Politechnika Poznańska Poznań, dnia 01.04.2004 r.
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń
zmiany temperatury
Konsultacje: Wykonał:
dr inż. P. Litewka Piotr Siniecki
grupa III
2003/2004
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń  zmiana temperatury - 2 -
o
t =- 20 C
m
-15 oC
I2
I1
I2
I
1
+10 oC
I +15 oC
1
15 6
™1 = ™ 220
™2 = ™ 240
™1 = ™
™2 = ™ Å"1,389
Układ podstawowy
o
t =- 20 C
m
r 1
-15 oC
u2
2
I2
1
I1
r 3
4
I2
3
+10 oC
I1
+15 oC
I1
0
5
15 6
SGN = 3
r11 Å" z1 + r12 Å" z2 + r13 Å" z3 + r1t = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚r Å" z1 + r22 Å" z2 + r23 Å" z3 + r2t = 0
21
ôÅ‚r Å" z1 + r32 Å" z2 + r33 Å" z3 + r3t = 0
ół 31
Piotr Siniecki grupa III 2004-04-01
32
32
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń  zmiana temperatury - 3 -
Ponieważ układ podstawowy jest identyczny jak dla ramy obliczonej dla sił zewnętrznych
reakcje r pozostają takie same pozostaje tylko obliczyć r
ik it.
Dodatkowe informacje:
Ä…t = 1,2 Å"10-5 / °C
t0 = tśr - tm
01, 12, 23 "t = 250C t0 = 17,50C
34 "t = 300C t0 = 20,00C
35 "t = 5,00C t0 = 32,50C
Obliczamy momenty od nierównomiernego ogrzania:
"t 25
M = -EI Å"Ä…t Å" = -6273Å"1,2 Å"10-5 Å" = -8,55409 [kNm]
01
h 0,22
"t 25
M10 = EI Å"Ä…t Å" = 6273Å"1,2 Å"10-5 Å" = 8,55409 [kNm]
h 0,22
3 "t 3 25
M12 = - Å" EI Å"Ä…t Å" = - Å"6273Å"1,2Å"10-5 Å" = -11,76188 [kNm]
2 h 2 0,24
3 "t 3 25
M = Å" EI Å"Ä…t Å" = Å" 6273Å"1,2 Å"10-5 Å" = 12,83114 [kNm]
32
2 h 2 0,22
"t 30
M = -EI Å"Ä…t Å" = -6273Å"1,2 Å"10-5 Å" = -9,40950 [kNm]
34
h 0,24
"t 30
M = EI Å"Ä…t Å" = 6273Å"1,2Å"10-5 Å" = 9,40950 [kNm]
43
h 0,24
"t 5
M = EI Å"Ä…t Å" = 6273Å"1,2Å"10-5 Å" = 1,71082 [kNm]
35
h 0,22
"t 5
M = -EI Å"Ä…t Å" = -6273Å"1,2Å"10-5 Å" = -1,71082 [kNm]
53
h 0,22
Piotr Siniecki grupa III 2004-04-01
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń  zmiana temperatury - 4 -
Obliczamy momenty od stanu t
0
o
t =- 20 C
m
-15 oC
2
1 ¨12
23
¨
4
3
¨34
¨01
+10 oC
+15 oC
¨35
0
5
15 6
012 534
¨01(t) Å"5 +17,5Å"1,2Å"10-5 Å"1+17,5Å"1,2Å"10-5 Å"5 = 0 3Å" ¨35(t ) + 20 Å"1,2 Å"10-5 Å" 6 = 0
¨01(t) = -0,000252 rad ¨35(t) = -0,00048 rad
432
534 “!
- 20Å"1,2 Å"10-5 Å"6 + 2 Å" ¨23(t) = 0
- 32,50 Å"1,2 Å"10-5 Å"3 + 6 Å" ¨34(t ) = 0
¨23(t) = 0,00072 rad
¨34(t) = 0,000195 rad
01235 “!
¨01(t ) -17,5 Å"1,2 Å"10-5 Å" 5 + 5 Å" ¨12 (t) +17,5 Å"1,2 Å"10-5 Å" 2 + 32,5 Å"1,2 Å"10-5 Å" 3 = 0
¨12 (t) = -0,0000576 rad
2 Å" EI
(t0 ) (t)
M = Å"(-3Å"È ) = 1,86012 [kNm]
01 01
5,09902
2 Å" EI
(t)
M10 (t0 ) = Å"(-3Å"È ) = 1,86012 [kNm]
01
5,09902
3Å" EI Å"1,389
M12 (t0 ) = Å"(-È12 (t ) ) = 0,30113 [kNm]
5
3Å" EI
(t0 ) (t )
M = Å"(-È ) = -6,77484 [kNm]
32 23
2
2 Å" EI Å"1,389
(t0 ) (t )
M = Å"(-3Å"È ) = -1,69907 [kNm]
34 34
6
2 Å" EI Å"1,389
(t0 ) (t)
M = Å"(-3Å"È ) = -1,69907 [kNm]
43 34
6
Piotr Siniecki grupa III 2004-04-01
32
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń  zmiana temperatury - 5 -
2 Å" EI
(t0 ) (t )
M = Å"(-3Å"È ) = 6,02208 [kNm]
35 35
3
2 Å" EI
(t0 ) (t)
M = Å"(-3Å"È ) = 6,02208 [kNm]
53 35
3
KorzystajÄ…c z zasady superpozycji obliczamy Mt
0
M(t) = M("t) + M(t )
Stan t
r 1t
-11,46075
r 2t
r 3t
-11,10857 7,71043
10,41421
6,05630
7,73290
-6,69397 -16,72800
15 6
- - -
ëÅ‚ öÅ‚
-
1 1 1
÷Å‚
r2t Å"1+ (10,41421- 6,69397) Å" + (-11,46075) Å"ìÅ‚- + 6,05630Å" = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
5 25 2
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
r2t = -4,23063 [kN]
r1t - (-11,46075) -10,41421 = 0
r1t = -1,04654 [kNm]
r3t - (-11,10857) - 6,05630 - 7,73290 = 0
r3t = 2,68063 [kNm]
Podstawiamy do równań kanonicznych
1,61786 Å" EI Å" z1 - 0,20200 Å" EI Å" z2 + 0 -1,04654 = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚- 0,20200 Å" EI Å" z1 + 0,47047 Å" EI Å" z2 - 0,75Å" EI Å" z3 - 4,23063 = 0
ôÅ‚0 - 0,75Å" EI Å" z2 + 3,75930 Å" EI Å" z3 + 2,68063 = 0
ół
EI Å" z1 = 2,2630
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚EI Å" z2 = 12,94393
ôÅ‚EI Å" z3 = 1,86930
ół
Piotr Siniecki grupa III 2004-04-01
32
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń  zmiana temperatury - 6 -
Podstawiając wartości do równań momentowych(wzory redukcyjne), uwzględniając momenty od
temperatury otrzymujemy.
M = 0,39223Å" EI Å" z1 - 0,23534Å" EI Å" z2 - 6,69397 = -8,85258 [kNm]
01
M10 = 0,78446Å" EI Å" z1 - 0,23534 Å" EI Å" z2 +10,41421 = 9,14322 [kNm]
M12 = 0,83340 Å" EI Å" z1 + 0,03334 Å" EI Å" z2 -11,46075 = -9,14322 [kNm]
M = 1,5Å" EI Å" z3 - 0,75Å" EI Å" z2 + 6,05630 = -0,84770 [kNm]
32
M = 0,92600 Å" EI Å" z3 -11,10857 = -9,37760 [kNm]
34
M = 0,46300 Å" EI Å" z3 + 7,71043 = 8,57592 [kNm]
43
M = 1,33333Å" EI Å" z3 + 7,73290 = 10,22529 [kNm]
35
M = 0,66667 Å" EI Å" z3 + 4,31126 = 5,55747 [kNm]
53
Wykres momentów [kNm]
9,14322
9,37760
8,57592
0,84770
10,22529
8,85258
5,55747
15 6
15 6
15 6
15 6
Piotr Siniecki grupa III 2004-04-01
32
32
32
32
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń  zmiana temperatury - 7 -
Obliczanie sił tnących
T
10
" M = 0
0
9,14322 - 8,85259 + T10 Å"5,09902 = 0
9,14322
T10 = -0,056997 [kN]
" M1 = 0
- 8,85259 + 9,14322 + T01 Å"5,09902 = 0
T01 = -0,056997 [kN]
-8,85259
T
01
T
12
" M1 = 0
T
21
-9,14322
- 9,14322 + T21 Å"5 = 0
5
T21 = 1,82864 [kN]
" M = 0
2
- 9,14322 + T12 Å"5 = 0
T12 = 1,82864 [kN]
T
23
" M3 = 0
T23 Å" 2 - 0,84770 = 0
T23 = 0,42385 [kN]
T
32
" M = 0
2
-0,84770
T32 Å" 2 - 0,84770 = 0
T32 = 0,42385 [kN]
10,22529
" M = 0
3
T53 Å"3 +10,22529 + 5,55747 = 0
T
35
T53 = -5,26092 [kN]
" M = 0
5
T35 Å"3 +10,22529 + 5,55747 = 0
T
53
T35 = -5,26092 [kN]
5,55747
Piotr Siniecki grupa III 2004-04-01
2
3
2
0
9
9
0
,
5
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń  zmiana temperatury - 8 -
" M = 0
3
T43 Å" 6 + 8,57592 - 9,37760 = 0
8,57592
6
-9,37760
T43
T34
T43 = 0,13361 [kN]
" M = 0
4
T34 Å" 6 + 8,57592 - 9,37760 = 0
T34 = 0,13361 [kN]
Obliczanie sił normalnych
1,82864
" X = 0
N
21 - N21 - 0,42385 = 0
N21 = -0,42385 [kN]
"Y = 0
0,42385
- N23 +1,82864 = 0
N23
N23 = 1,82864 [kN]
N
32
" X = 0
N34 + 0,42385 - (-5,26092) = 0
0,42385
N34 = -5,68477 [kN]
"Y = 0
0,13361
- N35 +1,82864 - 0,13361 = 0
N34
N35 = 1,69503 [kN]
-5,26092
N35
1,82864
"Y = 0
- N10 Å"sinÄ… -1,82864 + (-0,056997) Å"cosÄ… = 0
N
12
N10 = -1,87626 [kN]
" X = 0
-0,056997
N12 - (-0,056997) Å"sinÄ… - (-1,87626) Å"cosÄ… = 0
N10
N12 = -0,42386 [kN]
Piotr Siniecki grupa III 2004-04-01
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń  zmiana temperatury - 9 -
Wykres sił normalnych [kN]
-0,42385
1,82864
-5,68477
-1,87626
1,69503
15 6
15 6
15 6
15 6
Wykres sił tnących [kN]
1,82864
0,42385
-0,056997
0,13361
-5,26092
15 6
15 6
15 6
15 6
Kontrola statyczna
I2
I1
0,13361
I2
8,57592
I1
5,68477
I
1
0,056997 5,26092
1,87628 1,69503
8,85258 5,55747
15 6
Piotr Siniecki grupa III 2004-04-01
32
32
32
32
32
32
32
32
32
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń  zmiana temperatury - 10 -
" X = 0
- 5,68477 + 5,26092 + 0,056977 Å" sinÄ… +1,87626 Å" cosÄ… = 0,0000122kN
0,0000122
Å"100% = 0,00002%
5,68477
"Y = 0
- 0,13361-1,69503 +1,87626 Å" sinÄ… - 0,056997 Å" cosÄ… = 0,000005kN
0,000005
Å"100% = 0,0003%
1,69503
" M = 0
A
- 8,85258 + 8,57592 + 5,55747 - 5,68477 Å" 3 + 0,13361Å"12 +1,69506 Å" 6 = 0,00000kNm
0,00000
Å"100% = 0,00000%
17,05431
Piotr Siniecki grupa III 2004-04-01