Metoda przemieszczen projekt2


RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
METODA PRZEMIESZCZEC
Michał Malendowski
Michał Malendowski
Michał Malendowski
Michał Malendowski
Rok akademicki 2007/2008
Semestr III
Grupa B5
-3 ºC
kN
40kN
5
m
20kN
I1 I1
20kNm
I2
-3 ºC +30 ºC
tm = 0 ºC
4 3 2 2 2
[m]
I. Przyjęto przekroje:
I1 = HEA 240 => I = 7760 cm4
I2 = HEA 200 => I = 3690 cm4
StÄ…d: EI1 = EI => EI2 = 0,4755EI
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 1 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
II. Układ podstawowy metody przemieszczeń:
kN -3 ºC
40kN
5
Ć2
m
20kN
u1
80kNm
I1 I1
20kNm
I2
-3 ºC +30 ºC
tm = 0 ºC
4 3 2 2
r11 Å" u1 + r12 Å"Õ2 + R1P,",t = 0
Å„Å‚
òÅ‚r Å" u1 + r22 Å"Õ2 + R2P,",t = 0
URK:
21
ół
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 2 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
III. Równania łańcucha kinematycznego:
"
1 2
0
È01
È12
È13
3
4 3 2 2
[m]
310 0+ È13·6= " 012 0+ È01·7+ È12·4= 0
1 1
È13 = · " ¨01 = · "
6 14
Sprawdzenie:
312 0+ È13·3+ È12·4= 0 013 0+ È01·7+ È13·3= 0
1 1 1
È12 = - · " · "· 7 - · "· 3 = 0
8 14 6
L=P
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 3 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
IV. Stan u1=1
3 r21
M10 = - EI
3
M12 = EI
98
u1=1
32
r11
1 2
0
0,4755
M13 = - EI
Węzeł:
45
3
r21 3
EI
EI
98
32
0
M1
0,4755
M = - EI
31
45
0,4755
EI
45
3
4 3 2 2
[m]
M = 0 M = 0
01 21
3EI1 3EI 1 3
öÅ‚=
M10 = (Õ1 -È )= Å"ëÅ‚ - ÷Å‚ - EI
ìÅ‚
01
L10 7 14 98
íÅ‚ Å‚Å‚
3EI1 3EI îÅ‚ 1 Å‚Å‚ 3
ëÅ‚- öÅ‚
M12 = (Õ1 -È ) = Å"
12
ïÅ‚- ìÅ‚ 8 ÷łśł = 32 EI
L12 4
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2EI2 2 Å" 0,4755EI
ëÅ‚- 1 0,4755
öÅ‚
M13 = (2Õ1 + Õ3 - 3È13) = Å" 3Å" = - EI
ìÅ‚ ÷Å‚
L13 6
45 íÅ‚ Å‚Å‚ 45
2EI2 2 Å" 0,4755EI
ëÅ‚- 1 0,4755
öÅ‚
M31 = (Õ1 + 2Õ3 - 3È13) = Å" 3Å" = - EI
ìÅ‚ ÷Å‚
L13 6
45 íÅ‚ Å‚Å‚ 45
3 1 3 ëÅ‚ 0,4755 öÅ‚ 1
ëÅ‚- 1
öÅ‚
r11 Å"1,0 - EI Å" Å"1,0 + EI Å" Å"1,0 - ìÅ‚2 Å" EI ÷Å‚ Å" Å"1,0 = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
98 14 32 8 6
íÅ‚ Å‚Å‚ 45
íÅ‚ Å‚Å‚
r11 = 0,002186589EI + 0,01171875EI + 0,023627785EI
3 0,4755 3
r11 = 0,037533124EI
r21 = EI - EI - EI
32 98
45
r21 = -0,0077456EI
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 4 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
Ć2=1
V. Stan Ć2=1
r22
3
M = EI
12
4
r12
1 2
0
3
M10 = EI
7
1,902
Węzeł:
M13 = EI
45
r22 3
EI
4
0,951
0
M = EI
31
M
45 2
3
EI
1,902
EI
7
3
45
4 3 2 2
[m]
M = 0 M = 0
01 21
3EI1 3EI 3
M10 = (Õ1 -È )= Å"(1)= EI
01
L10 7 7
3EI1 3EI 3
M12 = (Õ1 -È12 ) = Å"(1) = EI
L12 4 4
2EI2 2 Å" 0,4755EI 1,902
M13 = (2Õ1 + Õ3 - 3È13) = Å"(2) = EI
L13
45 45
2EI2 2 Å" 0,4755EI 0,951
M = (Õ1 + 2Õ3 - 3È13) = Å"(1) = EI
31
L13
45 45
3 1 3 ëÅ‚1,902 0,951 öÅ‚ 1
ëÅ‚- 1
öÅ‚
r12 Å"1,0 + EI Å" Å"1,0 + EI Å" Å"1,0 + ìÅ‚ EI + EI ÷Å‚ Å" Å"1,0 = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
7 14 4 8 6
íÅ‚ Å‚Å‚ 45 45
íÅ‚ Å‚Å‚
r12 = -0,030612245EI + 0,09375EI - 0,070883355EI
3 1,902 3
r12 = -0,0077456EI
r22 = EI + EI + EI
4 7
45
r22 = 1,462104848EI
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 5 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
VI. Stan  P
kN
40kN
5
R2P
m
20kN
R1P
0
80kNm
I1 I1
1 2
20kNm
I2
3
4 3 2 2
Wyznaczenie momentów przęsłowych przywęzłowych:
ql2 5Å"72
M10 = = =30,625kNm
Pręt 0-1:
8 8
Pręt 1-2:
pręt 1-2 obcią\ony jest:
3
" pionową siłą skupioną w połowie rozpiętości M12 = - Pl = -15kNm
16
" momentem skupionym przyło\onym nad podporą przegubowo-przesuwną
M
(węzeł 2) M12 = = 40kNm
2
" pionową siłą skupioną nad podporą przegubowo-przesuwną M12 =0
M12 =-15+40=25,0kNm
Sumaryczny moment przęsłowy przywęzłowy:
Moment ten mo\na równie\ wyznaczyć korzystając z metody sił:
40kN
20kN
SSN=1
80kNm
I1
1 2
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 6 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
Układ podstawowy metody sił: Układ równań kanonicznych:
40kN
20kN
´11·X1 + ´1P = 0
80kNm
I1
1 2
X1
280
Stan X1=1 Stan  P
160
80
2
1
4
1 1 2 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
´11 = =21 Å"
ïÅ‚2Å"4Å"4Å"3Å"4śł
EI 3 EI
ðÅ‚ ûÅ‚
1 îÅ‚1 2 1 1 2 1 1 2 1 Å‚Å‚ 2 1
ëÅ‚
´1P = -
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚2Å"2Å"280Å"ìÅ‚ 3Å"4+ 3Å"2öÅ‚+ 2Å"2Å"160Å"ëÅ‚ 3Å"2+ 3Å"4öÅ‚+ 2Å"2Å"2Å"ëÅ‚ 3Å"160+ 3Å"80öłśł = -1626 3Å" EI
EI
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
80
X1 = 76,25 kN
M10 =4Å"X1 -280=25kNm
Pręt 1-2:
7,5
MP =2Å"X1 -160=-7,5kNm
(z metody sił)
1
2
M21 =0Å"X1 -80=-80kNm
25
80
20kN
30,625 40kN
R2P
5Å"7=35kN
R1P 7,5
0
80kNm
I1 I1
1 2
25 20kNm
I2
0
MP
3
4 3 2 2
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 7 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
Stan przemieszczeń:
Punkty przed i po przemieszczeniu
"
1 2
0
È01
È12
È13
´q
´P
3
4 3 2 2
[m]
´q  pionowa skÅ‚adowa przemieszczenia w punkcie przyÅ‚o\enia siÅ‚y
wypadkowej od obcią\enia równomiernie rozło\onego q=5kN/m
´P  pionowa skÅ‚adowa przemieszczenia w punkcie przyÅ‚o\enia siÅ‚y
P=20kN, w kierunku zgodnym z kierunkiem działania tej siły
1 1
´q = 3,5Å" tgÕ01 = 3,5Å"Õ01 = 3,5Å" Å"" = "
14 4
1 1
´P = 2Å" tgÕ12 = 2Å"Õ12 = 2Å" Å"" = "
8 4
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 8 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
RPW:
R1P Å"1,0 + 5 Å" 7 Å"´q + 20 Å"´ + (80 + 25) Å"È12 + 30,625 Å"È = 0
P 01
1 1 1 1
ëÅ‚
R1P Å"1,0 + 5 Å" 7 Å" Å"1,0 + 20 Å" Å"1,0 + (80 + 25) Å" - Å"1,0öÅ‚ + 30,625 Å" Å"1,0 = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
4 4 8 14
íÅ‚ Å‚Å‚
R1P = -8,75 - 5 +13,125 - 2,1875
R1P = -2,8125kN
Węzeł:
R2P
R1P = 25 + 20 + 30,625
25kNm
R1P = 75,625kN
20kNm
30,625kNm
VII. Rozwiązanie układu równań kanonicznych metody przemieszczeń:
0.037533124 - 0.0077456 u1 - 2,8125 0
îÅ‚ Å‚Å‚ Å„Å‚ üÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚
ïÅ‚ śłEI Å" òÅ‚Õ żł + òÅ‚ 75,625 żł = òÅ‚0żł
- 0.0077456 1.4621048
ðÅ‚ ûÅ‚ ół 2 þÅ‚ ół þÅ‚ ół þÅ‚
u1 = 0,0040439m
Õ2 = -0,0032300rad
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 9 -
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
80
WYKRES MOMENTÓW W RAMIE STATYCZNIE
NIEWYZNACZALNEJ:
7,5059885
23,752994
6,6346021
0 1 2
19,128615
n
MP
11,844276
3
4 3 2 2 2
[m]
n 0 0 0
M = M1 Å" u1 + M Å"Õ2 + M
Z zasady superpozycji:
P 2 P
Pręt 0-1:
M10 =-1,9692899-22,021108+30,625=6,6346021kNm
Pręt 1-2:
M12 =6,0309504-38.536939 +25=-7.5059885kNm
M =3,0154752-19,268469 -7,5=-23,752994kNm
P
Pręt 1-3:
M13 =-4,559936-14,568679=-19,128615kNm
M31 =-4,559936-7,2843395=-11,844276kNm
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 10 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
Sprawdzenie równowagi węzła:
Węzeł:
6,6346kNm
20kNm
19,1286kNm
7.5060 kNm
= -6,6346 +19,1286 - 20 + 7,5060 = 0
"M1
VIII. Sprawdzenia kinematyczne:
7
1,0 1,0 7
4
M1 M2
7
4
4 3 2 2 2 4 3 2 2 2
1 îÅ‚1 2 1 1 2 1
ëÅ‚ ëÅ‚
V1 Å"1,0 = Å" Å" 2 Å" 2 Å" Å" 23,7530 + Å"80öÅ‚ + Å" 2 Å" 2 Å" Å" 23,7530 + Å" 7,5060öÅ‚ +
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚2 ìÅ‚ 3
EI 3 2 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚
1 2 1 Å‚Å‚ 1 îÅ‚1 2 1
ëÅ‚ ëÅ‚
Å" 2 Å" 4 Å" Å" 7,5060 + Å" 23,7530öłśł + Å" Å" 45 Å"11,8443Å" Å" 7 + Å" 4öÅ‚ -
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚2
2 3 3 0,4755EI 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ûÅ‚ ðÅ‚
1 2 1 Å‚Å‚ 237,69541 113,02416 0,000022
ëÅ‚
- Å" 45 Å"19,1286 Å" Å" 4 + Å" 7öłśł = - =
ìÅ‚ ÷Å‚
2 3 3 EI 0,4755EI EI
íÅ‚ Å‚Å‚
ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 2 2 5 Å" 72 1 1 îÅ‚1 2 1
ëÅ‚
V2 Å"1,0 = Å" Å" 7 Å" 6,6346Å" Å" 7 + Å" Å" 7 Å" Å" 7śł + Å" Å" 45 Å"11,8443Å" Å" 4 + Å" 7öÅ‚ -
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚2
ïÅ‚2
EI 3 3 8 2 0,4755EI 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
1 2 1 Å‚Å‚ - 327,51302 155,73243 0,00002
ëÅ‚
- Å" 45 Å"19,1286 Å" Å" 7 + Å" 4öłśł = + = -
ìÅ‚ ÷Å‚
2 3 3 EI 0,4755EI EI
íÅ‚ Å‚Å‚
ûÅ‚
Sprawdzenie kinematyczne przebiegło pomyślnie!
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 11 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
IX. Obliczenie sił tnących i normalnych:
Przęsło 0  1:
T01
5 kN/m
N01
N10
6,6346 kNm
T10
= 5 Å" 7 Å" 3,5 + T10 Å" 7 + 6,6346 = 0 = -5 Å" 7 Å" 3,5 + T01 Å" 7 + 6,6346 = 0
"M 0 "M1
-122,5 - 6,6346 122,5 - 6,6346
T10 = T01 =
7 7
T10 = -18,4478kN T01 = -16,5522kN
Przęsło 1  2:
T12
20 kN
N12
N21
7,5060 kNm 80 kNm
T21
= T21 Å" 4 + 20 Å" 2 + 80 - 7,506 = 0 = T12 Å" 4 - 7,506 - 20 Å" 2 + 80 = 0
"M1 "M 2
- 40 - 80 + 7,506 7,506 + 40 - 80
T21 = T12 =
4 4
T21 = -28,1235kN T12 = -8,1235kN
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 12 -
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
Przęsło 3  1:
T31
19,1286 kNm
N31
N13
11,8443 kNm
T13
= T13 Å" 45 -11,8443 -19,1286 = 0
"M 3
30,9729
T13 =
45
T31 = T13 = 4,6172kN
T13 = 4,6172kN
Obliczenie sił normalnych (równowaga węzła):
6
sin Ä… =
8,1235 kN
45
N0-1 N1-2
3
cosÄ… =
45
18,4478 kN
Ä…
4,6172 kN
N1-3
"Y = 18,4478 - 8,1235 - 4,6172 Å" cosÄ… + N1-3 Å"sinÄ… = 0
6 3 - 8,2594 Å" 45
Å" N1-3 = -18,4478 + 8,1235 + 4,6172 Å" N1-3 =
6
45 45
N1-3 = -9,2343kN
Z równowagi węzła  0 oraz  2 wynika, \e: N0-1=0 oraz N1-2= 0.
Dla sprawdzenia zapiszemy sumę rzutów sił na oś x dla węzła  1 :
"X = -N0-1 + N1-2 -4,6172Å"sinÄ… -N1-3 Å"cosÄ… =0 0 =0,
co potwierdza poprawność obliczeń.
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 13 -
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
40
WYKRES TNCYCH W RAMIE STATYCZNIE
NIEWYZNACZALNEJ:
16,5522
-8,1235
3,31
-18,4478
-28,1235
n
TP
4,6172
[kN]
4 3 2 2 2
[m]
WYKRES NORMALNYCH W RAMIE STATYCZNIE
NIEWYZNACZALNEJ:
-9,2343
n
NP
[kN]
4 3 2 2 2
[m]
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 14 -
6
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
WYKRES MOMENTÓW W RAMIE STATYCZNIE
NIEWYZNACZALNEJ:
80
(POPRAWIONY NA PODSTAWIE WYKRESU TNCYCH)
7,5059885
23,752994
6,6346021
0 1 2
19,128615
Mmax=27,3975
3,31
n
MP
[kNm]
11,844276
3
4 3 2 2 2
[m]
X. Sprawdzenie naprę\eń w przekrojach:
I1 = HEA 240 => I = 7760 cm4
w = 675cm3 = 0,000675m3 M = 80kNm
max
M 80 kN
max
à = = = 118519 = 118,519MPa
w 0,000675 m2
I2 = HEA 200 => I = 3690 cm4
w = 389cm3 = 0,000389m3 M = 19,1286kNm
max
M 19,1286 kN
max
à = = = 49174 = 49,174MPa
w 0,000389 m2
W obu grupach przekrojów naprę\enia są zdecydowanie mniejsze od
dopuszczalnych (215 MPa). Oznacza to, \e przyjęte przekroje są zbyt du\e.
Nale\y zmniejszyć przekroje prętów i wykonać obliczenia ponownie.
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 15 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
XI. Sprawdzenie statyczne.
Wyznaczenie reakcji w podporze w punkcie 2. Reakcje wyznacza siÄ™ na podstawie
ró\nicy sił tnących nieskończenie blisko tego punktu z prawej i lewej strony:
T21 = 28,135 kN T24 = 40 kN
2
R
R=28,1235+40=68,1235 kN
kN
5
m
20kN
40 kN
A
2
16,5522 kN 20kNm
68,1235kN
6
sin Ä… =
45
3
cosÄ… =
45
4,6172 kN 11,8443 kNm
9,2343 kN
4 3 2 2
[m]
"Y = 4,6172Å" cosÄ… + 9,2343Å"sinÄ… +16,5522 - 40 - 5Å" 7 - 20 + 68,1235 =
= 2,0649 + 8,2594 -10,3243 = 0
X = 4,6172Å"sinÄ… - 9,2343Å" cosÄ… = 4,1297 - 4,1297 = 0
"
= 16,5522 Å" 7 - 5 Å" 7 Å" 3,5 - 20 + 20 Å" 2 - 68,1235 Å" 4 + 40 Å" 6 -11,8443 + 4,6172 Å" 45 =
"M A
= 115,8654 -122,5 - 20 + 40 - 272,494 + 240 -11,8443 + 30,9731 = 0,0002
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 16 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
Obliczenia zwiÄ…zane z obciÄ…\eniem temperaturÄ…:
Pręt 0-1: Pręt 1-2 Pręt 3-1
"t = tg - td "t0-1 = - 3 - (- 3) = 0 "t1-2 = - 3 - 30 = 33oC "t3-1 = - 3 - 30 = 33oC
- 3 + (- 3) 30 +(- 3) 30 + (- 3)
t0 = tśr - tm t0 0-1 = - 0 = -3oC t01-2 = - 0 = 13,5oC t0 3-1 = - 0 = 13,5oC
2 2 2
XII. Stan  "t
r2"t
tm = 0 ºC
-3 ºC
r1"t
1 2
0
M = -258,264 Å"10-5 Å" EI
12
Węzeł:
M13 = 99,108 Å"10-5 Å" EI
-3 ºC
r2"t
+30 ºC
0
M"t
M = 99,108 Å"10-5 Å" EI
31
258,264 Å"10-5 Å" EI
3
99,108 Å"10-5 Å" EI
4 3 2 2
[m]
M = 0 M = 0
01 21
0-1
3Å"Ä…t Å" "t Å" EI1 3Å"Ä…t Å" 0 Å" EI
M10 = = = 0
2 Å" h1 2 Å" 0,23
3Å"Ä…t Å" "t1-2 Å" EI1 3Å"Ä…t Å" 33Å" EI
M12 = = = 258,264 Å"10-5 Å" EI
2 Å" h1 2 Å" 0,23
Ä…t Å" "t3-1 Å" EI2 Ä…t Å" 33Å" 0,4755EI
M13 = = = 99,108Å"10-5 Å" EI
h2 0,19
Ä…t Å" "t3-1 Å" EI2 Ä…t Å"33Å" 0,4755EI
M = M13 = = = 99,108Å"10-5 Å" EI
31
h2 0,19
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 17 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
ëÅ‚- 1 1
öÅ‚
r1"t Å"1,0 - 258,264 Å"10-5 Å" EI Å" Å"1,0 + (99,108 - 99,108)Å"10-5 Å" EI Å" Å"1,0 = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
8 6
íÅ‚ Å‚Å‚
r1"t = -32,283Å"10-5 EI
r2"t = (99,108 - 258,264)Å"10-5 Å" EI
r2"t = -159,156 Å"10-5 EI
XIII. Stan  t0
r2to
tm = 0 ºC
-3 ºC
r 1to
1 2
0
M10 = 8,21Å"10-5 Å" EI
M = -25,14 Å"10-5 Å" EI
12
Węzeł:
M13 = 5,23 Å"10-5 Å" EI
-3 ºC
r2to
8,21Å"10-5 Å" EI
+30 ºC
Mt0
M = 5,23 Å"10-5 Å" EI
31
0
25,14 Å"10-5 Å" EI
3
5,23 Å"10-5 Å" EI
4 3 2 2
[m]
Wyznaczenie kątów obrotów przęseł za pomocą równań łańcucha
kinematycznego:
(t0 ) 0-1 t0
013 0 + 0 Å"È + Ä…t Å" t0 0-1 Å" l -È Å" l1-3 - Ä…t Å" t01-3 Å" l1-3 = 0
01 31 y x
0-1
Ä…t Å" t0 0-1 Å" l - Ä…t Å" t01-3 Å" l1-3
(t0 )
x
È =
31
l1-3
y
1,2 Å"10-5 Å"(- 3)Å" 7 -1,2 Å"10-5 Å"13,5 Å" 3
(t0 )
È = = -12,3Å"10-5
31
6
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 18 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
(t0 ) 0-1 t0
013 0 +È Å" l + 0 -È Å" l1-3 + Ä…t Å" t01-3 Å" l1-3 = 0
01 31 x y
t0 1
È13 Å" l1-3 -Ä…t Å"t0-3 Å"l1-3
x y
(t0 )
È =
01
l0-1
-12,3Å"10-5 Å" 3 -1,2 Å"10-5 Å"13,5 Å" 6
(t0 )
È = = -19,16 Å"10-5
01
7
(t0 ) 0-1 t0
012 0 +È Å" l + 0 +È12 Å" l1-2 + 0 = 0
01
t0 0-1
-È Å" l
(t0
01
È12 ) =
l1-2
-(-19,16 Å"10-5)Å" 7
(t0
È12 ) = = 33,525 Å"10-5
4
M = 0 M = 0
01 21
3EI1 3EI
M10 = (Õ1 -È10 ) = Å"[-(-19,16 Å"10-5)]= 8,21Å"10-5 EI
L10 7
3EI1 3EI
M12 = (Õ1 -È12 ) = Å"(- 33,525Å"10-5)= -25,14 Å"10-5 EI
L12 4
2EI2 2 Å" 0,4755EI
M13 = (2Õ1 + Õ3 - 3È13) = Å"[- 3Å"(-12,3Å"10-5)]= 5,23Å"10-5 EI
L13
45
2EI2 2 Å" 0,4755EI
M = (2Õ3 + Õ1 - 3È13) = Å"[- 3Å"(-12,3Å"10-5)]= 5,23Å"10-5 EI
31
L13
45
1 1
ëÅ‚- 1
öÅ‚
r1t Å"1,0 + 8,21Å"10-5 EI Å" Å"1,0 - 25,14 Å"10-5 EI Å" Å"1,0 + 2 Å"5,23Å"10-5 EI Å" Å"1,0 = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0
14 8 6
íÅ‚ Å‚Å‚
r1t = -0,586 Å"10-5 EI - 3,143Å"10-5 EI -1,743Å"10-5 EI
0
r1t = -5,473Å"10-5 EI
r2t = (8,21+ 5,23 - 25,14)Å"10-5 EI
0
0
r2t = -11,703Å"10-5 EI
0
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 19 -
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
ObciÄ…\enie temperaturÄ…  podsumowanie:
R1t = r1"t + r1t = (- 32,283 - 5,47)Å"10-5 EI = -37,753Å"10-5 EI
0
R2t = r2"t + r2t = (-159,156 -11,70)Å"10-5 EI = -170,856Å"10-5 EI
0
XIV. Rozwiązanie układu równań kanonicznych metody przemieszczeń
(od obciÄ…\enia temperaturÄ…):
t
0,037533124 - 0,0077456 Å„Å‚ üÅ‚ Å„Å‚ - 37,753Å"10-5
üÅ‚ 0
îÅ‚ Å‚Å‚ u1 Å„Å‚ üÅ‚
żłEI = òÅ‚ żł
ïÅ‚ śłEI Å" òÅ‚ żł + òÅ‚
t
- 0,0077456 1,4621048
ðÅ‚ ûÅ‚ ół0þÅ‚
ółÕ2þÅ‚ ół-170,856 Å"10-5þÅ‚
u1t = 0,0103110m
Õ2t = 0,0012232rad
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 20 -
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
WYKRES MOMENTÓW WYWOAANYCH OBCIśENIEM
TEMPERATUR W RAMIE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNEJ:
15,113
4,624
10,488
1
0 2
Mtn
[kNm]
23,802
3
4 3 2 2 2
[m]
n 0 0 0
M = M1 Å"u1 + M Å"Õ2 + M + Mt0
Z superpozycji: P 2 "t
0
Pręt 0-1:
M1 = -5,02125+ 8,3393271+1,3060468= 4,624124kNm
Pręt 1-2:
M1 =15,377578+14,593822- 45,083908= -15,112508kNm
Pręt 1-3:
M1 = -11,626819+ 5,5171148+16,598089=10,488384kNm
M3 = -11,626819+ 2,7585574-14,934112 = -23,802374kNm
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 21 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
XV.Sprawdzenie równowagi węzła:
Węzeł:
4,624kNm 15,113kNm
10,488kNm
"M = -4,624 -10,488 +15,113 = 0,001
1
XVI. Sprawdzenie kinematyczne:
1,0
1,0
0
M
1,0
4 3 2 2
[m]
0 n
Ä…t Å" "t M Å" M
0 0 t
Õ = N Å"Ä…t Å" t0 Å" ds + ds
" " "
+"M Å" h ds + +" +"
EI
s s s
1
(23,802 +10,488)Å" 45 Å" Å"1,0
1,2 Å"10-5 Å" 33
2
Õ = - Å"1,0 Å" 45 + 0 + = 0,0012237rad
0,19 0,4755Å"15908
t
Õ = 0,0012237 H" Õ2 = 0,0012232
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 22 -
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
XVII. Obliczenie sił tnących i normalnych.
Przęsło 0  1:
T01
N01
N10
4,624 kNm
T10
= T10 Å" 7 + 4,624 = 0 = T01 Å" 7 + 4,624 = 0
"M 0 "M1
- 4,624 - 4,624
T10 = T01 =
7 7
T10 = -0,6606kN T01 = -0,6606kN
Przęsło 1  2:
T12
N12
N21
15,113 kNm
T21
= T21 Å" 4 -15,113 = 0 = T12 Å" 4 -15,113 = 0
"M1 "M 2
15,113 15,113
T21 = T12 =
4 4
T21 = 3,7781kN T12 = 3,7781kN
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 23 -
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
Przęsło 3  1:
T31
N31
N13
23,802 kNm 10,488 kNm
T13
= T13 Å" 45 - 23,802 +10,488 = 0 = T31 Å" 45 - 23,802 +10,488 = 0
"M 3 "M1
13,3140 13,3140
T13 = T31 =
45 45
T13 =1,9847kN T31 =1,9847kN
Obliczenie sił normalnych (równowaga węzła  1 ):
6
sin Ä… =
45
N0-1 N1-2
3
cosÄ… =
45
0,6606 kN
3,7781 kN
Ä…
1,9847 kN
N1-3
"Y = 0,6606 + 3,7781-1,9847 Å" cosÄ… + N1-3 Å"sinÄ… = 0
6 3 - 3,5511Å" 45
Å" N1-3 = -0,6606 - 3,7781+1,9847 Å" N1-3 =
6
45 45
N1-3 = -3,9703kN
Z równowagi węzła  0 oraz  2 wynika, \e: N0-1=0 oraz N1-2= 0.
Dla sprawdzenia zapiszemy sumę rzutów sił na oś x dla węzła  1 :
"X = -N0-1 + N1-2 -1,9847Å"sinÄ… -N1-3 Å"cosÄ… =0 0 =0 ,
co potwierdza poprawność obliczeń.
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 24 -
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
WYKRES TNCYCH W RAMIE STATYCZNIE
NIEWYZNACZALNEJ OBCIśONEJ TEMPERATUR:
3,7781
-0,6606
1,9847
Ttn
[kN]
4 3 2 2 2
[m]
WYKRES NORMALNYCH W RAMIE STATYCZNIE
NIEWYZNACZALNEJ OBCIśONEJ TEMPERATUR:
-3,9703
Ntn
[kN]
4 3 2 2 2
[m]
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 25 -
6
6
RAMA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNA  METODA PRZEMIESZCZEC
XVIII. Sprawdzenie statyczne:
A
3,7781 kN
0,6606 kN
6
sin Ä… =
45
3
cosÄ… =
45
1,9847 kN 23,802 kNm
3,9703 kN
4 3 2 2
[m]
"Y = 0,6606 + 3,7781-1,9847Å"cosÄ… - 3,9703Å"sinÄ… = 4,4387 - 0,8876- 3,5511= 0
"X =1,9847Å"sinÄ… - 3,9703Å"cosÄ… =1,7752-1,7756 H" 0
"M = -0,6606Å"7 + 3,7781Å"4 +1,9847Å" 45 - 23,802 =
A
= -4,6242 +15,1124 + 13,3138 - 23,802 = 0
MICHAA MALENDOWSKI BUDOWNICTWO 2007/2008  SEM.3 , GR. B5 - 26 -
6


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Metoda przemieszczen projekt
Metoda przemieszczen projekt5
Metoda przemieszczen projekt4
Obliczenia ramy Metodą przemieszczeń temperatura projekt39
Projekt Rama Metoda przemieszczeń Metor
OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ OD OSIADANIA PODPÓR projekt42
OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃOD TEMPERATURY projekt43
METODA PRZEMIESZCZEŃ BELKA
Metoda przemieszczeń dla ram płaskich złożonych z prętów pryzmatycznych

więcej podobnych podstron