Politechnika Poznańska
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
metodą sił
1. Rama
Dla układu pokazanego poni\
ej nale\
y:
- Oblicz i wykonać wykresy sił wewnętrznych powstałych od zadanego obcią\
enia,
wpływu temperatury, osiadania podpór.
- Po wyznaczeniu sił wewnętrznych nale\
y wykonać sprawdzenie kinematyczne
- Obliczyć zaznaczone przemieszczenia uogólnione
1.1 Rama obciÄ…\
ona tylko obciÄ…\
eniem zewnętrznym
Układ statycznie niewyznaczalny:
Układ jest wewnętrznie, trzykrotnie statycznie niewyznaczalny. SSN = 3
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -1-
Układ podstawowy:
Równania kanoniczne metody sił:
´11 Å" M1 + ´12 Å"T2 + ´13 Å" N3 + ´1P = 0
´ Å" M1 + ´ Å"T2 + ´ Å" N3 + ´ = 0
21 22 23 2P
´ Å" M1 + ´ Å"T2 + ´ Å" N3 + ´ = 0
31 32 33 3P
Wyznaczenie przemieszczeÅ„ (´ )
ik
Przy wyznaczaniu (´ ) uwzglÄ™dniamy tylko wpÅ‚yw momentów przekrojowych, obliczenia
ik
dokonujemy za pomocÄ… wzoru:
M M
i k
´ = ds
ik "
+"
EI
pr
s
Stan M1 = 1
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -2-
Stan T2 = 1
Stan N3 = 1
Stan P
M M
i k
´ = ds
ik "
+"
EI
pr
s
I1 = 30600cm4 - I220
I2 = 42500cm4 - I240
I1
= 0,72 Ò! EI2 = 0,72EI1
I2
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -3-
1
20
M1M1 6 2(1Å" 6) 6 12 6
3
´11 = ds = + + = + =
"
+"
EI EI2 EI1 EI2 EI2 EI1 EI2
pr
s
M1M 1 1 1
2
´12 = ds = (- 3Å" 9 + 3Å" 9)+ (0,5 Å" 3Å" 3 - 0,5 Å" 3Å" 3) + (0,5 Å" 3Å" 3 - 0,5 Å" 3Å" 3) = 0
"
+"
EI EI1 EI2 EI2
pr
s
M1M3 1 1 - 9 18 - 30,5
´13 = ds = (- 3Å"0,5Å"3 - 0,5Å"3Å"3)+ (-3Å"6) = - =
"
+"
EI EI1 EI2 EI1 EI2 EI2
pr
s
M M 1 1
2 3
´ = ds = (3 Å" 0,5 Å" 3 Å" 3 - 0,5 Å" 3 Å" 3 Å" 3)+ (0,5 Å" 3 Å" 3Å" 3 - 0,5 Å" 3 Å" 3 Å" 3) = 0
23 "
+"
EI EI1 EI2
pr
s
M2M3 1 4 54 36 111
´22 = ds = (3Å"3Å"3 + 3Å"3Å"3)+ (0,5Å"3Å"3Å"(2 / 3) Å"3) = + =
"
+"
EI EI1 EI2 EI1 EI2 EI2
pr
s
M3M3 1 2 54 18 79
´33 = ds = (3Å"6Å"3 + 3Å"3Å"3)+ (0,5Å"3Å"3Å"(2 / 3) Å"3) = + =
"
+"
EI EI2 EI1 EI2 EI1 EI2
pr
s
ëÅ‚ öÅ‚
M1M 1 10Å"62 4Å"32 ÷Å‚
P
´1P = ds = ìÅ‚ - (2 / 3) Å" Å"6 - 0,5Å"18Å"3 - 0,5Å"18Å"3 + 2Å"(2 / 3) Å" Å"3÷Å‚ +
"
+"
EI EI2 ìÅ‚18Å"6 8 8
pr
íÅ‚ Å‚Å‚
s
1 - 324 108 - 474
+ (-18Å"3Å" 2Å"1) = + =
EI1 EI2 EI1 EI2
ëÅ‚ öÅ‚
M2M 1 10Å"32 10Å"32 ÷Å‚
P
´2P = ds = ìÅ‚ + (2 / 3) Å" Å"3Å"0,5 - 0,5Å"18Å"3Å"3 - 3Å"(2 / 3) Å" Å"3Å"0,5÷Å‚ +
"
+"
EI EI2 ìÅ‚18Å"3Å"0,5Å"3 8 8
pr
íÅ‚ Å‚Å‚
s
1 4Å"32 4Å"32
+ (0,5Å"18Å"3Å"(2 / 3) Å"3 - (2 / 3) Å" Å"3Å"0,5Å"3 - 0,5Å"18Å"3Å"3Å"(2 / 3) + (2 / 3) Å" Å"3Å"0,5Å"3) +
EI2 8 8
1
+ (18Å"3Å"3 -18Å"3Å"3) = 0
EI1
M3M 1 1 10Å"62
P
´3P = ds = (0,5Å"18Å"3Å"3Å" 2)+ (18Å"6Å"3Å"1+ Å"6Å"(2 / 3)Å"3) =
"
+"
EI EI1 EI2 8
pr
s
864 162 1089
= + =
EI2 EI1 EI2
Rozwiązanie równań kanonicznych:
20,(3)Å" M1 + 0Å"T2 - 30,5Å" N3 - 474 = 0
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚0Å" M1 +111Å"T2 - 0Å" N3 + 0 = 0 ôÅ‚
òÅ‚ żł
ôÅ‚- 30,5Å" M1 + 0Å"T2 + 79Å" N3 +1089 = 0 ôÅ‚
ół þÅ‚
M1 = 6,2588kNm
T2 = 0kN
N3 = -11,3684kN
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -4-
Wykres Momentów rzeczywistych:
Sprawdzenie kinematyczne:
Układ statyczny (podstawowy)
0 n
ëÅ‚ öÅ‚
M M 1 10Å"62 ÷Å‚ 1 4Å"62
´k = ds = ìÅ‚ 22,364Å"(-1) + (2 / 3) Å" Å"6Å"1÷Å‚ + (11,7412Å"6Å"1- (2 / 3) Å" Å"6) +
"
+"
EI EI2 ìÅ‚6Å" 8 EI2 8
pr
íÅ‚ Å‚Å‚
s
1 45,816 1,5528 31,8684 45,816 1,5528 44,261
(0,5Å"(11,7412 - 22,364) Å"3Å" 2) = - - = - - =
EI1 EI2 EI2 EI1 EI2 EI2 EI2
0,001533(3) 0,001533(3)
= = = 1,759Å"10-8
EI2 205Å"106 Å" 42500Å"10-8
[rad]
BÅ‚Ä…d procentowy:
0,001533(3)
Å"100% = 0,334%
45,816
Obliczenia uwa\
a siÄ™ za poprawne
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -5-
Wykresy sił tnących i normalnych:
1.2 Rama obciÄ…\
ona tylko zmianÄ… temperatury
Układ statycznie niewyznaczalny:
Układ jest wewnętrznie, trzykrotnie statycznie niewyznaczalny. SSN = 3
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -6-
Układ podstawowy:
Równania kanoniczne metody sił:
´11 Å" M1 + ´12 Å"T2 +´13 Å" N3 + ´1T = 0
´ Å" M1 + ´ Å"T2 + ´23 Å" N3 +´ = 0
21 22 2T
´31 Å" M1 +´32 Å"T2 + ´33 Å" N3 + ´3T = 0
WartoÅ›ci ´ zostaÅ‚y wyznaczone w poprzedniej części projektu.
ik
Wyznaczenie przemieszczeÅ„ (´iT )
Przy wyznaczaniu (´iT ) u\
ywamy następującego wzoru:
"t
´iT = Ni Å"Ä…t Å"t0 Å" ds
" i "
+"M Å"Ä…t Å" h Å" ds + +"
pr pr
s s
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -7-
Stan M1 = 1
Stan T2 = 1
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -8-
Stan N3 = 1
Parametry temperaturowe dla układu:
"t
´iT = Ni Å"Ä…t Å"t0 Å" ds
" i "
+"M Å"Ä…t Å" h Å" ds + +"
pr pr
s s
"t ëÅ‚ 6Å"1Å"(-40) 6Å"1Å"5 2Å"6Å"1Å"(-40) öÅ‚
´1T =
" 1 " 1
+"M Å"Ä…t Å" h Å" ds + +"N Å"Ä…t Å"t0 Å" ds = Ä…t ìÅ‚ 0,24 + 0,24 + 0,22 ÷Å‚ =
pr pr íÅ‚ Å‚Å‚
s s
= -1,965,9091Ä…t
"t
´ =
2T " 2 " 2
+"M Å"Ä…t Å" h Å" ds + +"N Å"Ä…t Å"t0 Å" ds =
pr pr
s s
ëÅ‚ 0,5Å"3Å"3Å"(-5) 0,5Å"3Å"3Å"5 3Å"3Å" 40 3Å"3Å"(-40) öÅ‚
Ä…t ìÅ‚ + + + ÷Å‚ +Ä…t (3Å"1Å"(-25) + 3Å"1Å" 25)= 0
0,24 0,24 0,22 0,22
íÅ‚ Å‚Å‚
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -9-
"t
´3T =
" 3 " 3
+"M Å"Ä…t Å" h Å" ds + +"N Å"Ä…t Å"t0 Å" ds =
pr pr
s s
ëÅ‚ 3Å"6Å" 40 0,5Å"3Å"3Å" 40 0,5Å"3Å"3Å" 40 öÅ‚
Ä…t ìÅ‚ + + ÷Å‚ +Ä…t (6Å"1Å" 2,5 + 6Å"1Å"(-25))= 4501,36Ä…t
0,24 0,22 0,22
íÅ‚ Å‚Å‚
EI1 = 205Å"106 Å" 42500Å"10-8 = 87125kPam4
Ä…t = 0,000012o C-1
61
´11 =
261375 ´ = ´32 = 0
23
´ =1,27403Å"10-3
´1T = -0,023591
22
´33 = 9,06743Å"10-4 ´ = 0
2T
´ = ´12 = 0 ´3T = 0,054016
21
- 61
´13 = ´31 =
174250
Rozwiązanie równań kanonicznych:
61 - 61
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚261375 Å" M1 + 0Å"T2 + 174250 Å" N3 - 0,023591 = 0 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚0Å" M1 +11,27403Å"10-3 Å"T2 - 0Å" N3 + 0 = 0 ôÅ‚
òÅ‚ żł
ôÅ‚ ôÅ‚
61
ôÅ‚- Å" M1 + 0Å"T2 + 9,06743Å"10-4 Å" N3 + 0,054016 = 0
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
174250
ół þÅ‚
M1 = 27,8612kNm
T2 = 0kN
N3 = -48,8149kN
Wykres momentów rzeczywistych:
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -10-
Sprawdzenie kinematyczne:
Układ statyczny (podstawowy)
0 n
M M "t 1
0 0
´ = ds + N Å"Ä…t Å"t0 Å" ds = (174,305Å" (-1) Å"6 - 27,8612Å" 6Å"1)+
k " " "
+" +"M Å"Ä…t Å" h Å" ds + +"
EI EI2
pr pr pr
s s s
1 ëÅ‚1Å"6Å" 40 2Å"1Å"3Å" 40 6Å"1Å"5 öÅ‚
(0,5Å" (174,305 + 27,8614) Å"3Å" (-2)) +Ä…t ìÅ‚ + - ÷Å‚ =
EI1 0,24 0,22 0,24
íÅ‚ Å‚Å‚
1212,9972 606,4992
= - - +1965,9091Ä…t = -0,0235909 + 0,023590909 =
EI2 EI1
= 8,5696 Å"10-9 rad
BÅ‚Ä…d procentowy:
8,5696Å"10-9
Å"100% = 3,632Å"10-5%
0,0235909
Obliczenia uwa\
a siÄ™ za poprawne.
Wykresy sił tnących i normalnych:
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -11-
1.3 Rama obciÄ…\
ona tylko osiadaniem podpór
Osiadanie podpór nie wywoła sił wewnętrznych w ramie. Zewnętrznie rama jest statycznie
wyznaczalna, mo\
ną ją traktować jak jedną tarcze, podpartą swobodnie. W wyniku osiadania
podpór rama ulegnie tylko przemieszczeniu (obrót całej ramy, przesuniecie poziome i
pionowe).
1.4 Wyznaczenie przemieszczenia uogólnionego:
Wyznaczenie przemieszczenia pionowego punktu K znajdującego się w środku rozpiętości na
ryglu górnym.
W obliczeniach przemieszczenia uwzględniono tylko wpływ sił wewnętrznych (bez N i T)
Korzystając z twierdzenia redukcyjnego wzór za pomocą którego mo\
na wyliczyć
przemieszenie uogólnione przyjmuje następującą postać:
0 n
M M
´ (P) = ds
k "
+"
EI
pr
s
Wykres momentów rzeczywistych:
Wykres momentów wirtualnych:
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -12-
0 n
M M
´ (P) = ds =
k "
+"
EI
pr
s
ëÅ‚ öÅ‚
2 10 Å"32
ìÅ‚ - 0,5Å" 22,364 Å"3Å" (1/ 3) Å"1,5 + 0,5Å" 22,636Å"3Å" (2 / 3) Å"1,5 + (2 / 3) Å" Å"3Å" 0,5Å"1,5÷Å‚ =
÷Å‚
EI2 ìÅ‚ 8
íÅ‚ Å‚Å‚
68,112 68,112
= = = 0,0007817m
EI2 87125
Przemieszenie uogólnione (´k ) wynosi: 0,0007817m
2. Kratownica
Dla układu pokazanego poni\
ej nale\
y:
- Obliczyć i wykonać wykresy sił wewnętrznych powstałych od zadanego obcią\
enia.
- Po wyznaczeniu sił wewnętrznych nale\
y wykonać sprawdzenie kinematyczne
Układ statycznie niewyznaczalny:
Parametry przekrojów:
Pas górny  1 EA0
Pas dolny  1 EA0
Krzy\
ulce  0,5 EA0
SÅ‚upki  0,8 EA0
Układ jest zewnętrznie i wewnętrznie jednokrotnie niewyznaczalny: SSN = 2
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -13-
Układ podstawowy:
Równania kanoniczne metody sił:
´11 Å" X1 + ´12 Å" X + ´1P = 0
2
´ Å" X1 + ´ Å" X + ´ = 0
21 22 2 2P
Wyznaczenie przemieszczeÅ„ (´ )
ik
Przy wyznaczaniu (´ ) korzystamy ze wzoru:
ik
Ni Nk
´ik = l
"
EA
pr
Stan X1=1
sinÄ… = 4/ 5 cosÄ… = 3/ 5
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -14-
Stan X2=1
Układ jest symetryczny, siły w prętach w jednej części kratownicy są równe odpowiednim
siłom w prętach w drugiej części kratownicy. Z tego względu obliczenia dokonane zostaną
dla połowy kratownicy.
Stan P
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -15-
Wyznaczenie przemieszczeÅ„ ´ wykonano w tabeli poni\
ej:
ik
l N1N1 N2 N2 N1N2 N1NP N2 NP
l l l l l
EA
EA EA EA EA EA
Nr
l [m] NP [kN] N1 [-] N2 [-] N(n) [kN]
pręta
m
îÅ‚ Å‚Å‚ m m m mkN mkN
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
EAśł
EAśł ïÅ‚ EAśł ïÅ‚ EAśł ïÅ‚ EA EA
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 3 3 -18,75 -0,6 0,375 1,08 0,421875 -0,675 33,75 -21,0938 -2,36606
3 3 3 -26,25 0,375 0 0,421875 0 0 -29,5313 -15,6595
4 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0
5 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0
6 5 10 -31,25 0,625 0 3,90625 0 0 -195,313 -13,5992
7 4 5 5 -0,8 -0,5 3,2 1,25 2 -20 -12,5 -1,39605
8 5 10 -6,25 1 0,625 10 3,90625 6,25 -62,5 -39,0625 1,745063
9 4 5 0 -0,8 -1 3,2 5 4 0 0 -20,5167
10 5 10 6,25 0,625 0 3,90625 0 0 39,0625 23,90081
11 4 5 -5 -0,5 0 1,25 0 0 12,5 -19,1207
12 5 10 -43,75 0,625 0 3,90625 0 0 -273,438 -26,0992
13 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0
14 3 3 18,75 -0,375 0 0,421875 0 0 -21,0938 8,159513
15 3 3 22,5 -0,6 -0,75 1,08 1,6875 1,35 -40,5 -50,625 7,112475
16 3 3 22,5 -0,75 0 1,6875 0 0 -50,625 1,319025
17 3 3 26,25 -0,375 0 0,421875 0 0 -29,5313 15,65951
18 5 10 0 1 0 10 0 0 0 0 -9,65575
28,56/EA 28,18/EA 12,92/EA -89,25/EA -671,2/EA
´11 = 28,56/ EA
´ = 28,18/ EA
22
´ = ´12 =12,92/ EA
21
´1P = -89,25/ EA
´ = -671,2/ EA
2P
Rozwiązanie równań kanonicznych metody sił
28,56Å" X1 +12,92Å" X = 89,25
2
12,92Å" X1 + 28,18Å" X = 671,2
2
X1 = -9,65575kN
X = 28,2413kN
2
Wartości w kolumnie N(n) w powy\
szej tabeli reprezentują wartości rzeczywistych sił
normalnych w kratownicy. Wyznaczono je za pomocÄ… zasady superpozycji ze wzoru:
(n)
N1 Å" X1 + N2 Å" X + NP = N
2
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -16-
Sprawdzenie kinematyczne:
Układ podstawowy przyjmujemy taki sam jak w obliczeniach powy\
ej, jako przemieszczenie
obieramy przemieszczenie poziome punktu znajdującego się nad środkową podporą. Wartość
sił w prętach równa się wartości sił w stanie N2 = 1.
(n)
N N
K
´ = ds
"
+"
EA
pr
Sprawdzenia dokonano w tabeli poni\
ej:
(n)
N NK mkN
îÅ‚ Å‚Å‚
N(n) [kN] NK=N2 [-] l
ïÅ‚ śł
EA EA
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0
-2,36606 0,375 -2,66182
-15,6595 0,375 -17,617
0 0 0
0 0 0
-13,5992 0,625 -84,9949
-1,39605 -0,5 3,490125
1,745063 0,625 10,90664
-20,5167 -1 102,5835
23,90081 0,625 149,3801
-19,1207 -0,5 47,80163
-26,0992 0,625 -163,12
0 0 0
8,159513 -0,375 -9,17945
7,112475 -0,75 -16,0031
1,319025 -0,75 -2,96781
15,65951 -0,375 -17,617
-9,65575 0 0
0,001075/EA
0,001075
BÅ‚Ä…d procentowy: Å"100% = 7,196Å"10-4% Obliczenia uwa\
a siÄ™ za poprawne.
149,3801
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -17-
3. A
uk
Dla układu pokazanego poni\
ej nale\
y:
- Obliczyć i wykonać wykresy sił wewnętrznych powstałych od zadanego obcią\
enia.
- Po wyznaczeniu sił wewnętrznych nale\
y wykonać sprawdzenie kinematyczne
Układ statyczny:
EA
Parametry przekrojów: = 6
EI
Układ podstawowy:
Równania kanoniczne metody sił:
´11 Å" X1 + ´12 Å" X + ´1P = 0
2
´ Å" X1 + ´ Å" X + ´ = 0
21 22 2 2P
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -18-
Parametry geometryczne:
Równanie łuku parabolicznego:
4 f
y = x(l - x) f = 5m l =16m
l2
y =1,25x - 0,078125x2
x = 6m Ò! y = 4,6875m
x = 0,84458m Ò! y =1m
Wyznaczenie przemieszczeÅ„ (´ik )
Przy wyznaczaniu (´ ) uwzglÄ™dniamy tylko wpÅ‚yw momentów przekrojowych, siÅ‚Ä™
ik
normalną uwzględniamy tylko w ściągu, który wykonano z mniejszego przekroju ni\
Å‚uk,
obliczenia dokonujemy za pomocÄ… wzoru:
MiM Ni Nk
k
´ik = ds + ds
"
+" +"
EI EA
pr
s s
Wzór ten jest słuszny we współrzędnych krzywoliniowych. Chcąc ułatwić dalsze obliczenia
przechodzimy na współrzędne prostoliniowe XY gdzie początek układu znajduje się w
punkcie lewej podpory. Wzór powy\
szy przyjmuje następującą postać:
M M Ni Nk
i k
´ik = dx + dx
"
+" +"
EI cosÕ EA
pr
Õ - kÄ…t nachylenia stycznej do paraboli w danym punkcie do poziomu
Stan X1 = 1
Równanie momentu:
M = x[m]
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -19-
Stan X2 = 1
Równania momentów:
y " 0;1 Ò! M = 0[m]
y " 1;4 Ò! M =1- y[m]
Stan P
Równania momentów:
-10x2
x " 0;6 Ò! M = [kNm]
2
y " 6;10 Ò! M = -60(x - 3)[kNm]
Wyznaczenie kÄ…ta Õ
y =1,25x - 0,078125x2
dy
= -0,156255x +1,25 = tgÕ
dx
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -20-
Dalsze obliczenia przemieszczeń przeprowadzono w poni\
szej tabeli:
cos(Õ ) [-] M1M1/cos(Õ ) M2M2/cos(Õ ) M1MP/cos(Õ ) M2MP/cos(Õ )
X [m] Y [m] dy/dx [-] Õ [rad] M1[m] M2[m] MP[kNm] M1M2/cos(fi)
0 0 1,25 0,896055 0,624695 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1,171875 1,09375 0,830144 0,674769 1 -0,17188 -5 1,48198821 0,04377944 -0,25471672 -7,40994106 1,27358362
2 2,1875 0,9375 0,753151 0,729537 2 -1,1875 -20 5,48292805 1,93294631 -3,25548853 -54,8292805 32,5548853
3 3,046875 0,78125 0,663203 0,788024 3 -2,04688 -45 11,4209665 5,31671025 -7,79243029 -171,314498 116,8864544
4 3,75 0,625 0,558599 0,847998 4 -2,75 -80 18,8679623 8,91806029 -12,9717241 -377,359245 259,4344811
5 4,296875 0,46875 0,438337 0,905459 5 -3,29688 -125 27,6103079 12,0042824 -18,2055468 -690,257697 455,1386691
6 4,6875 0,3125 0,302885 0,95448 6 -3,6875 -180 37,7168729 14,2461409 -23,1801615 -1131,50619 695,4048438
7 4,921875 0,15625 0,154997 0,988012 7 -3,92188 -240 49,5945376 15,5677289 -27,7862253 -1700,38415 952,6705828
8 5 0 0 1 8 -4 -300 64 16 -32 -2400 1200
9 4,921875 -0,15625 -0,155 0,988012 9 -3,92188 -360 81,9828071 15,5677289 -35,7251469 -3279,31228 1429,005874
10 4,6875 -0,3125 -0,30288 0,95448 10 -3,6875 -420 104,769091 14,2461409 -38,6336024 -4400,30184 1622,611302
11 4,296875 -0,46875 -0,43834 0,905459 11 -3,29688 -480 133,63389 12,0042824 -40,0522029 -5831,29703 1747,732489
12 3,75 -0,625 -0,5586 0,847998 12 -2,75 -540 169,81166 8,91806029 -38,9151722 -7641,52472 1751,182748
13 3,046875 -0,78125 -0,6632 0,788024 13 -2,04688 -600 214,460372 5,31671025 -33,7671979 -9898,171 1558,486058
14 2,1875 -0,9375 -0,75315 0,729537 14 -1,1875 -660 268,663474 1,93294631 -22,7884197 -12665,5638 1074,311215
15 1,171875 -1,09375 -0,83014 0,674769 15 -0,17188 -720 333,447348 0,04377944 -3,82075086 -16005,4727 183,3960413
16 0 -1,25 -0,89606 0,624695 16 0 -780 409,799951 0 0 -19977,7476 0
EI´11 EI´ EI´12 EI´1P EI´
22 2P
trapezy 1727,84418 132,059297 -339,148786 -76243,5782 13080,08923
simpson 1860,67639 150,944387 -389,213472 -81751,8674 15179,93439
Do otrzymanych wyników ´ nale\
y dodać wpÅ‚yw siÅ‚y normalnej w Å›ciÄ…gu. Wartość siÅ‚y normalnej w sciÄ…gu ma wpÅ‚yw jedynie na ´11 .
ik
N1N1 1
EA = 6EI A wiÄ™c wartość ´11 nale\
y zwiÄ™kszyć o ´11 = dx = .
+"
6EI 6EI
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -21-
Wartości przemieszczeń uzyskanych za pomocą metody Trapezów:
´11 = 1728,01085 / EA
´ = 132,059297 / EA
22
´ = ´12 = -339,14879 / EA
21
´1P = -76243,5782 / EA
´ = 13080,0892 / EA
2P
Układ równań kanonicznych metody sił (metoda Trapezów):
1728,01085 Å" X1 - 339,14879 Å" X - 76243,5782 = 0
2
- 339,14879 Å" X1 +132,059297 Å" X +13080,0892 = 0
2
Rozwiązanie układu równań:
X1 = 49,7674kN
X = 28,7634kN
2
Wartości przemieszczeń uzyskanych za pomocą metody Simpsona:
´11 = 1860,01085 / EA
´ = 150,944387 / EA
22
´ = ´12 = -389,21347 / EA
21
´1P = -81751,8674 / EA
´ = 15179,9344 / EA
2P
Układ równań kanonicznych metody sił (metoda Simpsona):
1860,01085 Å" X1 - 389,21347 Å" X - 81751,8674 = 0
2
- 389,21347 Å" X1 +150,944389 Å" X +15179,9344 = 0
2
Rozwiązanie układu równań:
X1 = 49,7057kN
X = 27,6008kN
2
Przy wyznaczaniu momentów rzeczywistych posłu\
ono się zasadą superpozycji. Wartości
momentów wyznaczono ze wzoru:
(n)
M1 Å" X1 + M Å" X + M = M
2 2 P
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -22-
Wartości momentów rzeczywistych wyznaczonych obiema metodami przedstawiono poni\
ej:
Mn
x [m] y [m] Mn (Trapezy)
(Sipmson)
0 0 0 0
1 1,171875 39,82369063 39,9618125
2 2,1875 45,3782625 46,63545
3 3,046875 45,42711563 47,6217125
4 3,75 39,97025 42,9206
5 4,296875 29,00766563 32,5321125
6 4,6875 12,5393625 16,45625
7 4,921875 -4,434659375 -0,3069875
8 5 -16,9144 -12,7576
9 4,921875 -24,89985938 -20,8955875
10 4,6875 -28,3910375 -24,72095
11 4,296875 -27,38793438 -24,2336875
12 3,75 -21,89055 -19,4338
13 3,046875 -11,89888438 -10,3212875
14 2,1875 2,5870625 3,10385
15 1,171875 21,56729063 20,8416125
16 0 16,2784 15,2912
Sprawdzenie kinematyczne:
Układ podstawowy wraz z wykresem momentów wirtualnych:
Równanie momentów:
1
M = x[-]
16
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -23-
Obliczenia sprawdzajÄ…ce wykonano w tabeli:
Mn
MnM/cos(Õ ) (t) MnM/cos(Õ ) (s)
x y Mn (Trapezy) M
(Sipmson)
0 0 0 0 0 0 0
1 1,171875 39,82369063 39,9618125 0,0625 3,688640006 3,701433443
2 2,1875 45,3782625 46,63545 0,125 7,775179635 7,990588029
3 3,046875 45,42711563 47,6217125 0,1875 10,80878265 11,33095802
4 3,75 39,97025 42,9206 0,25 11,78370576 12,65350408
5 4,296875 29,00766563 32,5321125 0,3125 10,01138224 11,22777053
6 4,6875 12,5393625 16,45625 0,375 4,926516057 6,465398848
7 4,921875 -4,434659375 -0,3069875 0,4375 -1,963704297 -0,135936635
8 5 -16,9144 -12,7576 0,5 -8,4572 -6,3788
9 4,921875 -24,89985938 -20,8955875 0,5625 -14,17611367 -11,89638139
10 4,6875 -28,3910375 -24,72095 0,625 -18,59064501 -16,18744668
11 4,296875 -27,38793438 -24,2336875 0,6875 -20,79520576 -18,40023826
12 3,75 -21,89055 -19,4338 0,75 -19,36078459 -17,18794711
13 3,046875 -11,89888438 -10,3212875 0,8125 -12,26845752 -10,64186131
14 2,1875 2,5870625 3,10385 0,875 3,102898214 3,722728237
15 1,171875 21,56729063 20,8416125 0,9375 29,96481608 28,95658505
16 0 16,2784 15,2912 1 26,0581544 24,47786333
EI´ (t) -0,521113014
-0,515518258
EI´ (s)
Obliczenia kontrolne (Metoda Trapezów)
- 0,521113014
´ =
EI
BÅ‚Ä…d procentowy:
0,521113014
Å"100% = 1,7%
29,9648
Obliczenia kontrolne (Metoda Simpsona)
- 0,515518258
´ =
EI
BÅ‚Ä…d procentowy:
0,515518258
Å"100% = 1,7%
28,95658505
Błędy w obydwu metodach znajdują się w granicach dopuszczalnych, wyniki mo\
na uznać za
prawidłowe.
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -24-
Wykresy sił Tnących i Normalnych:
N1 = (10x - X1)sinÕ T1 = (-10x - X1)cosÕ
N2 = (10x - X1)sinÕ - X Å" cosÕ T2 = (-10x - X1) cosÕ - X Å" sinÕ
2 2
N3 = (10 Å" 6 - X1)sinÕ - X Å" cosÕ T3 = (-10 Å" 6 - X1)cosÕ - X Å" sinÕ
2 2
N4 = (10 Å" 6 - X1)sinÕ T4 = (-10 Å" 6 - X1) cosÕ
Wartości sił tnących i normalnych zestawiono w tabeli:
cos(Õ ) sin(Õ )
x y N (t) T (t) N (s) T (s)
0 0 0,624695 0,780869 -38,8618 31,08945 -38,8136 31,0509
1 1,171875 0,674769 0,738029 -51,7103 5,605599 -50,8802 6,421998
2 2,1875 0,729537 0,683941 -46,8146 2,043954 -45,9243 2,794091
3 3,046875 0,788024 0,615644 -42,2237 -2,13082 -41,2695 -1,4637
4 3,75 0,847998 0,529999 -38,048 -6,96183 -37,0294 -6,39798
5 4,296875 0,905459 0,424434 -34,434 -12,4188 -33,3552 -11,9812
6 4,6875 0,95448 0,298275 -31,5606 -18,3462 -30,4325 -18,0583
7 4,921875 0,988012 0,154377 -26,8389 -14,5503 -25,6807 -14,4318
8 5 1 0 -28,7634 -10,2326 -27,6008 -10,2943
9 4,921875 0,988012 -0,15438 -29,9983 -5,66953 -28,8591 -5,90997
10 4,6875 0,95448 -0,29827 -30,5062 -1,18741 -29,4149 -1,59307
11 4,296875 0,905459 -0,42443 -30,3871 2,942962 -29,3606 2,393649
12 3,75 0,847998 -0,53 -29,8146 6,567344 -28,8614 5,898846
13 3,046875 0,788024 -0,61564 -28,9659 9,644478 -28,0877 8,880109
14 2,1875 0,729537 -0,68394 -27,9825 12,20741 -27,1765 11,36725
15 1,171875 0,674769 -0,73803 -26,9606 14,32357 -26,2217 13,42391
16 0 0,624695 -0,78087 -7,99032 -6,39225 -8,0385 -6,4308
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -25-
Wartości sił tnących, normalnych i momentów w punktach połączenia sciągu z łukiem:
Mn Mn sin(Õ ) N (t) T (t) N (s) T (s)
cos(Õ )
x y
(trapezy) (simson)
0,81 1 0,664961 37,0969237,04684 0,746878 -31,1087 27,69669 -31,0626 27,65566
0,81 1 0,664961 37,0969237,04684 0,746878 -52,6598 6,213941 -51,8406 7,041233
15,2 1 0,666667 24,92065 23,98556 -0,74536 -26,8025
14,69986 -26,0734
13,78993
15,2 1 0,666667 24,92065 23,98556 -0,74536 -7,62693 -6,79817 -7,67292 -6,83916
Wykresy sił przekrojowych obliczonych za pomocą metody trapezów:
Nr punktu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
M [kNm]
0 37,096 39,823 45,378 45,427 39,97 29,007 12,539 -4,434 -16,914 -24,899 -28,391
13 14 15 16 17 18 19
-27,387 -21,890 -11,898 2,5870625 21,567 24,920 16,278
Nr punktu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-31,108
N [kN] -38,86 -51,71 -46,814 -42,223 -38,048 -34,43 -31,56 -26,838 -28,763 -29,998 -30,506
-52,659
13 14 15 16 17 18 19
-26,8025
-30,387 -29,814 -28,965 -27,982 -26,960 -7,9903
-7,62693
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -26-
Nr punktu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
27,696
T [kN] 31,089 5,605 2,043 -2,130 -6,961 -12,41 -18,346 -14,550 -10,232 -5,669 -1,187
6,2139
13 14 15 16 17 18 19
14,699
2,942 6,567 9,644 12,207 14,323 -6,392
-6,798
Wykresy sił przekrojowych obliczonych za pomocą metody Simpsona:
Nr punktu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
M [kNm]
0 37,046 39,961 46,635 47,621 42,92 32,532 16,456 -0,306 -12,75 -20,895 -24,72
13 14 15 16 17 18 19
-24,233 -19,433 -10,321 3,10385 20,841 23,985 15,291
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -27-
Nr punktu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-31,062
N [kN] -38,813 -50,880 -45,924 -41,269 -37,029 -33,355 -30,432 -25,680 -27,600 -28,859 -29,414
-51,840
13 14 15 16 17 18 19
-26,073
-29,360 -28,861 -28,087 -27,176 -26,221 -8,0385
-7,6729
Nr punktu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
27,655
T [kN] 31,050 6,421 2,794 -1,463 -6,397 -11,981 -18,058 -14,431 -10,294 -5,909 -1,593
7,041
13 14 15 16 17 18 19
13,789
2,393 5,898 8,880 11,367 13,423 -6,430
-6,839
Piotr śuchniewicz gr.3KBI  Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -28-