ZAKA
AD STATYKI I BEZPIECZEC
STWA BUDOWLI
INSTYTUT INŻYNIERII L
DOWEJ
POLITECHNIKA WROCA
AWSKA
METODA PRZEMIESZCZEC
DLA RAM PA
ASKICH
ZA
OŻONYCH Z PR
TÓW PRYZMATYCZNYCH
NIEODKSZTAA
CALNYCH PODA
UŻNIE (EA=") I POSTACIOWO (GA=")
SPIS TREÅšCI
1. WZORY TRANSFORMACYJNE WEDA
UG TEORII RZ
DU I-GO ................................................ 2
2. TRANSFORMACJA PRZEMIESZCZEC
GLOBALNYCH NA SIA
Y BRZEGOWE........................... 8
3. STOPIEC
GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNOÅšCI ................................................................ 10
4. UKA
AD PODSTAWOWY....................................................................................................................... 11
5. RÓWNANIA KANONICZNE W TEORII RZ
DU I-GO ................................................................... 12
6. RZECZYWISTE SIA
Y PRZEKROJOWE ............................................................................................ 14
kontakt : [e-mail]
Metoda przemieszczeń - teoria
1. WZORY TRANSFORMACYJNE WEDA
UG TEORII RZ
DU I-go
Wzorami transformacyjnymi nazywamy zależności między siłami
brzegowymi a przemieszczeniami brzegowymi pręta. Zanim przejdziemy do
wyprowadzenia tych związków zauważmy, że każdy stan odkształcenia pręta
może być rozłożony na (rys. 1):
1. przesunięcie równoległe,
2. wydłużenie lub skrócenie pręta,
3. odkształcenia wynikające ze zmiany odległości końców pręta w kierunku
prostopadÅ‚ym do jego osi ("ij), obrotów wÄ™złów (Õij, Õji) i dziaÅ‚ania obciążenia.
Rysunek 1
Każdy z tych trzech stanów może być rozpatrywany oddzielnie. Przesunięcie
równoległe nie powoduje odkształceń a więc nie wywołuje także sił. Wydłużenie
lub skrócenie ("Lij) pręta związane jest tylko z siłami osiowymi. W przypadku
stałej siły osiowej związek ten ma postać :
EAij
Nij = Nji = Å" "Lij (1.1)
Lij
gdzie : E - moduł sprężystości podłużnej materiału,
Aij - pole poprzecznego przekroju pręta
Pozostaje zatem do rozpatrzenia stan odkształceń przedstawiony na rys. 1
Przyjmuje się tu statyczną umowę znakowania sił brzegowych (dodatnie są
momenty prawoskrętne i siły tnące dające momenty prawoskrętne) oraz
analogiczną umowę znakowania przemieszczeń (dodatnie są kąty obrotu
prawoskrÄ™tne i wzajemne poprzeczne przesuniÄ™cia koÅ„ców prÄ™tów ("ij = Èij Å" Lij)
odpowiadajÄ…ce dodatnim obrotom ciÄ™ciw prÄ™tów Èij ).
- 2 z 14
Metoda przemieszczeń - teoria
Jak widać na rys. 1 moment zginający (umowa znakowania wytrzymałościowa) w
przekroju pręta o współrzędnej "x" określony jest zależnością :
M(x) = Mij +TijÅ"Lij - NijÅ"y(x) + M(q,x) (1.2)
gdzie : M(q,x) - moment zginający od obciążenia zewnętrznego.
Powyższy związek uwzględnia, ujawniający się w wyniku odkształceń, wpływ stałej
na całej długości pręta, siły osiowej (Nij =Nji) na momenty zginające i siły tnące co
nazywane jest teorią rzędu 2-go.
Po podstawieniu zależności (1.2) do znanego równania różniczkowego osi
odkształconej pręta o stałej sztywności (EJij)
d2y Mx)
(
+= 0 (1.3)
EJij
dx2
i dwukrotnym zróżniczkowaniu równania względem "x" otrzymuje się równania
różniczkowe osi odkształconej pręta według teorii rzędu 2-go:
2
d4y d2y q
ij
- dla prÄ™ta Å›ciskanego (Nij =- Nij ) + Å" = (1.4)
EJij
dx4 L2 dx2
ij
4
2 d2y q
d y
ij
- dla prÄ™ta rozciÄ…ganego (Nij = Nij ) - Å" = (1.5)
EJij
dx4 L2 dx2
ij
Nij Å" L2
Nij Å" L2
ij
ij
gdzie : 2 = skąd dla prętów ściskanych 2 = -2 =
ij ij ij
EJij EJij
Pomijając wpływ siły osiowej (teoria rzędu I-go) równania (1.4) i (1.5) przyjmują
postać
d4y q
= (1.6)
EJ
dx4 ij
Rozwiązanie równania (1.4) ma postać :
 Å" x  Å" x
y(x) = C1 + C2 Å" Å" x + C3 Å"cos + C4 Å"sin + C5 (1.7)
L L
a równania (1.5) postać :
 Å" x  Å" x
y(x) = C1 + C2 Å"  Å" x + C3 Å" ch + C4 Å" sh + Cs (1.8)
L L
gdzie C1, C2, C3, C4 są stałymi całkowania (funkcjami parametru  (względnie )
wyznaczanymi na podstawie warunków brzegowych pręta a C5 są rozwiązaniami
szczególnymi równań różniczkowych (1.4) i (1.5).
- 3 z 14
Metoda przemieszczeń - teoria
Rozwiązania równań (1.4) i (1.5) oraz wszystkie wynikające z tych rozwiązań
związki są wzajemnie związane zależnością (1.6) z której wynikają związki :
sh(ij Å" i) = i Å" sin(ij ), ch(ij Å" i) = cos(ij ),
sin(ij Å" i) = i Å" sh(ij ), cos(ij Å" i) = ch(ij ), (1.9)
Uwzględniając związki
2
d2y d3y dy
ij
Mij =-EJij Å" , Tij =-EJij Å" + Å"
dx
dx2 x=0 dx3 L2 x=0
ij
2
d2y d3y dy
ij
M = -EJ Å" , Tji =-EJij Å" + Å" (1.10)
ji ji
dx
dx2 x=Lij dx3 L2 x=Lij
ij
wzory transformacyjne dla dowolnego pręta prostego można przedstawić w
postaci :
EJij
Mij = Å" aij Å"Õij + bij Å"Õji - cij Å" Èij + Mo
()
ij
Lij
EJij
M = Å" a Å"Õji + bji Å"Õij - cji Å" Èij + Mo (1.11)
()
ji ji
Lij ji
EJij
o
Tij = Å" Å"Õij - cij Å"Õji + dij Å" Èij + Tij
(-cij
)
L2
ij
EJij
o
Tji = Å" Å"Õij - cij Å"Õji + dij Å" Èij + Tji
(-cij
)
L2
ij
gdzie aij, aji, bij = bji, cij = aij + bji, cji = aji + bij, dij = dji = cij + cji - 2 (lub 2 ) sÄ…
ij ij
funkcjami parametrów ij lub ij zależnymi od typu pręta. Oznaczenia tych
funkcji dla wybranych typów prętów o stałej sztywności zestawiono w tabeli
Tabela 1
ij aij aji bij =bji cij cji dij =dji
44 26 6 12
30 03 03
11-10 00
00 00 00
00 00 00
- 4 z 14
Metoda przemieszczeń - teoria
o
Składniki wzorów typu Mo i Tij są brzegowymi momentami i siłami tnącymi
ij
w stanie zerowych przemieszczeÅ„ brzegowych (Õij = Õji = Èij = 0) i mogÄ… być
wyznaczane np. z wykorzystaniem metody sił. Dla typowych obciążeń wartości te
można zestawiono dla różnych typów prętów w tabelach poniżej.
Tabela 2
Mi PR
T SZTYWNO-SZTYWNY Mj
q
Mj
Mi
qL2 qL2
EJ, L
-
12 12
P
Mj
Mi
EJ, L
L/2 L/2
PL PL
-
8 8
P
Mj
Mi
EJ, L
2 2
a b
Pab Pa b
-
L2 L2
M
Mj
Mi
Ma 3a
Mb 3b EJ, L
(2 - )
(2 - )
L L
L L
a b
Tabela 3
Mi
PR
T SZTYWNO-PRZEGUBOWY Mj
q
Mj
Mi 0
qL2
EJ, L
-
8
P
ij
Mj
Mi
EJ, L
L/2 L/2
3PL
0
-
16
- 5 z 14
Metoda przemieszczeń - teoria
P
ij
Mj
Pab
Mi
EJ, L
- (L + b)
2L2
0
a b
M
ij
Mj
2
Mi
M b EJ, L
1- 3
2 L
0
a b
Tabela 4
Mi PR
T SZTYWNY-A
YŻWA Mj
q
Mj
Mi
qL2
qL2
EJ, L
-
-
6
3
P
ij
Mj
Mi
EJ, L
3PL PL
- -
L/2 L/2
8 8
P
ij
Mj
Mi
EJ, L
PL PL
- -
2 2
P
ij
Mj
2
Pa a Mi
Pa
EJ, L
- - -
2
2 L
2L
a b
M
ij
Mj
Mb Ma
Mi
EJ, L
- -
L L
a b
- 6 z 14
Metoda przemieszczeń - teoria
Ogólna postać wzorów transformacyjnych (1.11) jest prawdziwa dla prętów
prostych zarówno o stałej sztywności jak i o zmiennej sztywności. Wartości
parametrów dla prętów o zmiennej sztywności a także dla innych typów prętów
można znalez
ć w literaturze. Wartości tych współczynników można stosunkowo
łatwo wyznaczać wykorzystując ich interpretację i metodę sił. Na przykład jeśli
przyjąć Õji = Èij = Mo =0, Õij = 1 (rys.1) to z wyrażenia okreÅ›lajÄ…cego Mij (1.11)
ij
wynika, że :
Lij
aij = Å" Mij
EJij
co oznacza, że współczynnik aij jest równy momentowi Mij pomnożonemu przez
Lij
a wywołanemu obrotem końca "i" pręta o kąt o wartości "1".
EJij
Tabela 5
EJ
EJ JEDNOSTKOWE STANY ROTACYJNE
M = bij
M = aij
j
i
L
L
fi =1
i j
Mj
Mi
EJ, L
EJ
EJ
2
4
L
L
fi =1
ij
Mj
Mi
EJ, L
EJ
0
3
L
fi =1
j
EJ i Mj EJ
Mi
-
EJ, L
L L
Analogiczną interpretację mają wszystkie współczynniki.
- 7 z 14
Metoda przemieszczeń - teoria
Tabela 6
EJ
EJ JEDNOSTKOWE STANY TRANSLACYJNE
M = - c
M = - cij
j ji
i
L
L
Èij =1
i j
Mj
Mi
EJ, L
EJ EJ
"
- 6 - 6
L L
ij
EJ, L
Mj
Mi
"
EJ
0
- 3
L
Przedstawione w tym punkcie zwiÄ…zki, z wyjÄ…tkiem zwiÄ…zku (1.1) sÄ… prawdziwe
zarówno dla prętów nieodkształcalnych jak i odkształcalnych podłużnie.
2. TRANSFORMACJA PRZEMIESZCZEC
GLOBALNYCH NA SIA
Y BRZEGOWE
W wyniku działania obciążeń na konstrukcję ulega ona odkształceniom.
Przemieszczenia końców prętów równe są przemieszczeniom odpowiednich
węzłów.
Każdy węzeł układu płaskiego ma 3 stopnie swobody (1 obrót i 2 składowe
przesunięcia węzła), których liczba może być zmniejszona przez więzi
podporowe. Układ prętów połączonych między sobą i z fundamentem w węzłach
ma zatem (2Å"w - r) stopni swobody przesuwu (w - liczba wÄ™złów, r - liczba
translacyjnych więzi podporowych). Zarówno kąty obrotu jak i składowe
przesunięć końców prętów wyrażają się bezpośrednio przez odpowiednie kąty
obrotu węzłów :
Õij = Õi, Õji = Õj.(2.1)
i składowe przesunięć węzłów.
Jeśli przyjąć, że pręty są nieodkształcalne podłużnie (EA = ") to liczba stopni
"
"
"
swobody przesuwu układu zmniejsza się o liczbę prętów. Uwzględniając, że
niektóre pręty mogą odbierać te same stopnie swobody, liczbę stopni swobody
przesuwu układu można oszacować na podstawie zależności :
n´ e" 2 Å" w - p - r (2.2)
gdzie : w - liczba węzłów,
p - liczba prętów nieodkształcalnych podłużnie,
r - liczba pojedynczych, translacyjnych więzi podporowych.
Niezbędna jest w tym przypadku transformacja przesunięć niezależnych na
przesunięcia węzłów a właściwie na kąty obrotu cięciw prętów. Zależność między
- 8 z 14
Metoda przemieszczeń - teoria
niezależnymi skÅ‚adowymi przesunięć wÄ™złów ukÅ‚adu (´²) a kÄ…tami obrotu ciÄ™ciw
prÄ™tów (Èij) ma postać :
Èij = Èi² Å"´² (2.3)
j
²
²
gdzie : Èij sÄ… kÄ…tami obrotu ciÄ™ciw prÄ™tów wywoÅ‚anymi przesuniÄ™ciami ´² = 1.
Podstawiając do wzorów (1.10) związki (2.1) i (2.3) otrzymujemy wzory
transformujące przemieszczenia w bazie globalnej na siły brzegowe
EJij
²
Mij = Å" aij Å"Õi + bij Å"Õj - cji Å" Èij Å"´² + Mo
ij
Lij
²
EJ
ij
²
M = Å" a Å"Õj + b Å"Õi - c Å" Èij Å"´² + Moi (2.4)
ji ji ji j
Lij ji
²
EJ
ij
² o
Tij = Å" -cij Å"Õi - c Å"Õj + d Å" Èij Å"´² + Tij
ji ij
L2 ²
ij
EJ
ij
²
Tji = Å" -cij Å"Õi - cji Å"Õj + dij Å" Èij Å"´² + Tjo
i
L2 ²
ij
Po wprowadzeniu oznaczeń :
EJij j EJij EJij
j
Mi = aij Å" , M = a Å" , Mi = Mij = bij Å" ,
ij
Lij ji ji Lij ji Lij
(2.5)
EJij ²EJij ²
M² =-cij Å" Å" Èij , M² =-cji Å" Å" Èij
ij ji
Lij Lij
EJ EJ
ij ij
j
i i
Tij = Tji = -cij Å" , Tijj = Tji = -c Å" Å"
ji
Lij Lij
EJ
ij
² ² ²
Tij = Tji = d Å" Å" Èij
ij
Lij
wzory (2.4) mogą być przedstawione w postaci
Mij = Mi Å"Õi + Mijj Å"Õj + M²j Å"´² + Moj
ij i i
²
j
M = M Å"Õj + Mii Å"Õi + M²i Å"´² + Moi (2.6)
ji ji j j j
²
i ²
Tij = Tij Å"Õi + Tijj Å"Õj + Tij Å"´² + Tio
j
²
j
Tji = Tji Å"Õi + Tji Å"Õj + Tj² Å"´² + Tjo
i i i
²
Są to wzory transformujące przemieszczenia w bazie globalnej na siły
brzegowe pręta.
- 9z 14
Metoda przemieszczeń - teoria
3. STOPIEC
GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNOÅšCI
Stopniem geometrycznej niewyznaczalności układu (ng) nazywamy liczbę
niezależnych skÅ‚adowych przemieszczeÅ„ - obrotów (nÕ) i skÅ‚adowych
Õ
Õ
Õ
przesunięć (n´) - które w peÅ‚ni okreÅ›lajÄ… przemieszczenia brzegowe prÄ™tów
´
´
´
występujące we wzorach transformacyjnych prętów, na które układ może
być rozłożony
ng =nÕ +n´. (3.1)
Liczba obrotów wÄ™złów (nÕ) równa jest liczbie wÄ™złów sztywnych, którym podpory
nie odbierajÄ… możliwoÅ›ci obrotu. W celu wyznaczenia (nÕ) należy podzielić ukÅ‚ad
na pręty dla których dane są wzory transformacyjne; można poszczególnym
elementom (w szczególności gdy brak odpowiednich do rozpatrywanego układu
prętów, dla których dane są wzory transformacyjne) przyporządkowywać pręty o
mniejszej liczbie składowych przemieszczeń swobodnych (np. pręt sztywno-
sztywny można przyporządkować każdemu prętowi układu). Liczba węzłów
sztywnych łączących te elementy, nie podpartych ze względu na obrót równa jest
(nÕ).
Liczba niezależnych skÅ‚adowych przesunięć wÄ™złów (n´), może być
wyznaczona na podstawie analizy kinematycznej odpowiedniego modelu układu.
Aby utworzyć z układu danego model umożliwiający określenie liczby stopni
swobody przesuwu należy :
1. usunąć więzi sprężyste,
2. zastąpić wszystkie węzły węzłami przegubowymi,
3. odebrać po jednym stopniu swobody przesuwu prętom, dla których we
wzorach transformacyjnych aij `" 0 lub aji `" 0 i cij = cji =0 i dij = dji =0
(pręt wspornikowy i pręt sztywno-łyżwa - dla prętów tych ich stopnie swobody
przesuwu poprzecznego uwzględnione zostały we współczynnikach aij, aji , bij =
bji i kąt obrotu cięciwy pręta nie występuje we wzorach transformacyjnych).
Liczba skÅ‚adowych (n´) może być oszacowana z wykorzystaniem zależnoÅ›ci :
n´ e" 2Å"w - p - r (3.2)
gdzie w - liczba węzłów modelu, p - liczba prętów modelu, r - liczba więzi
podporowych modelu (liczba składowych reakcji).
Dla modelu przedstawionego na rys. 2 poniżej :
w = 14, p = 13, r =12 a wiÄ™c n´ e" 2Å"14 -13 - 12 = 3.
RzeczywistÄ… wartość (n´) można okreÅ›lić tyko w wyniku analizy kinematycznej
układu. Analiza taka może polegać na poszukiwaniu najmniejszej liczby więzi
niezbędnych do przekształcenia modelu kinematycznego w układ geometrycznie
niezmienny, przy czym liczba ta nie może być mniejsza niż określona na
podstawie zwiÄ…zku (3.2).
- 10 z 14
Metoda przemieszczeń - teoria
W rozpatrywanym przykładzie niezbędne jest dodanie co najmniej 3 więzi. Jeśli
dodać 3 więzi to model staje się układem geometrycznie niezmiennym. zatem w
rozpatrywanym przykÅ‚adzie n´ =3.
2EJ EJ
Rysunek 2 . Układ dany
4. UKA
AD PODSTAWOWY
Układ podstawowy w metodzie przemieszczeń tworzony jest przez odebranie
stopni swobody węzłom układu danego, określonych w trakcie wyznaczania
stopnia geometrycznej niewyznaczalności jako niezależne. Należy zatem nałożyć
wiÄ™zi odbierajÄ…ce możliwoÅ›ci obrotu wÄ™złów sztywnych w liczbie nÕ i wiÄ™zi
odbierajace stopnie swobody przesuwu w liczbie n´. Na przykÅ‚ad ukÅ‚adem
podstawowym układu przedstawionego na rys. 2 jest układ przedstawiony na
rys. 3.
123 4
III
I
II
Rysunek 3 Układ podstawowy
- 11 z 14
Metoda przemieszczeń - teoria
5. RÓWNANIA KANONICZNE W TEORII RZ
DU I-go
Aby rozwiązanie układu podstawowego i danego były identyczne, siły w dodanych
wiÄ™ziach muszÄ… być równe zero co daje nÕ warunków typu :
Mi = 0, dla i = 1, 2, ..., nÕ,
i n´ warunków typu :
RÄ… =0, dla Ä…= I, II, ..., n´. (5.1)
Pełny układ równań kanonicznych może być zapisany w postaci
kij Å"Õj + ki² Å"´² +kio = 0, dla i = 1, 2, ..., nÕ
j ²
kÄ…j Å"Õj + kÄ…² Å"´² +kÄ…o =0, dla Ä…= 1, 2, ..., n´ (5.2)
j ²
gdzie
kij Å"Õj, ki² Å"´² sÄ… momentami w rotacyjnej wiÄ™zi "i" wywoÅ‚anymi odpowiednio:
" obrotem rotacyjnej wiÄ™zi "j" o kÄ…t Å"Õj,
" przesuniÄ™ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wiÄ™zi "²" o ´²,
kij, ki², kio sÄ… momentami w rotacyjnej wiÄ™zi "i" wywoÅ‚anymi: odpowiednio:
" obrotem rotacyjnej wiÄ™zi "j" o kÄ…t Õj =1,
" przesuniÄ™ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wiÄ™zi "²" o
´² = 1 obciążeniem zewnÄ™trznym.
kÄ…j Å"Õj, kÄ…² Å"´² sÄ… siÅ‚ami w translacyjnej wiÄ™zi "Ä…" wywoÅ‚anymi odpowiednio:
" obrotem rotacyjnej wiÄ™zi "j" o kÄ…t Å"Õj,
" przesuniÄ™ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wiÄ™zi "²" o ´²,
kÄ…j, kÄ…², kÄ…o sÄ… siÅ‚ami w translacyjnej wiÄ™zi "Ä…" wywoÅ‚anymi: odpowiednio:
" obrotem rotacyjnej wiÄ™zi "j" o kÄ…t Õj =1,
" przesuniÄ™ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wiÄ™zi "²" o
´² = 1, obciążeniem zewnÄ™trznym.
Z powyższego wynika, że współczynniki "k" mogą być podzielone na 6 grup :
- momenty w dodanych więziach rotacyjnych wywołane:
1. obrotami (KÕÕ=[kij]),
2. przesuniÄ™ciami (KÕ´=[ki²]),
3. obciążeniem zewnÄ™trznym (KÕo =kio)
- 12 z 14
Metoda przemieszczeń - teoria
- reakcje w dodanych więziach translacyjnych wywołane:
4. obrotami (K´Õ=[kÄ…j])
5. przesuniÄ™ciami (K´´=[kÄ…²]),
6. obciążeniem zewnÄ™trznym (K´o=[kÄ…o]).
W zapisie macierzowym układ równań może być przedstawiony w postaciach
k11, k1n , k1I , k1n Õ1 k10
Õ ´
kn 1, kn nÕ , kn I , kn n´ Õn kn o
Õ Õ Õ Õ Õ Õ
Å" + =
kI1, kIn , kII , kIn ´I kI 0
Õ ´
(5.3)
kn 1, kn nÕ , kn I , kn n´ , ´n kn o
´ ´ ´ ´ ´ ´
KÕÕ KÕ´
Åš KÕo
= Å" + = K Å" z + Ko = 0
K´Õ K´´
" K´o
Wzory określające współczynniki "k" zestawiono poniżej
1. Reakcje (momenty) w dodanych więziach rotacyjnych wywołane
jednostkowymi obrotami dodanych więzi rotacyjnych
EJij EJij
j
KÕÕ; k = Mi + kÕ = aij Å" + kÕ , kij = Mij = bij Å" , j `" i,
ii ij i
Lij i Lij
j j
2. Reakcje (momenty) w dodanych więziach rotacyjnych wywołane
jednostkowymi przesunięciami w miejscach i kierunkach dodanych więzi
translacyjnych
EJij ²
²
KÕ´; k = Mij = - cij Å" Å" Èij ,
i²
Lij
j j
3. Reakcje (momenty) w dodanych więziach rotacyjnych wywołane obciążeniem
danym
KÕo;kio = Mo - Mo
ij i
j
4. Reakcje (siły) w dodanych więziach translacyjnych wywołane jednostkowymi
obrotami więzi rotacyjnych
EJij Ä…
j Ä…
K´Õ; kÄ…j =- (Mijj + Mij) Å" Èij = Tijj Å" "Ä… =- cj Å" Èij ,
ij ji
Lij
i i i
5. Reakcje (siły) w dodanych więziach translacyjnych wywołane przesunięciami w
miejscach i kierunkach dodanych więzi translacyjnych
K´´; kÄ…² = - (M² + M²i) Å" ÈiÄ… + k´ Å" "LÄ… Å" "L² =
ij j j i i i
ij s
EJij
²
= Tij Å" "Ä…j + k´ Å" "LÄ… Å" "L² = dij Å" Å" ÈÄ… Å" Ȳj + k´ Å" "LÄ… Å" "L² ,
i i i i
Lij ij i i i i
ij s ij s
- 13 z 14
Metoda przemieszczeń - teoria
6. Reakcje (siły) w dodanych więziach translacyjnych wywołane obciążeniem
danym
o o Ä…
K´o; kÄ…o = - ( Mio + M ) Å"ÈijÄ… - Pp Å"´pÄ… - Mm Å"Èm
j ji
ij p m
Rozwiązanie układu równań stanowią kąty obrotu węzłów i przesunięcia w
miejscach i kierunkach dodanych więzi. Na ich podstawie określone są
bezpośrednio kąty obrotu końców prętów, a wykorzystując związek (2.3) można
wyznaczyć rzeczywiste kąty obrotu cięciw prętów.
6. RZECZYWISTE SIA
Y PRZEKROJOWE
Momenty brzegowe mogą być określone :
1. Na podstawie związków (2.4),
i ²
2. Na podstawie związków (2.6) jeśli uprzednio wyznaczono momenty Mij , Mij
na podstawie związków (2.5),
3. Na podstawie związków (1.10) po uprzednim wyznaczeniu rzeczywistych
kątów obrotu cięciw prętów na podstawie związku (2.3),
Brzegowe siły tnące mogą być określone :
1. Na podstawie związków (2.4),
i ²
2. Na podstawie związków (2.6) jeśli uprzednio wyznaczono siły tnące Tij , Tij
na podstawie związków (2.5),
3. Na podstawie związków (1.10) po uprzednim wyznaczeniu rzeczywistych
kątów obrotu cięciw prętów na podstawie związku (2.3),
4. Na podstawie równań równowagi sił działających na pręty.
Brzegowe siły osiowe na ogół mogą być określone :
1. na podstawie równań równowagi rzutów sił działających na węzły z
wykorzystaniem równań równowagi rzutów na oś pręta sił działających na
pręty.
2. Jeśli z równań tych nie da się wyznaczyć wszystkich sił osiowych to do ich
wyznaczenia niezbędne jest rozwiązanie z uwzględnieniem odkształcalności
podłużnej.
3. Jeśli zbudować wszystkie równania równowagi dla prętów i węzłów to
pozwala to na wyznaczenie brzegowych sił tnących na ogół brzegowych sił
osiowych i stanowi kontrolę statycznej dopuszczalności rozwiązania.
4. Dla pełnej kontroli rozwiązania niezbędne jest sprawdzenie jego
kinematycznej dopuszczalności w powiązaniu z siłami to jest sprawdzenie
warunków ciągłości układu.
Po wyznaczeniu sił brzegowych sporządza się wykresy sił przekrojowych
z wykorzystaniem równań równowagi i zasady superpozycji.
- 14 z 14