Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 1
11. ����Ł�
11. METODA SIA
 KRATOWNICA
Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują
przykład liczbowy.
Zadanie 1
Dla kratownicy przedstawionej na rys.11.1 wyznaczyć siły wewnętrzne od podanego obciążenia.
40 kN
30 kN
1 2 3
4
9
6
8
3
5 14
7 12
10
13
11
15 16 17 18
[m]
3 3
3 3
Rys. 11.1. Zadana kratownica statycznie niewyznaczalna
Dane geometryczne i fizyczne są takie same dla odpowiednich grup prętów. Po przyjęciu sztywności
porównawczej EA sztywności poszczególnych prętów są następujące:
0
dla pasa górnego G Śą EAG=EA0
dla pasa dolnego D Śą EAD=EA0
dla słupków S Śą EAK=EA0
dla krzyżulców K Śą EAS=EA0
Kąt pochylenia krzyżulca wynosi 45o, wobec tego:
3 1
sin�ą= =
3
ćą
32 �ą32 2
ćą
3 1
cos �ą= =
ą
ćą
32 �ą32 2
ćą
[m]
3
Kratownica jest dwa razy statycznie niewyznaczalna (SSN = 2), raz wewnętrznie i raz zewnętrznie. W
celu rozwiązania zadania metodą sił przyjmujemy układ podstawowy przedstawiony na rys. 11.2:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 2
40 kN
30 kN
3
X1
X1
B
C
A
X2
[m]
3 3
3 3
Rys. 11.2. Układ podstawowy
który musi spełniać warunki kinematycznej zgodności z układem wyjściowym. Oznacza to, że wzajemne
zbliżenie przekroi w rozciętym pręcie, oraz przemieszczenie pionowe węzła C muszą być równe zero.
�ą�ą=0
(11.1)
vc=0
Na powyższe przemieszczenia wpływ mają nadliczbowe sił X i obciążenie zewnętrzne.
i
Równania kanoniczne przyjmują postać:
�ą�ą= X �"�ą1 1�ą X �"�ą1 2�ą�ą1 P=0
1 2
(11.2)
vc= X �"�ą21�ą X �"�ą2 2�ą�ą2 P=0
1 2
Przemieszczenia w kratownicy obliczamy ze wzoru uwzględniającego tylko siły normalne:
śąi źą śąk źą
n
N N
j j
�ąik= l (11.3)
"
śąEAźąj j
j=1
gdzie:
Nśąji źą
- siła w pręcie j- tym w stanie X = 1,
i
Nśąjk źą - siła w pręcie j- tym w stanie X = 1,
k
n - liczba prętów w kratownicy.
Kolejnym etapem jest wyznaczenie sił w prętach kratownicy od sił jednostkowych przyłożonych kolejno w
miejsca niewiadomych X i X , oraz od obciążenia zewnętrznego.
1 2
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 3
" Stan od obciążenia X = 1
1
X1 = 1
3
X1 = 1
[m]
3 3
3 3
Rys. 11.3. Stan obciążenia X =1
1
Obliczenie reakcji:
X1 = 1
3
X1 = 1
0
0 0
[m]
3 3
3 3
Siły w prętach obliczamy z równowagi węzłów. Ich rozkład przedstawia rys. 11.4:
1
N1 [ - ]
2
ćą
O O
O
1
1
3
1
1
O
O O
O
O
O
1
2
ćą
2
1 ćą
O
O O
1
[m]
2
ćą
3 3
3 3
Rys. 11.4. Rozwiązanie kratownicy w stanie X =1
1
(1)
Należy zwrócić uwagę na fakt, że w pręcie 8 tylko w stanie X = 1 występuje siła normalna (N =1).
1 8
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 4
" Stan od obciążenia X = 1
2
3
X2 = 1
[m]
3 3
3 3
Rys. 11.5. Stan obciążenia X =1
2
Obliczenie reakcji:
3
0
2
X2 = 1
1
[m]
3 3
3 3
Siły w prętach obliczamy z równowagi węzłów. Ich rozkład przedstawia rys. 11.6:
N2 [ - ]
1
1
O O
O
2
ćą
2 2
ćą ćą
2
O ćą O
3
1 2 1
O
0
1 2 2 1
2
1
1
[m]
3 3
3 3
Rys. 11.6. Rozwiązanie kratownicy w stanie X =1
2
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 5
" Stan od obciążenia P
40 kN
30 kN
3
[m]
3 3
3 3
Rys. 11.7. Stan obciążenia P
Obliczenie reakcji:
40 kN
30 kN
3
30 kN
35 kN 5 kN
[m]
3 3
3 3
Siły w prętach obliczamy z równowagi węzłów. Ich rozkład przedstawia rys. 11.8:
NP [kN]
40
30
35 30 30
O
O
35 2
ćą
5 2
3 ćą O O
O 5 O
5 O
O
30
O O O
5
5
35
[m]
3 3
3 3
Rys. 11.8. Rozwiązanie kratownicy od stanu obciążenia zewnętrznego
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 6
W tabeli 11.1 zestawiono siły w prętach dla poszczególnych stanów obciążeń oraz iloczyny
odpowiednich wielkości. Wielkości zsumowane w odpowiednich kolumnach dają wartości przemieszczeń
zgodnie ze wzorem (11.3), (pomnożone przez sztywność porównawczą EA ):
0
Tabela 11.1. Zestawienie wyników obliczeń
l N N N N N N N N N N N N N
P 1 2 1 1 2 2 1 2 1 P 2 P
pręt
l l l l l
EA [kN ] [kN ] [kN ]
EA EA EA EA EA
1 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2 3,00 -35,00 -0,71 -1,00 1,50 3,00 2,12 74,25 105,00
3 3,00 -30,00 0,00 -1,00 0,00 3,00 0,00 0,00 90,00
4 3,00 -30,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
5 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
6 2,83 -49,50 0,00 -1,41 0,00 5,66 0,00 0,00 197,99
7 2,00 -5,00 -0,71 1,00 1,00 2,00 -1,41 7,07 -10,00
8 2,83 0,00 1,00 0,00 2,83 0,00 0,00 0,00 0,00
9 2,83 7,07 1,00 -1,41 2,83 5,66 -4,00 20,00 -28,28
10 2,00 -5,00 -0,71 2,00 1,00 8,00 -2,83 7,07 -20,00
11 2,83 0,00 0,00 -1,41 0,00 5,66 0,00 0,00 0,00
12 2,00 0,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00
13 2,83 0,00 0,00 -1,41 0,00 5,66 0,00 0,00 0,00
14 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
15 3,00 5,00 0,00 1,00 0,00 3,00 0,00 0,00 15,00
16 3,00 0,00 -0,71 2,00 1,50 12,00 -4,24 0,00 0,00
17 3,00 0,00 0,00 2,00 0,00 12,00 0,00 0,00 0,00
18 3,00 0,00 0,00 1,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00
Suma: 10,66 70,63 -10,36 108,39 349,71
EA0 �ą11=10,66 ; EA0 �ą12=-10,36 ; EA0 �ą22=70,63 ; EA0 �ą1 P=108,39 ; EA0 �ą2 P=349,71
Obliczone wartości przemieszczeń podstawiamy do układu równań kanonicznych:
X �"10,66 - X �"10,36 �ą108,39 =0
1
EA0 2 EA0 EA0
{-X �"10,36 �ą X �"70,63 �ą349,71 =0
1
EA0 2 EA0 EA0
Mnożymy przez sztywność EA
0
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 7
X �"10,66 - X �"10,36�ą108,39=0
1 2
{
-X �"10,36�ą X �"70,63�ą349,71=0
1 2
i obliczamy wartości niewiadomych sił:
X =-17,4807 [kN ]
1
{
X =-7,5166 [kN ]
2
Po otrzymaniu wartości niewiadomych dokonujemy analizy końcowej zadania, czyli obliczamy
rzeczywiste siły wewnętrzne obciążając układ podstawowy siłami zewnętrznymi oraz nadliczbowymi X i X .
1 2
40 kN
30 kN
17,48 kN
3
17,48 kN
B
C
A
7,52 kN
[m]
3 3
3 3
Rys. 11.9. Układ podstawowy obciążony zewnętrznie oraz przez siły X i X
1 2
Ponieważ obliczenie sił normalnych wymaga ponownego rozwiązania układu, wygodniej jest skorzystać
z zasady superpozycji:
śąnźą śą jźą śą jźą
N =N �ą X �"N �ą X �"Nśą jźą (11.4)
j P 1 1 2 2
gdzie:
(n)
N  siła w j- tym pręcie w układzie statycznie niewyznaczalnym
j
(j)
N  siła w j- tym pręcie od obciążenia zewnętrznego w układzie podstawowym
P
(j)
N  siła w j- tym pręcie w stanie X = 1
1 1
(j)
N  siła w j- tym pręcie w stanie X = 1
2 2
Dla ułatwienia obliczeń posłużymy się tabelą 11.2:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 8
śąnźą
Tabela 11.2. Zestawienie obliczeń do wyznaczenia N
j
śąnźą
l N N N X X
N
P 1 2 1 2
EA [kN ] [-] [-] [kN ] [kN ] [kN ]
1 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2 3,00 -35,00 -0,71 -1,00 -15,12
3 3,00 -30,00 0,00 -1,00 -22,48
4 3,00 -30,00 0,00 0,00 -30,00
5 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00
6 2,83 -49,50 0,00 -1,41 -38,87
7 2,00 -5,00 -0,71 1,00 -0,16
8 2,83 0,00 1,00 0,00 -17,48
9 2,83 7,07 1,00 -1,41 0,22
-17,48 -7,52
10 2,00 -5,00 -0,71 2,00 -7,67
11 2,83 0,00 0,00 -1,41 10,63
12 2,00 0,00 0,00 1,00 -7,52
13 2,83 0,00 0,00 -1,41 10,63
14 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00
15 3,00 5,00 0,00 1,00 -2,52
16 3,00 0,00 -0,71 2,00 -2,67
17 3,00 0,00 0,00 2,00 -15,03
18 3,00 0,00 0,00 1,00 -7,52
Posługując się wartościami zawartymi w tabeli 11.2 możemy określić rozkład sił w prętach zadanej
kratownicy statycznie niewyznaczalnej (rys. 11.10).
N(n) [kN]
40,00
30,00
15,12
22,48 30,00
O
17,48
38,87
10,63
10,63
O
3
0,16 7,67 7,52 O
0,22
30,00
2,67
[m] 2,52 15,03 7,52
7,52
20,04
27,48
3
3
3 3
Rys. 11.10. Rozkład sił w prętach kratownicy statycznie niewyznaczalnej
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 9
Sprawdzenie kinematyczne:
W celu wykonania sprawdzenia kinematycznego skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:
śąnźą śą jźą
N N
j k
1 �"�ą= l (11.5)
"
j
EA
j
j
gdzie:
śą jźą
N - siła w j- tym pręcie w układzie statycznie wyznaczalnym od obciążenia wirtualnego.
k
Musimy obliczyć znane przemieszczenie korzystając z innego układu podstawowego (rys. 11.11).
Liczymy przemieszczenie pionowe w węz
le nr 3 (przykładamy wirtualną siłę pionową). W rzeczywistości jest
tam podpora, tak więc przemieszczenie pionowe jest równe zero.
3
1
[m]
3 3
3 3
Rys. 11.11. Inny układ podstawowy
Siły w prętach obliczamy z równowagi węzłów. Ich rozkład przedstawia rys. 11.12:
Nk [ - ]
0,5 0,5
O O
O
0,5
2
ćą 0,5 0,5
2
2 ćą 0,5
ćą 2
ćą O
3 O
0,5 1 0,5
O
0
0,5 1 1 0,5
B
1
0,5 0,5
[m]
3 3
3 3
Rys. 11.12. Rozkład sił w prętach kratownicy od siły wirtualnej w nowym układzie podstawowym
W tabeli 11.3 zestawiono wyniki kontroli kinematycznej sił z rys. 11.2 oraz dla sił wyznaczonych w
stanach X =1 i X =1.
1 2
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 10
Tabela 11.3. Wyniki kontroli kinematycznej
śąnźą śąnźą śąnźą
śąnźą
ąk
l N N N N N N N N N
N
P 1 2 1 2
N N =N N =N
l l l
k k 1 k 2
EA [kN ] [-] [-] [kN ]
EA EA EA
1 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2 3,00 -35,00 -0,71 -1,00 -15,12 -0,50 22,68 -0,71 32,08 -1,00 45,37
3 3,00 -30,00 0,00 -1,00 -22,48 -0,50 33,73 0,00 0,00 -1,00 67,45
4 3,00 -30,00 0,00 0,00 -30,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
5 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
6 2,83 -49,50 0,00 -1,41 -38,87 -0,71 77,73 0,00 0,00 -1,41 155,47
7 2,00 -5,00 -0,71 1,00 -0,16 0,50 -0,16 -0,71 0,22 1,00 -0,31
8 2,83 0,00 1,00 0,00 -17,48 0,00 0,00 1,00 -49,44 0,00 0,00
9 2,83 7,07 1,00 -1,41 0,22 -0,71 -0,44 1,00 0,62 -1,41 -0,88
10 2,00 -5,00 -0,71 2,00 -7,67 1,00 -15,34 -0,71 10,85 2,00 -30,69
11 2,83 0,00 0,00 -1,41 10,63 -0,71 -21,26 0,00 0,00 -1,41 -42,52
12 2,00 0,00 0,00 1,00 -7,52 0,50 -7,52 0,00 0,00 1,00 -15,03
13 2,83 0,00 0,00 -1,41 10,63 -0,71 -21,26 0,00 0,00 -1,41 -42,52
14 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
15 3,00 5,00 0,00 1,00 -2,52 0,50 -3,77 0,00 0,00 1,00 -7,55
16 3,00 0,00 -0,71 2,00 -2,67 1,00 -8,02 -0,71 5,67 2,00 -16,03
17 3,00 0,00 0,00 2,00 -15,03 1,00 -45,10 0,00 0,00 2,00 -90,20
18 3,00 0,00 0,00 1,00 -7,52 0,50 -11,27 0,00 0,00 1,00 -22,55
Suma: -0,002 0,001 0,003
Dodatkowo obliczyć możemy jeszcze błędy, dzieląc wyniki przez sumy wartości bezwzględnych z
poszczególnych kolumn.
śąnźą śą jźą
#"N #"#"N #"
EA0 �ąV=-0,002 EA0 j k �"l=77,73
"
EA
śąnźą śą jźą
#"N #"#"N #"
EA0 �ą1 =0,001 EA0 j 1 �"l=49,44
"
EA
śąnźą śą jźą
#"N #"#"N #"
EA0 �ą2 =-0,003 EA0 j 2 �"l=155,47
"
EA
0,002 �"100 %=0,003 %
77,73
0,001 �"100 %=0,002 %
49,44
0,003
�"100 %=0,002 %
155,47
Warto dodać tutaj, iż błędy wyliczone powyżej mieszczą się w dopuszczalnej granicy 1%, zadanie
możemy więc uznać za rozwiązane prawidłowo.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 11
Zadanie 2
Wyznaczyć linie wpływu sił w prętach kratownicy statycznie niewyznaczalnej wykorzystując metodę
ciężarów sprężystych.
Dana jest kratownica:
x P=1
G1 G2 G3 G5 G6 G7
G4
Kn
K3 S4 K4 S5 K5 S6 K6 S7 K7 S8
3
S1 K1 S2 K2 S3
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7
[m]
4
4 4 4 4 4 4
Rys. 11.13. Zadana kratownica statycznie niewyznaczalna
Zależności między sztywnościami dla poszczególnych grup prętów są następujące:
4�"śąEAźą
dla pasa górnego G Śą
3
4
dla pasa dolnego D Śą �"śąEAźą
3
3�"śąEAźą
dla słupków S Śą
3
5�"śąEAźą
dla krzyżulców K Śą
3
Celem zadania jest wyznaczenie linii wpływu siły w pręcie D od poruszającej się po pasie górnym siły
4
jedynkowej. Zgodnie z zasadą superpozycji zapisujemy równanie linii wpływu w układzie statycznie
niewyznaczalnym:
X X
1 2
lw Dśąnźą=lw D0 �ąD4 =1�"lw X �ąD4 =1�"lw X (11.6)
4 4 1 2
Dobrano układ podstawowy:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 12
x P=1
G1 G2 G3 G5 G6 G7
G4
X1
K3 S4 K4 S5 K5 S6 K6 S7 K7 S8
3
S1 K1 S2 K2 S3
X1
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7
X2
[m]
4
4 4 4 4 4 4
Rys. 11.14. Układ podstawowy
który uzupełniamy układem równań kanonicznych:
�ą11 �"X �ą�ą12 �"X �ą�ą1 P=0
1 2
(11.7)
{
�ą21 �"X �ą�ą22 �"X �ą�ą2 P=0
1 2
W celu obliczenia współczynników korzystamy z zależności:
Si m�"Sk m
�ąik= �"lm (11.8)
"
EAm
m
Si m�"S
Pm
�ąiP= �"lm
(11.9)
"
EAm
m
gdzie:
l to długość pręta,
m
S to siła w stanie X =1 w pręcie m,
im i
S to siła w pręcie m od obciążenia zewnętrznego.
Pm
" Stan S (obciążenie X =1)
1 1
-0.8
1
3 -0.6 1 -0.6
1
1
-0.8
[m]
4
4 4 4 4 4 4
Rys. 11.15. Stan obciążenia X =1
1
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 13
" Stan S (obciążenie X =1)
2 2
0,67 1,33 0,67
3 -0,5
-0,5 0,5 0,5
-0,67 -1,33 -0,67
X 2=1
0,5
0,5
[m]
4 4 4 4
4 4 4
Rys. 11.16. Stan obciążenia X =1
2
Do obliczenia przemieszczeń posłużono się tabelą:
Tabela 11.4. Siły w prętach w stanach jednostkowych
S1 �"S1 S1 �"S2 S2 �"S2
l
S1 S2
�"l �"l �"l
EA
EA EA EA
D 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1
D 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2
D 3,00 0,00 -0,6(6) 0,00 0,00 1,3(3)
3
D 3,00 -0,80 -1,3(3) 1,92 3,20 5,3(3)
4
D 3,00 0,00 -0,6(6) 0,00 0,00 1,3(3)
5
D 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
6
D 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7
S 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1
S 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2
S 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3
S 3,00 -0,60 -0,50 1,08 0,90 0,75
4
S 3,00 -0,60 -0,50 1,08 0,90 0,75
5
S 3,00 0,00 0,50 0,00 0,00 0,75
6
S 3,00 0,00 0,50 0,00 0,00 0,75
7
S 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
8
K 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1
K 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2
K 3,00 0,00 0,8(3) 0,00 0,00 2,08(3)
3
K 3,00 1,00 0,8(3) 3,00 2,50 2,08(3)
4
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
3
8
.
3
3
3
0
8
8
8
.
.
.
0
0
0
-
-
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 14
S1 �"S1 S1 �"S2 S2 �"S2
l
S1 S2
�"l �"l �"l
EA
EA EA EA
K 3,00 0,00 -0,8(3) 0,00 0,00 2,08(3)
5
K 3,00 0,00 -0,8(3) 0,00 0,00 2,08(3)
6
K 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7
G 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1
G 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2
G 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3
G 3,00 -0,80 0,6(6) 1,92 -1,60 1,3(3)
4
G 3,00 0,00 1,3(3) 0,00 0,00 5,3(3)
5
G 3,00 0,00 0,6(6) 0,00 0,00 1,3(3)
6
G 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7
K 3,00 1,00 0,00 3,00 0,00 0,00
n
Suma: 12,00 5,90 27,3(3)
Wyznaczone sumy oznaczają przemieszczenia:
S1�"S1
m
�ą11 = �"lm=12
"
[ ]
EAm EA
m
S1�"S2
m
�ą12 = �"lm=5,9
"
[ ]
EAm EA
m
S2�"S2
m
�ą22 = �"lm=27,3śą3źą
"
[ ]
EAm EA
m
Obciążeniem jest poruszająca się siła P=1, zatem " i " są wielkościami zmiennymi zależnymi od x.
1P 2P
Zgodnie z twierdzeniem Maxwella (" = " ) możemy wyznaczyć " i " , czyli linie ugięć pasa górnego
iP Pi P1 P2
kratownicy wywołane działaniem odpowiednio sił X i X .
1 2
Do ich wyznaczenia zastosujemy metodę ciężarów sprężystych. Musimy wyznaczyć dwie grupy
ciężarów sprężystych (siły wj(1) i wj(2)) i obciążyć nimi belkę zastępczą. Wyznaczone od tych sił dwa wykresy
momentów będą odpowiednio liniami ugięć " i " .
P1 P2
Wartości sił wyliczymy ze wzoru:
ą
Si m�"S
j m
wśąji źą= �"lm
(11.10)
"
EAm
m
gdzie:
wśąji źą to ciężar sprężysty obliczony dla węzła j, dla obciążenia X = 1,
i
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 15
ą
S
to siła w pręcie m wywołana obciążeniem wirtualnym przyłożonym do węzłów j-1, j i j+1 w układzie
j m
podstawowym,
Si m
to siła w pręcie m w stanie X = 1.
i
w1(i) w2(i) w3(i) w4(i) w5(i) w6(i)
0 1 2 3 4 5 6 7
[m]
4 4 4 4
4 4 4
Rys. 11.17. Belka zastępcza obciążona ciężarami sprężystymi
ą
S
Najpierw musimy wyznaczyć siły przykładając obciążenie wirtualne do kolejnych węzłów. Siły
jm
ą
S1 m
otrzymamy przykładając obciążenie do węzłów 0, 1 i 2 (m to numer pręta kratownicy):
0,5 0,25
0,25
-0,33
3 0,25 -0,25
0,33
[m]
4 4 4 4
4 4 4
ą
S2 m
Dalej wyznaczamy siły dla węzła j = 2:
0,5 0,25
0,25
-0,33
3
0,25 -0,25
0,33
[m]
4 4 4 4
4 4 4
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
2
2
4
4
.
.
0
0
-
2
2
4
4
.
.
0
0
-
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 16
ą
S3 m
Dla j = 3 siły :
0,5 0,25
0,25
-0,33
3
0,25 -0,25
0,33
[m]
4
4 4 4 4 4 4
ą
S4 m
Dla j = 4 siły :
0,5 0,25
0,25
-0,33
3
0,25 -0,25
0,33
[m]
4
4 4 4 4 4 4
ą
S5 m
Dla j = 5 siły :
0,5 0,25
0,25
-0,33
3
0,25 -0,25
0,33
[m]
4
4 4 4 4 4 4
ą
S6 m
Dla j = 6 siły :
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
2
2
4
4
.
.
0
0
-
2
2
4
4
.
.
0
0
-
2
2
4
4
.
.
0
0
-
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 17
0,25 0,5 0,25
-0,33
3
0,25 -0,25
0,33
[m]
4
4 4 4 4 4 4
Wszystkie wartości sił przedstawiono w tabeli uwzględniając ściskanie i rozciąganie prętów:
Tabela 11.5. Siły w prętach od obciążeń wirtualnych
ą ą ą ą ą ą
S1 S2 S3 S4 S5 S6
D 0,3(3) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1
D 0,00 0,3(3) 0,00 0,00 0,00 0,00
2
D 0,00 0,00 0,3(3) 0,00 0,00 0,00
3
D 0,00 0,00 0,00 0,3(3) 0,00 0,00
4
D 0,00 0,00 0,00 0,00 0,3(3) 0,00
5
D 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,3(3)
6
D 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7
S 0,25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1
S -0,25 0,25 0,00 0,00 0,00 0,00
2
S 0,00 -0,25 0,25 0,00 0,00 0,00
3
S 0,00 0,00 -0,25 0,25 0,00 0,00
4
S 0,00 0,00 0,00 -0,25 0,25 0,00
5
S 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,25 0,25
6
S 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,25
7
S 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
8
K -0,41(6) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1
K 0,41(6) -0,41(6) 0,00 0,00 0,00 0,00
2
K 0,00 0,41(6) -0,41(6) 0,00 0,00 0,00
3
K 0,00 0,00 0,41(6) -0,41(6) 0,00 0,00
4
K 0,00 0,00 0,00 0,41(6) -0,41(6) 0,00
5
K 0,00 0,00 0,00 0,00 0,41(6) -0,41(6)
6
K 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,41(6)
7
G 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1
G -0,3(3) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
2
2
4
4
.
.
0
0
-
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 18
ą ą ą ą ą ą
S1 S2 S3 S4 S5 S6
G 0,00 -0,3(3) 0,00 0,00 0,00 0,00
3
G 0,00 0,00 -0,3(3) 0,00 0,00 0,00
4
G 0,00 0,00 0,00 -0,3(3) 0,00 0,00
5
G 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,3(3) 0,00
6
G 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,3(3)
7
K 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
n
Wartości ciężarów sprężystych otrzymamy sumując odpowiednie iloczyny sił:
ą
Si m�"S
j m
wśąji źą= �"lm
"
EAm
m
Porównując rozkład sił w stanie X = 1 i X = 1 oraz przy obciążeniach wirtualnych zauważymy, że w
1 2
niektórych przypadkach siły nie pokrywają się w żadnym pręcie.
W tabeli 11.6 zestawiono tylko niezerowe iloczyny.
Tabela 11.6. Iloczyny od obciążeń jednostkowych i wirtualnych
ą ą ą ą ą ą ą ą
S1�"S3 S1�"S4 S1�"S5 S2�"S2 S2�"S3 S2�"S4 S2�"S5 S2�"S6
�"l �"l �"l �"l �"l �"l �"l �"l
EA EA EA EA EA EA EA EA
D 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1
D 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2
D 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,6(6) 0,00 0,00 0,00
3
D 0,00 -0,80 0,00 0,00 0,00 -1,3(3) 0,00 0,00
4
D 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,6(6) 0,00
5
D 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
6
D 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7
S 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1
S 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2
S 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3
S 0,45 -0,45 0,00 0,00 0,375 -0,375 0,00 0,00
4
S 0,00 0,45 -0,45 0,00 0,00 0,375 -0,375 0,00
5
S 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,375 0,375
6
S 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,375
7
S 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
8
K 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1
K 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2
K 0,00 0,00 0,00 1,041(6) -1,041(6) 0,00 0,00 0,00
3
K 1,25 -1,25 0,00 0,00 1,041(6) -1,041(6) 0,00 0,00
4
K 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,041(6) -1,041(6) 0,00
5
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 19
ą ą ą ą ą ą ą ą
S1�"S3 S1�"S4 S1�"S5 S2�"S2 S2�"S3 S2�"S4 S2�"S5 S2�"S6
�"l �"l �"l �"l �"l �"l �"l �"l
EA EA EA EA EA EA EA EA
K 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,041(6) -1,041(6)
6
K 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7
G 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1
G 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2
G 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3
G 0,80 0,00 0,00 0,00 -0,6(6) 0,00 0,00 0,00
4
G 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,3(3) 0,00 0,00
5
G 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,6(6) 0,00
6
G 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7
K 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
n
Suma: 2,50 -2,05 -0,45 1,041(6) -0,958(3) -4,75 -2,083(3) 1,041(6)
Odpowiednie sumy z tabel 11.4 i 11.6 prowadzą do wartości:
�ą11=12
EA
�ą12=5.0
EA
�ą22=27,3śą3źą
EA
dla obciążenia X = 1
1
w1 = 0
w2 = 0
2,5
w3 =
EA
w4 =-2,05
EA
w5 =-0,45
EA
w6 = 0
dla obciążenia X = 1
2
w1 = 0
1,041śą6źą
w2 =
EA
w3 =-0,958 śą3źą
EA
w4 =-4,75
EA
-2,08 śą3źą
w5 =-
EA
1,041śą6 źą
w6 =
EA
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 20
Wykres momentów w belce zastępczej od obciążenia ciężarkami sprężystymi w(1) pokrywa się z linią ugięcia
j
�ąP1
2,95
5,9
0,45
2,5 2,05
0,737
0,737
[m]
4 4 4 4
4 4 4
(1)
Rys. 11.18. Belka zastępcza obciążona ciężarami sprężystymi w
j
5,9
4,1
2,95
EA � M1
2,95 2,95
[m]
4
4 4 4 4 4 4
Rys. 11.19. Wykres momentów w belce zastępczej od obciążenia ciężarkami sprężystymi w(1)
j
Ponieważ siła porusza się po pasie górnym kraty należy w wykresie momentów uwzględnić w punkcie 7
wartość momentu wtórnego odpowiadającą rzeczywistemu skróceniu słupka S' przy obciążeniu kratownicy
7
X = 1.
2
3
M = �"śą-1źą�"0,5 �"1 =-1,5
7
EA EA
Otrzymaliśmy wartość ujemną ponieważ słupek jest rozciągany oznacza to, że oś pasa górnego uniesie
się w tym miejscu o wartość 1,5/EA. W stanie X = 1 w słupku podporowym siła była równa zero co
1
oznaczało, że pas górny nad podporą nie przemieszczał się.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 21
1,042 4,75 2,083
0,958
1,042 10,667
20,33
M7=1,5
3,041
25,83
2,667
17,83
EA � M2
14,83
1,5
10,67
21,33
[m]
4 4 4 4
4 4 4
Rys. 11.20. Wykres momentów w belce zastępczej od obciążenia ciężarkami sprężystymi w(2)
j
Aby znalez
ć linie wpływu X i X trzeba rozwiązać układ równań kanonicznych można to zrobić
1 2
wyznaczając macierz odwrotną do macierzy podatności:
�ą11 �ą12
12 5,9
A= =
[ ]
[ ] 5,9 27,3śą3źą
�ą21 �ą22
[ A][ X ]=[ P]
(11.10)
[ X ]=[ A]-1[ P]
Każdy wyraz macierzy odwrotnej policzymy ze wzoru:
1
A-1= śą-1źąi �ą j A0 (11.11)
ij ij
det A
Czyli odwrotność wyznacznika macierzy pomnożona przez -1 do potęgi (i+j) i pomnożona przez wyraz, który
pozostał po skróceniu i-tego wiersza i j-tej kolumny:
det [A]= 293,19
1
A-1= śą-1źą1�ą1�"27,3śą3źą=0,0932273725
11
293,19
1
A-1= śą-1źą1�ą2�"5,9=-0,02012344694
12
293,19
1
A-1= śą-1źą2�ą2�"12=0,0409290904
22
293,19
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 22
Otrzymujemy macierz odwrotną,
0,0932273725 -0,0201234694
A-1=
[ ]
-0,0201234694 0,0409290904
która pomnożona przez macierz początkową musi dać macierz jedynkową:
0,0932273725 -0,0201234694 12 5,9 1 0
[ A]-1[ A]= �" =
[ ][ ] [ ]
-0,0201234694 0,0409290904 5,9 27,3śą3źą 0 1
[ P]=col {-�ą1 P ;-�ą2 P}
Biorąc pod uwagę fakt, że wartości nadliczbowych wyliczamy z zależności:
X =-0,0932273725 �"�ą1 P �ą 0,020123469 �"�ą2 P
1
X = 0,020123469 �" �ą1 P �ą 0,0409290904 �"�ą2 P
2
�ąiP
Wyrazy wolne a co za tym idzie siły nadliczbowe X są funkcjami współrzędnej położenia siły P = 1 (są
i
inne dla każdego x). Oznacza to, że wyznaczyliśmy linie wpływu sił nadliczbowych (X (x) = lw X ).
i i
Aby stworzyć linię wpływu dowolnej wielkości w układzie statycznie niewyznaczalnym (np. lw D )
4
korzystamy z zasady superpozycji:
x1=1 X
2
lw D4=lw D0 �ąD4 �"lw X �ąD4 =1�"lw X
4 1 2
Najpierw wyznaczymy wielkości w układzie statycznie wyznaczalnym (podstawowym).
Przy obciążeniu kratownicy siłą X = 1 otrzymaliśmy D = -0,8, a przy obciążeniu siłą X = 1 było D = -1,33.
1 4 2 4
Wobec tego:
X
1
D4 =1=-0,8
X
2
D4 =1=-1,33
Dalej wyznaczamy linie wpływu w układzie podstawowym.
ą
x P=1
G1 G2 G3 G5 G6 G7
G4 M
K3 S4 K4 S5 K5 S6 K6 S7 K7 S8
3
S1 K1 S2 K2 S3
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7
ą
3 x
x 1
-
-
VA=
VB=
2 16
16 2
[m]
4
4 4 4 4 4 4
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 23
6 5 3 2 1
1
4 4 4 4
lw VA0 4
-1
0
4
1 1 3 5
1
4 2 4 4
lw VB0
-1 -1
0
4
2
4
2 2
3
3 3
lw D40
-4 -2 -2
0 0
3 3 3
4 4 4 4
4 4 4
[m]
Rys. 11.21. Linie wpływu w układzie podstawowym
Po wykonaniu przekroju ą-ą równoważymy jedną z odciętych części zgodnie z metodą Rittera. Gdy siła
P=1 jest w przedziałach:
x")#0,12 *#
8 �"V
P
M =0 Śą D4 =
"
M B
3
x")#16,28 *#
8 �"V
L
M =0 Śą D4 =
"
M A
3
Na koniec w każdym węz
le kratownicy policzono wartości nadliczbowych oraz siły w pręcie D (tab. 11.7)
4
Tabela 11.7. Linie wpływu sił
0
�ą1 P �ą2 P
x lwX lwX lwD lwD
1 2 4 4
0 -5,900 21,333 0,97934218 -0,99188240 -1,333 -0,7942972120
4 -2,950 10,667 0,48967109 -0,49594120 -0,667 -0,3971486060
8 0,000 0,000 0,00000000 0,00000000 0,000 0,0000000000
12 2,950 -14,833 -0,57351888 0,66647908 0,667 0,2368430018
16 -4,100 -25,833 -0,13762407 0,97482861 1,333 0,1436611047
20 -2,900 -17,833 -0,08384779 0,67053788 0,667 -0,1603056055
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 11. METODA SIA
- KRATOWNICA 24
0
�ą1 P �ą2 P
x lwX lwX lwD lwD
1 2 4 4
24 0,000 -1,500 -0,03018520 0,06139364 0,000 -0,0577100175
28 2,950 10,633 -0,06104119 -0,37584843 -0,667 -0,1167024786
oraz przedstawiono graficznie rezultaty obliczeń.
�ą1 P �ą2 P
Warto zwrócić uwagę na kształt funkcji i , które przedstawiają postać odkształconą (linię ugięcia)
pasa górnego kratownicy przy działaniu odpowiednio siły X = 1 i X = 1.
1 2
x P=1
G1 G2 G3 G5 G6 G7
G4
Kn
K3 S4 K4 S5 K5 S6 K6 S7 K7 S8
3
S1 K1 S2 K2 S3
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7
4 4 4 4
4 4 4
[m]
-5,9
-4,1
-2,95
-2,95
"1P= "P1
-25,83
2,95 2,95
-17,83
-14,83
1,5
"2P= "P2
10,67 10,63
-0,574
21,33
-0,138
0 -0,084 -0,03 -0,06
lw X1(n)
0,49
0,979
-0,998
-0,495
-0,376
0
lw X2(n)
0,061
0,67
0,666
0,975
-0,794
-0,397
-0,16
-0,058 -0,117
0
lw D4(n)
0,144
0,237
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater