Politechnika Poznańska
Wydział Architektury Budownictwa
i Inżynierii Środowiska
ĆWICZENIE NR 4
OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC

(wpływ obciążenia zewnętrznego)
Sierocki Damian
rok studiów: III
semestr: VI
gr. 8
Poznań 2005
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
METODA PRZEMIESZCZEC
 OBCI
ŻENIE ZEWN
TRZNE
SCHEMAT KONSTRUKCJI
10 kN
16 kN/m
20 kN
3 kNm
5 kN
I2 I2
I1 I1
[m]
2 6 3
Sprowadzenie układu wyjściowego do równoważnego układu zastępczego:
16 kN/m
15 kNm
20 kN
3 kNm
10 kN
5 kN
I2 I2
I1 I1
[m]
2 6 3
STOPIEC
GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNOÅšCI UKA
ADU:
SGN = +
"" "Õ
"" = 1
"Õ = 2
SGN = 1+ 2 = 3
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
2
1,5
6
6
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
UKA
AD PODSTAWOWY
Ć2
Ć3
3
1 2
"3
I2 I2
I1 I1
4
0
[m]
2 6 3
UKA
AD RÓWNAC
KANONICZNYCH
r11 Å" z1 + r12 Å" z2 + r13 Å" z3 + r1P = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚r Å" z1 + r22 Å" z2 + r23 Å" z3 + r2P = 0
21
ôÅ‚r Å" z1 + r32 Å" z2 + r33 Å" z3 + r3P = 0
ół 31
Niewiadome: Õ2,Õ3,"3
Õ2 = z1
Õ3 = z2
"3 = z3
WSPÓA
CZYNNIK PORÓWNAWCZY SZTYWNOŚCI
I1 - I220 (Wx = 278.18 cm3,Ix = 3060 cm4)
I2 - I260 (Wx = 441.54 cm3,Ix = 5740 cm4)
EI1 = 205 Å"106 Å" 3060 Å"10-8 = 6273 kN/m
EI2 = 205 Å"106 Å" 5740 Å"10-8 = 11767 kN/m
Przyjęto współczynnik porównawczy sztywności EI0 = EI2 EI1 = 0.5331 EI0
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
3
6
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
"
A
AC
CUCH KINEMATYCZNY:
23
3
1 2
I2 I2
34
02
I1 I1
4
0
[m]
2 6 3
"
023 6 Å" ¨02 = " Ò! ¨02 =
6
"
0234 6 Å" ¨02 - 6 Å" ¨34 = 0 Ò! ¨02 = ¨34 Ò! ¨34 =
6
"
“! 0234 6 Å" ¨23 - 3 Å" ¨34 = 0 Ò! ¨34 = -2¨23 Ò! ¨23 = -
12
“! 021 2Å" ¨12 = 0 Ò! ¨12 = 0
Stan z1 = 1 (Õ2 = 1)
Ć2
3
1 2
I2 I2
I1 I1
4
0
[m]
2 6 3
M12 = 0
3EI0 3EI0
M21 = (Õ2 - ¨12 ) = (1- 0) = 1.5000 EI0
l 2
2EI0 2EI0
M23 = (2Õ2 + Õ3 - 3¨23 ) = (2Å"1+ 0 - 3 Å"0)= 0.6667 EI0
l 6
2EI0 2EI0
M32 = (Õ2 + 2Õ3 - 3¨23 )= (1+ 2Å"0 - 3 Å"0)= 0.3333 EI0
l 6
3EI0 3 Å" 0.5331Å"EI0
M34 = (Õ3 - ¨34 ) = (0 - 0) = 0,0 EI0
l 6.7082
M43 = 0
M02 = 0
3EI0 3 Å" 0.5331Å" EI0
M20 = (Õ2 - ¨02 ) = (1- 0) = 0.2666 EI0
l 6
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
4
6
6
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
0.6667 EI0
3
1 2
0.3333 EI0
1.5000 EI0
0.2666 EI0
(1)
M
4
0
r11
r21
1,5000 EI0 0.6667 EI0
0,3333 EI0
2
3
0.2666 EI0
r21 = 0.3333 EI0
r11 = 1.5000 + 0.2666 + 0.6667
r11 = 2.4332 EI0
1,0
1
0.6667 EI0
23=12
3
1 2
r31
0.3333 EI0
1.5000 EI0
0.2666 EI0
1
34=6
1
02=6
(1)
M
4
0
R.P.W.
1,0 1,0
1,0 Å"r31 + 0.2666EI0 Å" - (0.6667 + 0.3333)EI0 Å" = 0 r31 = 0.0389 EI0
6 12
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
5
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Stan z2 = 1 (Õ3 = 1)
Ć3
3
1 2
I2 I2
I1 I1
4
0
[m]
2 6 3
M12 = 0
3EI0 3EI0
M21 = (Õ2 - ¨12) = (0 - 0) = 0 0
l 2
2EI0 2EI0
M23 = (2Õ2 + Õ3 - 3¨23 ) = (2Å"0 +1- 3 Å"0)= 0.3333 EI0
l 6
2EI0 2EI0
M32 = (Õ2 + 2Õ3 - 3¨23 ) = (0 + 2Å"1- 3 Å"0)= 0.6667 EI0
l 6
3EI0 3 Å" 0.5331Å" EI0
M34 = (Õ3 - ¨34 ) = (1- 0) = 0.2384 EI0
l 6.7082
M43 = 0
M02 = 0
3EI0 3 Å" 0.5331Å" EI0
M20 = (Õ2 - ¨02 ) = (0 - 0) = 0,0
l 6
r12
0.3333 EI0
2
0.3333 EI0
3
1 2
r12 = 0,3333 EI0
0.6667 EI0
0.2384 EI0
r22
(2)
M
0,6667 EI0
3
0,2384 EI0
4
0
r22 = 0.6667 + 0.2384
r22 = 0.9051 EI0
R.P.W
1,0 1,0
1,0 Å"r32 - (0.6667 + 0.3333)EI0 Å" + 0.2384EI0 Å" = 0 r32 = 0.0436 EI0
12 6
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
6
6
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Stan z3 = 1 ("3 = 1)
1
0.3333 EI0
=12
23
3
1 2
r32
0.6667 EI0
0.2384 EI0
1
=6
34
1
=6 (2)
02
M
4
0
3
1 2 "3
I2 I2
I1
I1
4
0
[m]
2 6 3
M12 = 0
3EI0 3EI0
M21 = (Õ2 - ¨12)= (0 - 0) = 0
l 2
2EI0 2EI0 1 öÅ‚
ëÅ‚
M23 = (2Õ2 + Õ3 - 3¨23 ) = 2 Å"0 + 0 - 3 Å" = 0.0833 EI0
ìÅ‚ ÷Å‚
l 6 12
íÅ‚ Å‚Å‚
2EI0 2EI0 1 öÅ‚
ëÅ‚
M32 = (Õ2 + 2Õ3 - 3¨23 )= 0 + 2Å" 0 - 3 Å" = 0.0833 EI0
ìÅ‚ ÷Å‚
l 6 12
íÅ‚ Å‚Å‚
3EI0 3 Å" 0.5331Å" EI0
1
ëÅ‚ öÅ‚
M34 = (Õ3 - ¨34 ) = ìÅ‚ - ÷Å‚ -0.0397 EI0
0 =
l 6.7082 6
íÅ‚ Å‚Å‚
M43 = 0
M02 = 0
3EI0 3 Å" 0.5331Å"EI0
1
ëÅ‚ öÅ‚
M20 = (Õ2 - ¨02 ) = ìÅ‚ - ÷Å‚ -0.0444 EI0
0 =
l 6 6
íÅ‚ Å‚Å‚
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
7
6
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
0.0833 EI0
3
1 2
0.0833 EI0
0.0444 EI0
0.0397 EI0
(3)
M
4
0
r13
r23
0,0833 EI0
2
3
0.0833 EI0
0,0397 EI0
0.0444 EI0
r13 = -0.0444 + 0.0833 r23 = 0.0833 - 0.0397
r13 = 0.0389 EI0 r23 = 0.0436 EI0
1,0
1
0.0833 EI0
=
23 12
1 2
3 r33
0.0833 EI0
0.0444 EI0
1
=
0.0397 EI0 34
6
1
=
02
6
(3)
M
4
0
R.P.W.
1,0 1,0 1,0
1,0 Å"r33 - 0.0444EI0 Å" - (0.0833 + 0.0833)EI0 Å" - 0.0397EI0 Å" = 0 r33 = 0.0279 EI0
6 12 6
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
8
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Stan  P
16 kN/m
15 kNm
20 kN
3 kNm
10 kN
5 kN 1
"3
3
I2 I2
2
I1 I1
4
0
[m]
2 6 3
M12 = 0
3 3
M21 = Pl = Å" 20 Å" 2 = 7.50 kNm
16 16
ql2 16 Å" 62
M23 = - = = -48.00 kNm
12 12
ql2 16 Å" 62
M32 = = = 48.00 kNm
12 12
M34 = 0
M43 = 0
M02 = 0
M20 = 0
r1P
15,00 kNm
2
3
1 2
48,00 kNm
7,50 kNm
r1P = 7,50 -15,00 - 48,00
48,00 kNm 48,00 kNm
7,50 kNm
r1P = -55.50 kNm
r2P
(P)
M
3,00 kNm
3
48,00 kNm
r2P = 48.00 - 3,00
r2P = 45.00 kNm
4
0
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
9
6
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
16 kN/m
1,0
15 kNm
1
20 kN
23 3 kNm
=
12
10 kN
5 kN
1
1
r3P
3
2
48,00 kNm 48,00 kNm
7,50 kNm
1
=
34
6
1
=6
02
4
0
1,0 1,0
“! 023 3 Å" ¨ = " Ò! " = 3 Å" Ò! " =
23 A A A
12 4
R.P.W.
1,0
1,0 Å" r3P + (48,0 - 48,0)Å" - 6 Å"16 Å" " - 5,0 Å"1,0 + 10 Å"1,0 = 0 r3P = 19.00 kN
A
12
ROZWI
ZANIE UKA
ADU RÓWNAC
KANONICZNYCH
Å„Å‚ r11 Å" z1 + r12 Å" z2 + r13 Å" z3 + r1P = 0
ôÅ‚
r21 Å" z1 + r22 Å" z2 + r23 Å" z3 + r2P = 0
òÅ‚
ôÅ‚
r31 Å" z1 + r32 Å" z2 + r33 Å" z3 + r3P = 0
ół
Å„Å‚ 2.4332EI0 Å" z1 + 0.3333EI0 Å" z2 + 0.0389EI0 Å" z3 = 55.50
ôÅ‚
0.3333EI0 Å" z1 + 0.9051EI0 Å" z2 + 0.0436EI0 Å" z3 = -45.00
òÅ‚
ôÅ‚
0.0389EI0 Å" z1 + 0.0436EI0 Å" z2 + 0.0279EI0 Å" z3 = -19.00
ół
37.9757 37.9757
z1 = Ò! Õ2 =
EI0 EI0
-30.6778 -30.6778
z2 = Ò! Õ3 =
EI0 EI0
-685.6412 -685.6412
z3 = Ò! "3 =
EI0 EI0
WYZNACZENIE WARTOŚCI MOMENTÓW ZGINAJ
CYCH  METODA SUPERPOZYCJI:
(n)
MP = M1 Å" Z1 + M2 Å" Z2 + M3 Å" Z3 + MP
M12 = 0
37.9757 -30.6778 -685.6412
M21 = 1.50EI0 Å" + 0 Å" + 0 Å" + 7.50 = 64.4635 kNm
EI0 EI0 EI0
37.9757 -30.6778 -685.6412
M23 = 0.6667EI0 Å" + 0.3333EI0 Å" + 0.0833EI0 Å" - 48.00 = -90.0456 kNm
EI0 EI0 EI0
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
10
"
A
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
37.9757 -30.6778 -685.6412
M32 = 0.3333EI0 Å" + 0.6667EI0 Å" + 0.0833EI0 Å" + 48.00 = -16.9301 kNm
EI0 EI0 EI0
37.9757 -30.6778 -685.6412
M34 = 0 Å" + 0.2384EI0 Å" - 0.0397EI0 Å" + 0 = 19.9301 kNm
EI0 EI0 EI0
M43 = 0
M02 = 0
37.9757 -30.6778 -685.6412
M20 = 0.2666EI0 Å" + 0 Å" - 0.0444EI0 Å" + 0 = 140.5821 kNm
EI0 EI0 EI0
WYZNACZENIE WARTOÅšCI SIA
TN
CYCH:
20 kN 16 kN/m
M23=90.0456 kNm
T12 T21
M32=16.9301 kNm
M21=64.4635 kNm
T23 T32
2
6
"M = 0
2
"M = 0
1
16 Å" 6 Å"3 + T32 Å" 6 - 90.0456 -16.9301 = 0
20 Å"1+ T21 Å" 2 + 64.4635 = 0
T32 = -30.1707 kN
T21 = -42.2317 kN
"M = 0
3
"M = 0
2
T23 Å" 6 - 16 Å" 6 Å" 3 - 90.0456 - 16.9301 = 0
T12 Å" 2 - 20 Å"1+ 64.4635 = 0
T23 = 65.8293 kN
T12 = -22.2317 kN
M20=40.5821 kNm M34=19.930 kNm
T34
T20
T02
T43
"M = 0 "M = 0
0 3
T20 Å" 6 + 40.5821 = 0 T43 Å" 6.7082 + 19.9301 = 0
T20 = -6.764 kN T43 = -2.9710 kN
T02 = T20 = -6.764 kN T34 = T43 = -2.9710 kN
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
11
6
6
,
7
1
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
WYZNACZENIE WARTOÅšCI SIA
NORMALNYCH:
sin Ä… = 0.8944 ; cos Ä… = 0.4472
T21=42.2317 T23=65.8293
T32=30.1717
N32
10
N21 N23
3
2
T34 = 2.9710
T20=6.7637
N34
N20
Y = 0
"
Y = 0
"
-N34 Å" sin Ä… - 30.1707 + 2.9710 Å" cosÄ… = 0
-N20 - 42.2317 - 65.8293 = 0
N = - 32.2464 kN
34
N20 = -108.0610 kN
X = 0
"
X = 0
"
-N32 + 2.9710 Å" sinÄ… + N34 Å" cos Ä… = 0
-N21 + 6.7637 + N23 = 0
N32 = -11.7637 kN
N21 = 5.00 kN
N02=108.0610
T12=22.2317
T02=6.7637
N12=5,00
5 kN
0
H0
R1
R0
R1 = -22.2317 kN
R0 = 108.0610 kN
H0 = 6.7637 kN
N43=32.2464
Y = 0
"
T34 = 2.9710
R4 - 2.9710 Å" cos Ä… - 32.2464 Å" sinÄ… = 0
R4 = 30.1707 kN
4
X = 0
H4 "
-H4 - 2.9710 Å" sinÄ… + 32.2464 Å" cos Ä… = 0
H4 = 11.7637 kN
R4
WYZNACZENIE Mmax
16 kN/m
T23=65.8293 kN
MMAX
x
M23=90.0456 kNm
Y = 0
"
65.8293 - 16 Å" x = 0 Ò! x = 45.3761m
x2
Mmax = -90.0456 + 65.8293 Å" x - 16 Å"
2
Mmax = 45.3761 kNm
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
12
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
90.0456
64.4634
22.2317
15,00
19.9301
40.5821
16.9301
45.3761
R1=22.2317
Mn [kNm]
P
H4=11.7637
H0=6.7637
R4=30.1707
R0=108.0610
10,00
65.8293
+
+
2.9710
10,00
6.7637
- -
22.2317
30.1707
42.2317 42.2317
R1=22.2317
-
-
n
n
[kN]
T
P
P
H4=11.7637
H0=6.7637
2.9710
6.7637
R4=30.1707
R0=108.0610
32.2464
5,00 5,00
+
108.0610
-
11.7637
11.7637
R1=22.2317
-
-
n
n
[kN]
N
P
P
32.2464
H4=11.7637
H0=6.7637
108.0610
R4=30.1707
R0=108.0610
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
13
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
KONTROLA STATYCZNA
10 kN 16 kN/m
20 kN
3 kNm
5 kN 1
3
I2 I2
2
R1=22.2317
I1 I1
4
0
H0=6.76368 kN H4=11.7637 kN
R0=108.0610 kN R4=30.1707 kN
[m]
2 6 3
X = 0 -5 +10 + 6.7637 -11.7637 = 0 Ò! 0 = 0
"
X = 0 -22.2317 - 20 +108.0610 -16 Å" 6 + 30.1707 = 0 Ò! 0 = 0
"
"M = 0 -5 Å" 6 - 22.2317 Å" 2 - 20 Å"1+10 Å" 7,5 +16 Å" 6 Å" 3 + 3 - 30.1707 Å"9 = 0 Ò! 0 = 0
0
KONTROLA KINEMATYCZNA
Mn Å" M
P
H0 Å"1,0 = ds
"
+"
EI
6.00
6.00
6.00 6.00
[m]
M
0
H4=1,0
1,0
îÅ‚
1 1 1 2 16 Å" 62 Å‚Å‚
H0 Å"1,0 =
ïÅ‚- Å" 6 Å" 90.0456 Å" 6 + Å" 6 Å"16.9301Å" 6 + Å" 6 Å" Å" 6 +
śł
EI0 ïÅ‚ 2 2 3 8
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 2 1 2
îÅ‚
+ - Å" 6 Å" 40.5821Å" Å" 6 + Å" 6.7082 Å"19.9301Å" Å" 6Å‚Å‚
śł
0.5331EI0 ïÅ‚ 2 3 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚
411.920613 -219.595
H0 Å"1,0 = + = 0.0350 - 0.0350 = 1.38778E - 17 H" 0,0
EI0 0.5331EI0
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
14
1,5
6
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINII UGI
CIA
Równanie różniczkowe linii ugięcia dla pręta 2-3, q(x) = 16 kN/m
16 kN/m
z = 37.9757
1 EI0
z = - 30.6778
2
EI0
z = - 685.6412
3
EI0
3
2 I0 x
y
d4y d4y
EI0 = q(x) Ò! EI0 = 16
dx4 dx4
d3y d3y
EI0 = -T(x) Ò! EI0 = 16x + C
dx3 dx3
d2y d2y 16
EI0 = -M(x) Ò! EI0 = x2 + Cx + D
dx2 dx2 2
dy dy 16 1
EI0 = Õ(x) Ò! EI0 = x3 + Cx2 + Dx + E
dx dx 2 Å" 3 2
16 1 1
EI0y = w(x) Ò! EI0y = x4 + Cx3 + Dx2 + Ex + F
2 Å" 3 Å" 4 2 Å" 3 2
Warunki brzegowe:
37.9757
1. x = 0 Õ2 = z1 z1 =
EI0
2. x = 0 y2 = 0
-30.6778
3. x = 0 Õ3 = z2 z2 =
EI0
4. x = 0 y3 = ¨23 Å" 6
z3 -57.1368
¨23 = - Ò! ¨23 =
12 EI0
-57.1368 -342.8206
y3 = Å" 6 Ò! y3 =
EI0 EI0
16 1
37.9757 = Å" 03 + C Å" 02 + D Å" 0 + E Ò! E = 37.9757
2 Å" 3 2
16 1 1
0 = 04 + C Å" 03 + D Å"02 + E Å" 0 + F Ò! F = 0
2 Å"3 Å" 4 2 Å" 3 2
16 1
- 30.6778 = 63 + Å" 62 Å" C + 6 Å"D + 37.9757 Ò! 18C + 6D = -644.6534
2 Å" 3 2
16 1 1
- 342.8206 = Å" 64 + Å" 63 Å" C + Å" 62D + 37.9757 Å" 6 + 0 Ò! 36C + 18D = -749.0333
2 Å" 3 Å" 4 2 Å"3 2
18C + 6D = -644.6534 Ò! C = -65.8293
36C + 18D = -749.0333 Ò! D = 90.04559
ëÅ‚ 16 öÅ‚
M(0) = -ìÅ‚ Å" 02 + -65.8293 Å"0 + 90.04559 = -90.0456 kNm
÷Å‚
Znakowanie wg zasady metody przemieszczeń
2
íÅ‚ Å‚Å‚
M23 = -90.0456 kNm - rozciągane włókna górne
- rozciągane włókna górne
M32 = -16.9301 kNm - rozciągane włókna dolne
ëÅ‚ 16 öÅ‚
M(6) = -ìÅ‚ - 65.8293 Å" 6 + 90.04559 = 16.9301 kNm
Å" 62 ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
- rozciągane włókna dolne
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
15
2004/2005
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
T(0) = -(16 Å" 0 - 65.8293) = 65.8293 kN T23 = 65.8293 kN
T(6) = -(16 Å" 6 - 65.8293) = -30.17072 kN T32 = -30.1707 kN
SPRAWDZENIE NAPR
ŻEC
NORMALNYCH WYWOA
ANYCH MOMENTEM ZGINAJ
CYM
Ãmax d" Ãdop
Mmax
Ãmax = d" Ãdop = 205MPa
W
Pręty grupy 1 I220 (Wx = 278.18 cm3,Ix = 3060 cm4)
Mmax = 40.5821 kNm
4058.21
Ãmax = = 14.5884 kN/cm2
278.18
Ãmax = 14.5884 kN/cm2 d" Ãdop = 20,5kN/ cm2
Pręty grupy 2 I260 (Wx = 441.54 cm3,Ix = 5740 cm4)
Mmax = 90.0456 kNm
9004.56
Ãmax = = 20.3935 kN/cm2
441.54
Ãmax = 20.3935kN/cm2 d" Ãdop = 20,5kN/ cm2
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Damian Sierocki
16