5
0,894
4
N NA-ð1 =ð-ð15kN +ð 20kN +ð10kN =ð
4-A
3
N
A-4
=ð 15kN
15kN ×ð9m -ð 20kN ×ð 4,5m
H
A B
NA-ð4 =ð=ð
A 1 2
N
A-1 N
1-A
0,707 ×ð9m
R
V B
A 3m 3m 3m
=ð 7,072kN
15
15
Przykład B  metoda
Przykład B  metoda
Rittera  przekrój 1(z prawej)
Rittera  przekrój 1(z prawej)
p
åðM : N4-ð5 ×ðcosað ×ð3m +ð N4-ð5 ×ðsinað ×ð3m +ð RB ×ð6m =ð 0
A
p
åðM : RB ×ð3m -ð N1-ð ×ð3m =ð 0
4 A
p
åðM : RB ×ð3m -ð N4-ð ×ðsin bð ×ð6m -ð N4-ð ×ðcos bð ×ð3m =ð 0
åðM : RB ×ð3m -ð N4-ð ×ðsin bð ×ð6m -ð N4-ð ×ðcos bð ×ð3m =ð 0
2 A A
2 A A
-ð15kN ×ð6m
20kN
5
N4-ð5 =ð
N
5-4
0,894×ð3m +ð 0, 447 ×ð3m
N
4-5
4
=ð-ð22,371kN
N
4-A
3
N1-ð A =ð 15kN
N
A-4
15kN ×ð3m
H
A B
N4-ð A =ð=ð
A 1 2
N
A-1 N
1-A
0,707 ×ð6m +ð 0,707 ×ð3m
R
V B
A 3m 3m 3m
=ð 7,072kN
16
16
4,5m
1,5m
1,5m
1,5m
4,5m
1,5m
1,5m
1,5m
Przykład B  metoda
Przykład B  metoda
Rittera  przekrój 2
Rittera  przekrój 2
p
åðM : N4-ð3 ×ðcosað ×ð1,5m +ð N4-ð3 ×ðsinað ×ð3m +ð RB ×ð3m =ð 0
1
p
åðM : RB ×ð3m -ð N1-ð ×ð3m =ð 0
4 A
p
åðM : RB ×ð3m -ð N1-ð4 ×ð6m =ð 0
åðM : RB ×ð3m -ð N1-ð4 ×ð6m =ð 0
2
2
-ð15kN ×ð3m
N4-ð3 =ð
20kN
5
0,894×ð1,5m +ð 0, 447 ×ð3m
4 =ð-ð16,779kN
N
4-3
N
4-3
N
4-1 N1-ð A =ð 15kN
3
N
1-4
H
A B 15kN ×ð3m
A 2 N1-ð4 =ð=ð 7,5kN
N 1
A-1 N
1-A
6m
R
V
A 3m 3m B 3m
17
17
Przykład B  metoda
Przykład B  metoda
Rittera  przekrój 3
Rittera  przekrój 3
p
åðM : N4-ð3 ×ðcosað ×ð1,5m +ð N4-ð3 ×ðsinað ×ð3m +ð RB ×ð3m =ð 0
1
p
åðM : N5-ð1 ×ð1,5m =ð 0
3
l
åðM :VA ×ð9m +ð 20kN ×ð 4,5m +ð N1-ð3 ×ðsinað ×ð6m =ð 0
åðM :VA ×ð9m +ð 20kN ×ð 4,5m +ð N1-ð3 ×ðsinað ×ð6m =ð 0
2
2
-ð15kN ×ð3m
20kN
5 N4-ð3 =ð
0,894×ð1,5m +ð 0, 447 ×ð3m
4
N =ð-ð16,779kN
4-3
N
4-3
3
N5-ð1 =ð 0
N
3-1
N
1-3
15kN ×ð9m -ð 20kN ×ð 4,5m
H
A B
N1-ð3 =ð=ð
A 1 2
N
1-B N
B-1
0, 447 ×ð6m
R
V B
A 3m 3m 3m
=ð 16,779kN
18
18
4,5m
1,5m
1,5m
1,5m
4,5m
1,5m
1,5m
1,5m
Przykład B  metoda
Przykład B  metoda
Rittera  przekrój 4
Rittera  przekrój 4
p
åðM : NB-ð1 ×ð1,5m =ð 0
3
p
åðM : N2-ð3 ×ðsinað ×ð3m =ð 0
B
p
åðM : RB ×ð3m +ð NB-ð3 ×ð3m =ð 0
åðM : RB ×ð3m +ð NB-ð3 ×ð3m =ð 0
2
2
20kN
5
4
NB-ð1 =ð 0
3
N
3-2
N2-ð3 =ð 0
N
N
3-B
2-3
N
H
B-3
A
B
A 1 2
N N
1-B B-1
NB-ð3 =ð-ð15kN
R
V B 3m
A 3m 3m
19
19
Przykład B  wyniki:
Przykład B  wyniki:
zestawienie sił
zestawienie sił
20kN
-20kN
15kN
0 0
-15kN 15kN
20
20
4,5m
1,5m
1,5m
1,5m
10kN
-7,5kN
-15kN
-
2
2
,
3
7
1
k
N
-
-
1
1
6
6
,
7
7
8
k
N
N
k
2
7
0
,
7
N
k
8
7
7
0
,
6
1
Przykład C  kratownica z
Przykład C  kratownica z
pasami zbieżnymi
pasami zbieżnymi
15kN
10kN
20kN
4m 3m 3m
21
21
Przykład C  wymiary
Przykład C  wymiary
15kN
R
x
B
B C
4 5 6
3
10kN
2
1
1
x 10m +ð x
20kN
=ð
x =ð 6,667m
H
A
2m 5m
A
V
A 4m 3m 3m x
3m 10m
sinað =ð=ð 0, 287 cosað =ð=ð 0,958
2 2 2 2
10m +ð 3m 10m +ð 3m
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð
2,9m 2m
3,8m
sin gð =ð=ð 0,695 sindð =ð=ð 0,555
sin bð =ð=ð 0,689
2 2 2 2
2 2
2,9m +ð 3m 2m +ð 3m
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð
3,8m +ð 4m
(ð )ð (ð )ð
4m 3m 3m
cos bð =ð=ð 0,725 cosgð =ð=ð 0,719 cosdð =ð=ð 0,832
2 2 2 2 2 2
3,8m +ð 4m 2,9m +ð 3m 2m +ð 3m
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð
22
22
2m
5m
3m
5m
9
1,2m
0,9m
0,9m
2m
Przykład C - reakcje
Przykład C - reakcje
X : HA +ð RB +ð15kN ×ðcosgð =ð 0
åð
åðY :VA -ð 20kN -ð10kN -ð15kN ×ðsingð =ð 0
åð A
åðM : RB ×ð5m +ð 20kN ×ð 4m +ð10kN ×ð10m +ð
+ð15kN ×ðsin gð ×ð4m +ð15kN ×ðcosgð ×ð5m =ð 0
15kN
R
B
B
4 5 6
3
HA =ð 44,340kN
10kN
2
1 VA =ð 40, 425kN
20kN
H
A
A
RB =ð-ð55,125kN
V
A 4m 3m 3m
23
23
Przykład C  metoda
Przykład C  metoda
Rittera  przekrój 1
Rittera  przekrój 1
p
åðM : N4-ðB ×ð3,8m -ð15kN ×ðcosgð ×ð3,8m -ð10kN ×ð6m =ð 0 N4-ðB =ð 26,574kN
1
l
NA-ð1 =ð-ð46, 284kN
åðM : NA-ð1 ×ðcosað ×ð5m +ð H ×ð5m =ð 0
B A
l
åðM :VA ×ð16,667m -ð HA ×ð5m -ð NB-ð1 ×ðsin bð ×ð16,667m =ð 0 N4-ðB =ð 39,366kN
åðM :VA ×ð16,667m -ð HA ×ð5m -ð NB-ð1 ×ðsin bð ×ð16,667m =ð 0 N4-ðB =ð 39,366kN
C
C
15kN
R
N
B N
B B-4 4-B C
4 5 6
N
B-1
3
N
1-B
10kN
N
4-3 2
1
20kN
N
H 1-A
A
N
A-1
A
V 6,667m
4m 3m 3m
A
24
24
5m
1,2m
0,9m
0,9m
2m
5m
1,2m
0,9m
0,9m
2m
Przykład C  metoda
Przykład C  metoda
Rittera  przekrój 2
Rittera  przekrój 2
p
N5-ð4 =ð 10,345kN
åðM : N5-ð4 ×ð 2,9m -ð10kN ×ð3m =ð 0
2
p
N3-ð2 =ð-ð10,803kN
åðM : N3-ð2 ×ðcosað ×ð 2m +ð N3-ð2 ×ðsinað ×ð3m +ð10kN ×ð3m =ð 0
5
p
åðM : N5-ð2 ×ð9,667m +ð10kN ×ð6,667m =ð 0
C
N5-ð2 =ð-ð6,897kN
N5-ð2 =ð-ð6,897kN
15kN
R
B N N
5-4
B 4-5 C
4 5 6
N
5-2
3
N
2-5
10kN
2
N
3-2
N
2-3
1
20kN
H
A
A
V
4m 3m 3m 6,667m
A
25
25
Przykład C  wyniki:
Przykład C  wyniki:
zestawienie sił
zestawienie sił
15kN
-55,125kN
26,574kN 10,345kN
0
10kN
20kN
44,340kN
40,425kN
26
26
5m
1,2m
0,9m
0,9m
2m
0
8
8
-6,897kN
-15,689kN
-27,123kN
1
2
7
,
4
,
5
3
7
3
3
k
3
9
N
,
k
k
3
3
N
N
6
6
6
6
k
N
N
k
3
0
8
,
0
1
-
N
k
5
8
4
,
6
1
-
N
k
4
8
2
,
6
4
-
Przykład D  kratownica
Przykład D  kratownica
typu  K
typu  K
10kN
15kN
1,5m 1,5m
27
27
Przykład D  reakcje
Przykład D  reakcje
10kN
8 9
HA =ð-ð20kN
X : HA +ð10kN =ð 0
åð
7
15kN
åðY :VA +ð RB -ð15kN =ð 0 VA =ð-ð15,833kN
4 6
5
åðM : R ×ð3m -ð15kN ×ð1,5m -ð10kN ×ð7m =ð 0
åðM : RB ×ð3m -ð15kN ×ð1,5m -ð10kN ×ð7m =ð 0
A
RB =ð 30,833kN
2
1 3
2,5m
1,5m
cosað =ð=ð 0,857
sinað =ð=ð 0,514
2 2
2 2
1,5m +ð 2,5m
1,5m +ð 2,5m (ð )ð (ð )ð
(ð )ð (ð )ð
H
A
A B
1,5m 2m
sin bð =ð=ð 0,6 cos bð =ð=ð 0,8
V 1,5m 1,5m 2 2 2 2
A
1,5m +ð 2m 1,5m +ð 2m
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð
R
B
28
28
2m
2,5m
2,5m
2m
2,5m
2,5m
Przykład D  metoda
Przykład D  metoda
Rittera  przekrój 1
Rittera  przekrój 1
10kN 8 9
7
g
åðM : N3-ðB ×ð3m +ð15kN ×ð1,5m +ð10kN ×ð 4,5m =ð 0
1
15kN
4 6
N3-ðB =ð-ð22,500kN
5
g
åðM : N1-ð ×ð3m +ð15kN ×ð1,5m -ð10kN ×ð 4,5m =ð 0
3 A
N
N 3-2
2
1-2
1 3
N N N1-ð A =ð 7,500kN
2-1 2-3
N
1-A
N
3-B
N
A-1
N
B-3
H
A A B
V
1,5m 1,5m
A
R
B
29
29
Przykład D  metoda
Przykład D  metoda
Rittera  przekrój 2
Rittera  przekrój 2
10kN 8 9
7
g
X : N2-ð A ×ðsinað -ð N2-ðB ×ðsinað -ð10kN =ð 0
åð
15kN
4 6
10kN
5
N2-ð A -ð N2-ðB =ð
N2-ð A -ð N2-ðB =ð
sinað
sinað
2
1 3
N N
1-A 3-B
N N
2-A 2-B
N
N
A-1
A-1
N
N N
A-2
A-2 B-2
N
B-3
H
H
A A
A A B
V
1,5m 1,5m
A
R
B
30
30
2m
2,5m
2,5m
2m
2,5m
2,5m
Przykład D  metoda
Przykład D  metoda
równoważenia węzłów
równoważenia węzłów
N N
2-1 2-3
2
åðY : N2-ð ×ðcosað +ð N2-ðB ×ðcosað =ð 0
A
10kN
N2-ðB =ð-ðN2-ð A
2N2-ð A =ð
sinað
N N
2-A 2-B
10kN 10kN
10kN 10kN
N2-ð A =ð=ð =ð 9,728kN
2sinað 2×ð0,514
N
A-1
N N2-ðB =ð-ð9,728kN
A-2
H
A A
X : NA-ð2 ×ðsinað +ð NA-ð1 +ð HA =ð 0
åð
N
A-1
NA-ð1 =ð10kN -ð 9,728kN ×ð0,514 =ð 5kN
V
A
31
31
Przykład D  wyniki:
Przykład D  wyniki:
zestawienie sił
zestawienie sił
10kN -10kN
0
15kN
-5kN 5kN
-0,5kN 9,5kN
-10kN
26,574kN
-15,833kN
32
32
30,833kN
0
0
6,667kN
-6,667kN
7,5kN
-22,5kN
-
8
,
N
3
k
3
3
3
3
k
3
N
,
8
-
-
1
8
N
,
k
4
2
6
7
5
9
k
,
N
0
-
9
N
,
7
k
2
8
8
2
k
7
,
N
9