Część 3 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
1
POLITECHNIKA POZNAC
SKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZAKA
AD MECHANIKI BUDOWLI
ĆWICZENIE NR 2
OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC

OD TEMPERATURY.
Agnieszka Sysak
Gr 3
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19
Część 3 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
2
Dla układu
-15°C
tm= +5°C
1,389EJ
1
1,389EJ
+10°C
EJ
EJ
EJ
3 +20°C
[m]
6 2 4
o danych parametrach geometrycznych i fizycznych:
J =3060 cm4
E=205 GPa
EJ =6273 kNm2
·Ä…t=1,2 Å"10 -5 1
o
C
przyjęto układ podstawowy (SGN = 3):
R2
R1
-15°C
Ć3
Ć2
2 3
u3 R3
1
1
+10°C
+20°C
tm= +5°C
3
5
0 4
[m]
6 2 4
Ponieważ dodaliśmy do układu podpory, zakładamy, że reakcje w tych podporach są równe zero. Rozpisując
układ równań kanonicznych otrzymamy:
R1 =r11 Å"Z1 ƒÄ…r12 Å"Z ƒÄ…r13 Å"Z3 ƒÄ…r1t=0
2
R2 =r21 Å"Z1 ƒÄ…r22 Å"Z ƒÄ…r23 Å"Z3 ƒÄ…r2t=0
2
R2 =r31 Å"Z1 ƒÄ…r32 Å"Z2 ƒÄ…r33 Å"Z3 ƒÄ…r3t=0
Ponieważ układ podstawowy jest identyczny jak dla obciążenia zewnętrznego wartości r pozostaną
ik
niezmienione. Wystarczy obliczyć jedynie wartości r . Na stan ten składają się dwa niezależne stany:
it
śątźą śą­Ä…tźą śąt0źą
M =M ƒÄ…M
ik ik ik
­Ä… t= t2 -t1
#" #"
t2 ƒÄ…t1
tśr=
2
t0 =tśr-tm
"t [oC] t [oC] t [oC]
śr 0
01 35 2,5 -2,5
12 35 2,5 -2,5
23 25 12,5 7,5
34 25 12,5 7,5
25 10 15 10
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19
Część 3 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
3
" Stan t
0
Nieznane kąty obrotu cięciw prętów powstałe w wyniku działania ogrzania równomiernego obliczymy
zapisując równania łańcucha kinematycznego układu.
0
È23(t )
t0 [oC]
0
7,5 È12(t )
-2,5
2 3
2 3
1
1
0
È25(t )
1
1
0
È34(t )
0
È01(t )
7,5
10
3 -2,5 3
0 5
5 4
0 4
[m]
[m]
6 2 4
6 2 4
0 0
Śą 43 4 Å"Íąśąt źą=0 Ò! Íąśąt źą=0
34 34
0 0
Śą523 4 Å"Íąśąt źą-10 Å"1,2 Å"10-5Å"2 ƒÄ…7,5 Å"1,2 Å"10-5Å"6 =0 Ò! Íąśąt źą=-0,000075 rad
25 25
0 0 0
Żą 5234 2 Å"Íąśąt źą-10 Å"1,2 Å"10-5Å"4 ƒÄ…6 Å"Íąśąt źąƒÄ…7,5 Å"1,2 Å"10-5Å"4 =0 Ò! Íąśąt źą=0,000045 rad
25 23 23
0 0
2,5 Å"1,2 Å"10-5Å"3 ƒÄ…6 Å"Íąśąt źą-2,5 Å"1,2 Å"10-5Å"1-2 Å"Íąśąt źąƒÄ…10 Å"1,2 Å"10-5Å"4 =0
12 25
Żą0125
0
Ò! Íąśąt źą=-0,000115 rad
12
0 0
3 Å"Íąśąt źąƒÄ…1 Å"Íąśąt źą-2,5 Å"1,2 Å"10-5Å"6 ƒÄ…7,5 Å"1,2 Å"10-5Å"6 =0
01 12
Śą0123
0
Ò! Íąśąt źą=-0,000081śą6źąrad
01
(t0) (t0)
PodstawiajÄ…c wartoÅ›ci ¨ , Ć , oraz EJ do wzorów transformacyjnych otrzymamy wartoÅ›ci momentów w
ik 5
stanie t :
0
śąt0źą 3 EJ
0
M =
śą-Íąśąt źą =0,5123 [kNm]
źą
01 01
3
śąt0źą 3 Å"1,389 EJ
0
M =
śą-Íąśąt źą =0,4942 [kNm]
źą
21 12
37
ćą
2 EJ
śąt0źą
0
M =
śą-3 Íąśąt źą =0,6312 [kNm]
źą
25 25
20
ćą
2 EJ
śąt0źą
0
M =
śą-3 Íąśąt źą =0,6312 [kNm]
źą
52 25
20
ćą
śąt0źą 2 Å"1,389 EJ
0
M =
śą-3 Íąśąt źą =-0,3921 [kNm]
źą
23 23
6
śąt0źą 2 Å"1,389 EJ
0
M =
śą-3 Íąśąt źą =-0,3912 [kNm]
źą
32 23
6
śąt0źą 2 EJ
0
M =
śą-3 Íąśąt źą =0 [kNm]
źą
34 34
4
śąt0źą 2 EJ
0
M =
śą-3 Íąśąt źą =0 [kNm]
źą
43 34
4
" Stan "t
"t [oC]
25
35
2 3
1
1
25
10
3 35
5
0 4
[m]
6 2 4
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19
Część 3 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
4
35
śą­Ä…tźą
M =-3 EJÅ"1,2 Å"10-5Å" =-17,9636 [kNm]
01
2 0,22
3 Å"1,389 EJÅ"1,2 Å"10-5Å" 25
śą­Ä…tźą
M = =22,8721 [kNm]
21
2 0,24
10
śą­Ä…tźą
M =-EJÅ"1,2 Å"10-5Å" =-3,4216 [kNm]
25
0,22
10
śą­Ä…tźą
M =EJÅ"1,2 Å"10-5Å" =3,4216 [kNm]
52
0,22
śą­Ä…tźą
M =-1,389 EJÅ"1,2 Å"10-5Å"2,5 =-10,8915 [kNm]
23
0,24
śą­Ä…tźą
M =1,389 EJÅ"1,2 Å"10-5Å"2,5 =10,8915 [kNm]
32
0,24
25
śą­Ä…tźą
M =-EJÅ"1,2 Å"10-5Å" =-8,5541 [kNm]
34
0,22
25
śą­Ä…tźą
M =EJÅ"1,2 Å"10-5Å" =8,5541 [kNm]
43
0,22
śątźą śą­Ä…tźą śąt0źą
M =M ƒÄ…M
ik ik ik
śątźą
M =-17,9636 ƒÄ…0,5123 =-17,4513 [kNm]
01
śąt źą
M =22,8721 ƒÄ…0,4942 =23,3663 [kNm]
21
śątźą
M =-3,4216 ƒÄ…0,6312 =-2,7904 [kNm]
25
śąt źą
M =3,4216 ƒÄ…0,6312 =4,0528 [kNm]
52
śątźą
M =-10,8915 -0,3921 =-11,2836 [kNm]
23
śąt źą
M =10,8915 -0,3921=10,4994 [kNm]
32
śątźą
M =-8,5541 [kNm]
34
śąt źą
M =8,5541 [kNm]
43
1
r1 t -11,2836
r2 t È23=
z3=1
10,4994 1
12
È12=-
23,3663
12
2 3 r3 t 1 2 3
1
1
È25= 1
1 1
È34=
4
-2,7904
-8,5541
13
4
È01=
8,5541
3 3
36
-17,4513
0 5
5
0 4 4
4,0528
[m] [m]
6
6 2 4 2 4
[kNm]
r1tƒÄ…11,2836 ƒÄ…2,7904 -23,3663=0 Ò! r1t=9,2923 [kNm]
r2tƒÄ…8,5541 -10,4994 =0 Ò! r2t=1,9453 [kNm]
Ä…
r3tÅ"1 -17,4513 ÍÄ…01 ƒÄ…23,3663 ÍÄ…12 ƒÄ…śą4,0528 -2,7904źąÍÄ…25 ƒÄ…śą-11,2836ƒÄ…10,4994źąÍÄ…23 ƒÄ…
Ä… Ä… Ä… Ä…
ƒÄ…śą8,5541 -8,5541źąÍÄ…34 =0 Ò! r3t=7,9988 [kN ]
Ä…
Obliczone wartości r podstawiamy do układu równań kanonicznych i obliczamy wartości niewiadomych
it
kątów obrotu węzłów i przesuwu:
2,5055 EJ Z1 ƒÄ…0,4630 EJ Z -0,3941 EJ Z3 ƒÄ…9,2923 =0
2
0,4630 EJ Z1 ƒÄ…1,9260 EJ Z -0,4908 EJ Z3 ƒÄ…1,9453 =0
2
{
-0,3941 EJ Z1-0,4908 EJ Z ƒÄ…0,5097 EJ Z3 ƒÄ…7,9988 =0
2
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19
Część 3 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
5
EJ Z1 =-6,7954
EJ Z =-6,2474
2
{
EJ Z3 =-26,9631
Obliczmy zatem wartości momentów przywęzłowych:
M =-13 EJ Z3 -17,4513 =-7,7146 [kNm]
01
36
4,167 1,389
M = EJ Z1ƒÄ… EJ Z3 ƒÄ…23,3663 =17,1719 [kNm]
21
37 4 37
ćą ćą
4 1,5
M = EJ Z1 - EJ Z3 -2,7904 =0,1753 [kNm]
25
20 20
ćą ćą
2 1,5
M = EJ Z1 - EJ Z3 ƒÄ…4,0528 =10,0575[kNm]
52
20 20
ćą ćą
2,778 1,389
M = EJ Z1 ƒÄ… EJ Z -1,389 EJ Z3 -11,2836 =-17,3477 [kNm]
23 2
3 3 12
1,389 2,778 1,389
M = EJ Z1ƒÄ… EJ Z - EJ Z3 ƒÄ…10,4994 =4,6890 [kNm]
32 2
3 3 12
3
M =EJ Z - EJ Z3 -8,5541 =-4,6903 [kNm]
34 2
8
1 3
M = EJ Z - EJ Z3 ƒÄ…8,5541 =15,5416 [kNm]
43 2
2 8
Sprawdzenie równowagi momentów w węzłach:
[kNm]
4,6890
17,3477
17,1719
2 3
1
4,6903
1
0,1753
3
15,5416
5
0
4
10,0575
7,7146
[m]
6 2 4
wÄ™zeÅ‚ 2: 17,1719 ƒÄ…0,1753 -17,3477 =-0,0005 [kNm]H"0
węzeł 3: 4,6890 -4,6903 =-0,0013 [kNm]H"0
Tnące i normalne obliczamy wycinając myślowo kolejne pręty i równoważąc węzły:
N10
M : 7,7146 -T Å"3 =0
"
1 01
1
T10
Ò! T =2,5715 [kN ]
01
3
X:T =T
"
01 10
0
7,7146
Y: N =N
"
01 10
T01
N01
M : 17,3477 -4,6890 -T Å"6 =0
"
2 32
4,6890
N23 17,3477
N32
Ò! T =2,1098 [kN ]
32
3
T23 2 X:T =T
"
T32 23 32
X: N =N
"
23 32
6
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19
Część 3 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
6
N34 T34
M : 15,5416 -4,6903 ƒÄ…T Å"4 =0
3 "
3 43
4,6903
Ò! T =-2,7128 [kN ]
43
4
X:T =T
"
34 43
4
Y: N =N
15,5416 "
34 43
T43 N43
N32
X: N -2,7128 =0
"
32
Ò! N =N =2,7128 [kN ]
2,1098
32 23
Y: N34
" -2,1098 =0
2,7128
Ò! N =N =2,1098 [kN ]
34 43
N34
1 4
sin·Ä…= sin ¸Ä…=
37 20
ćą ćą
6 2
cos·Ä…= cos ¸Ä…=
37 20
ćą ćą
N25 T25
0,1753
2
M : 10,0575 ƒÄ…0,1753 ƒÄ…T Å" 20=0
ćą
"
2 52
4 Ò! T =-2,2881 [kN ]
52
(":T =T
"
25 52
²
5 10,0575
Śą: N =N
"
25 52
T52 N52
2
N21
17,1719
M : 17,1719 ƒÄ…T Å" 37=0
ćą
"
1 21
T12
Ò! T =-2,8230 [kN ]
2
1 21
Ä…
1 T21
Śą:T =T
"
12 21
N12
(": N =N
"
12 21
6
6 1
N12 X: -2,5715 ƒÄ…N Å" -2,8230 Å" =0
"
12
37 37
ćą ćą
Ä… 2,8230
Ò! N =3,0775 [kN ]
12
1 6
Y:
" -N ƒÄ…N Å" ƒÄ…2,8230 Å" =0
2,5715 10 12
37 37
ćą ćą
N10
Ò! N =3,2905 [kN ]
10
1 6 4
X : 2,7128 ƒÄ…2,8230 Å" -3,0775 Å" ƒÄ…2,2881 Å" ƒÄ…
"
37 37 20
ćą ćą ćą
2,7128
2
3,0775
ƒÄ…N Å" =0 Ò! N =-4,8921 [kN ]
25 25
Ä…
20
2,1098 ćą
²
2,8230 6 1
spr Y: -2,1098 -2,8230 Å" -3,0775 Å" ƒÄ…
"
37 37
ćą ćą
2,2831 N25
2 4
ƒÄ…2,2881 Å" -śą-4,8921źąÅ" =-0,0014 H"0
20 20
ćą ćą
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19
Część 3 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
7
17,3477
4,6890
17,1719
4,6903
2 3
1
0,1753
1
3
10,0575
5 4
0
7,7146 15,5416
[m]
6 2 4
Mt(n) [kNm]
2,1098
+
2 3
1
1 -
-2,8230
-
- -2,7128
+
3
2,5715 -2,2881
5 4
0
[m]
6 2 4
Tt(n) [kN]
2,7128
3,0775
+
+
2 3
1
1
-4,8921
-
+
2,1098
3 +
3,2905
5 4
0
[m]
6
2 4
Nt(n) [kN]
" Kontrola kinematyczna
n 0
Ä… ­Ä…t
Ä… Ä… Ä…
1Å"ºÄ…= dxƒÄ… M ·Ä…t dxƒÄ… N ·Ä…t t0 dx
"+"M Å"M "+" "+"
EJ h
Obliczmy zatem zerowy kąt obrotu Ć węzła 5 dla nowego układu podstawowego:
5
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19
Część 3 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
8
1
2 3
1
1
1
3
1
5 4
0
1
1
[m]
6 2 4
M0 [ - ]
(N0 = 0)
1 1 Å"0,1753 Å" 20Å"1 -1 Å"10,0575 Å" 20Å"1 ƒÄ… 1
ÔÄ…5 = Å"1 Å"śą17,3477 ƒÄ…4,689 źąÅ"6 Å"1 -
ćą ćą
[
6273 2 2 1,389 2
10 25 25
-1 Å"śą4,6903 ƒÄ…15,5416źąÅ"4 Å"1 ƒÄ…1 Å"1,2 Å"10-5Å" Å" 20- Å"6 - Å"4 =0 [m]
ćą
] śą źą
2 0,22 0,24 0,22
" Sprawdzenie statyczne:
2 3
1
1
3
7,7146 15,5416
4
5
0 10,0575
2,7128
2,5715
2,2881
2,1098
3,2905
4,8921
[m]
6 2 4
4 2
X:
" -2,5715 ƒÄ…2,2881 Å" -4,8921 Å" ƒÄ…2,7128 =0,00003 [kN ]H"0
20 20
ćą ćą
2 4
Y:
" --3,2905 ƒÄ…2,2881 Å" ƒÄ…4,8921 Å" -2,1098 =-0,00140 [kN ]H"0
20 20
ćą ćą
M : 10,0575 ƒÄ…15,5416-7,7146 -3,2905 Å"śą6ƒÄ…2źąƒÄ…2,1098 Å"4 =-0,0003 [kNm]H"0
"
5
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19