Część 2 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
1
POLITECHNIKA POZNAC
SKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZAKA
AD MECHANIKI BUDOWLI
ĆWICZENIE NR 2
OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC

OD OSIADANIA PODPÓR.
Agnieszka Sysak
Gr 3
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19
Część 2 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
2
Dla układu
1,389EJ
1
1,389EJ
EJ
EJ
EJ
3
0,002 rad
0,005 m
0,004 m
0,006 m
[m]
6 2 4
o danych parametrach geometrycznych i fizycznych:
J =3060 cm4
E=205 GPa
EJ =6273 kNm2
przyjęto układ podstawowy (SGN = 3):
R2
R1
Ć3
Ć2
2 3
u3 R3
1
1
3
0,002 rad
0,005 m
5
0 4
0,004 m
0,006 m
[m]
6 2 4
Ponieważ dodaliśmy do układu podpory, zakładamy, że reakcje w tych podporach są równe zero. Rozpisując
układ równań kanonicznych otrzymamy:
R1 =r11 Å"Z1 ƒÄ…r12 Å"Z ƒÄ…r13 Å"Z3 ƒÄ…r1­Ä…=0
2
R2 =r21 Å"Z1 ƒÄ…r22 Å"Z ƒÄ…r23 Å"Z3 ƒÄ…r2­Ä…=0
2
R2 =r31 Å"Z1 ƒÄ…r32 Å"Z2 ƒÄ…r33 Å"Z3 ƒÄ…r3­Ä…=0
Ponieważ układ podstawowy jest identyczny jak dla obciążenia zewnętrznego wartości r pozostaną
ik
niezmienione. Wystarczy obliczyć jedynie wartości r .
i"
(" )
Zadany obrót węzła 5 stanie się dodatkowym kątem obrotu Ć = -0,002 rad.
5
Nieznane kąty obrotu cięciwy prętów powstałe w wyniku działania zadanych osiadań obliczymy zapisując
równania łańcucha kinematycznego układu.
È23(")
È12(")
2 3
1
È25(")
1
È34(")
È01(")
3
0,005 m
0 5 4
0,004 m
0,006 m
[m]
6 2 4
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19
Część 2 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
3
Śą 43 0,005 ƒÄ…4 Å"Íąśą­Ä…źą=0 Ò! Íąśą­Ä…źą=-0,00125 rad
34 34
Śą523 4 Å"Íąśą­Ä…źą=0 Ò! Íąśą­Ä…źą=0
25 25
Żą 5234 -2 Å"Íąśą­Ä…źąƒÄ…6 Å"Íąśą­Ä…źą=0,006 Ò! Íąśą­Ä…źą=0,001 rad
25 23 23
Żą 0125 0,004 ƒÄ…6 Å"Íąśą­Ä…źąƒÄ…2 Å"Íąśą­Ä…źą=0 Ò! Íąśą­Ä…źą=-0,000śą6źąrad
12 25 12
Śą0123 3 Å"Íąśą­Ä…źąƒÄ…1 Å"Íąśą­Ä…źą=0 Ò! Íąśą­Ä…źą=0,000śą2źąrad
01 12 01
(") (")
PodstawiajÄ…c wartoÅ›ci ¨ , Ć , oraz EJ do wzorów transformacyjnych otrzymamy wartoÅ›ci momentów w
ik 5
stanie ":
3 EJ
śą­Ä…źą
M = Ôąśą­Ä…źą-Íąśą­Ä…źą =-1,3940 [kNm]
śą źą
01 0 01
3
3 Å"1,389 EJ
śą­Ä…źą
M = Ôąśą­Ä…źą-Íąśą­Ä…źą =2,8649 [kNm]
śą źą
21 2 12
37
ćą
2 EJ
śą­Ä…źą
M = 2 Ôąśą­Ä…źąƒÄ…Ôąśą­Ä…źą-3 Íąśą­Ä…źą =-5,6107 [kNm]
śą źą
25 2 5 25
20
ćą
2 EJ
śą­Ä…źą
M = Ôąśą­Ä…źąƒÄ…2 Ôąśą­Ä…źą-3 Íąśą­Ä…źą =-11,2215 [kNm]
śą źą
52 2 5 25
20
ćą
2 Å"1,389 EJ
śą­Ä…źą
M = 2 Ôąśą­Ä…źąƒÄ…Ôąśą­Ä…źą-3 Íąśą­Ä…źą =-8,7132 [kNm]
śą źą
23 2 3 23
6
2 Å"1,389 EJ
śą­Ä…źą
M = Ôąśą­Ä…źąƒÄ…2 Ôąśą­Ä…źą-3 Íąśą­Ä…źą =-8,7132 [kNm]
śą źą
32 2 3 23
6
2 EJ
śą­Ä…źą
M = 2 Ôąśą­Ä…źąƒÄ…Ôąśą­Ä…źą-3 Íąśą­Ä…źą =11,7619 [kNm]
śą źą
34 3 4 34
4
2 EJ
śą­Ä…źą
M = Ôąśą­Ä…źąƒÄ…2 Ôąśą­Ä…źą-3 Íąśą­Ä…źą =11,7619 [kNm]
śą źą
43 3 4 34
4
r1"
1
r2" È23=
z3=1
1
-8,7132 12
È12=-
2,8649
12
2 3 r3" 1 2 3
1
1
È25= 1
1 1
È34=
4
-5,6107
13
4
11,7619
È01=
3 3
36
-1,3940
0 5
5
0 4 4
-11,2215
[m] [m]
6
6 2 4 2 4
[kNm]
r1­Ä…-śą-8,7132źą-śą-2,8649źą=0 Ò! r1­Ä…=-11,4590 [kNm]
r2­Ä…-11,7619 -śą-8,7132źą=0 Ò! r2­Ä…=3,0487 [kNm]
Ä…
r3­Ä…Å"1 -1,3940 ÍÄ…01 ƒÄ…2,8649 ÍÄ…12 ƒÄ…śą-5,6107-11,2215źąÍÄ…25 ƒÄ…śą-8,7132-8,7132źąÍÄ…23 ƒÄ…
Ä… Ä… Ä… Ä…
ƒÄ…śą11,7619ƒÄ…11,7619źąÍÄ…34 =0 Ò! r3­Ä…=0,5214 [kN ]
Ä…
Obliczone wartości r podstawiamy do układu równań kanonicznych i obliczamy wartości niewiadomych
i"
kątów obrotu węzłów i przesuwu:
2,5055 EJ Z1 ƒÄ…0,4630 EJ Z -0,3941 EJ Z3 -11,4590 =0
2
0,4630 EJ Z1 ƒÄ…1,9260 EJ Z -0,4908 EJ Z3 ƒÄ…3,0487 =0
2
{
-0,3941 EJ Z1-0,4908 EJ Z ƒÄ…0,5097 EJ Z3 ƒÄ…0,5214 =0
2
EJ Z1 =5,1275
EJ Z =-2,7377
2
{
EJ Z3 =0,3054
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19
Część 2 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
4
Obliczmy zatem wartości momentów przywęzłowych:
M =-13 EJ Z3 -1,3940 =-1,5043 [kNm]
01
36
4,167 1,389
M = EJ Z1ƒÄ… EJ Z3 ƒÄ…2,8649 =6,3949 [kNm]
21
37 4 37
ćą ćą
4 1,5
M = EJ Z1 - EJ Z3 -5,6107 =-1,1270 [kNm]
25
20 20
ćą ćą
2 1,5
M = EJ Z1 - EJ Z3 -11,2215 =-9,0308[kNm]
52
20 20
ćą ćą
2,778
M = EJ Z1 ƒÄ…1,389 EJ Z2 -1,389 EJ Z3 -8,7132 =-5,2680 [kNm]
23
3 3 12
1,389 2,778 1,389
M = EJ Z1ƒÄ… EJ Z2- EJ Z3 -8,7132 =-8,9096 [kNm]
32
3 3 12
3
M =EJ Z - EJ Z3 ƒÄ…11,7619 =8,9097 [kNm]
34 2
8
1 3
M = EJ Z - EJ Z3 ƒÄ…11,7619 =10,2785 [kNm]
43 2
2 8
Sprawdzenie równowagi momentów w węzłach:
8,9096
5,2680
6,3949
2 3
1
8,9097
1
1,1270
3
10,2785
0 4
5
9,0308
1,5043
[m]
6 2 4
[kNm]
węzeł 2: 6,3949 -1,1270 -5,2680 =-0,0001 [kNm]H"0
węzeł 3: 8,9096 -8,9097 =-0,0001 [kNm]H"0
Tnące i normalne obliczamy wycinając myślowo kolejne pręty i równoważąc węzły:
N10
M : 1,5043 -T Å"3 =0
"
1 01
1
T10
Ò! T =0,5014 [kN ]
01
3
X:T =T
"
01 10
0
1,5043
Y: N =N
"
01 10
T01
N01
N34 T34
M : 8,9097 ƒÄ…10,2785 ƒÄ…T Å"4 =0
3 "
3 43
8,9097
Ò! T =-4,7971 [kN ]
43
4
X:T =T
"
34 43
4
Y: N =N
10,2785
"
34 43
T43 N43
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19
Część 2 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
5
M : 5,2680 ƒÄ…8,9096 -T Å"6 =0
"
2 32
8,9096
N23 5,2680
N32
Ò! T =2,3629 [kN ]
32
3
T23 2 X:T =T
"
T32 23 32
X: N =N
"
23 32
6
N32
X: N -4,7971 =0
"
32
Ò! N =N =4,7971 [kN ]
2,3629
32 23
Y: N -2,3629 =0
"
34
4,7971
Ò! N =N =2,3629 [kN ]
34 43
N34
1 4
sin·Ä…= sin ¸Ä…=
37 20
ćą ćą
6 2
cos·Ä…= cos ¸Ä…=
37 20
ćą ćą
N25 T25
1,1270
2
M : 1,1270 ƒÄ…9,0308 -T Å" 20=0
ćą
"
2 52
4 Ò! T =2,2714 [kN ]
52
(":T =T
"
25 52
²
5 9,0308
Śą: N =N
"
25 52
T52 N52
2
6,3949 N21
M : 6,3949 ƒÄ…T Å" 37=0
ćą
"
1 21
T12
Ò! T =-1,0513 [kN ]
2
1 21
Ä…
1 T21
Śą:T =T
"
12 21
N12
(": N =N
"
12 21
6
6 1
N12 X: -0,5014 ƒÄ…N Å" -1,0513 Å" =0
"
12
37 37
ćą ćą
Ä… 1,0513
Ò! N =0,6835 [kN ]
12
1 6
Y:
" -N ƒÄ…N Å" ƒÄ…1,0513 Å" =0
0,5014 10 12
37 37
ćą ćą
N10
Ò! N =1,1491 [kN ]
10
1 6 4
X : 4,7971 ƒÄ…1,0513 Å" -0,6835 Å" -2,2714 Å" ƒÄ…
"
37 37 20
ćą ćą ćą
4,7971
2
0,6835
ƒÄ…N Å" =0 Ò! N =-5,0627 [kN ]
25 25
Ä…
2,3629 20
ćą
²
1,0513 6 1
2,2714
spr Y: -2,3629 -1,0513 Å" -0,6835 Å" ƒÄ…
"
37 37
ćą ćą
N25
2 4
-2,2714 Å" -śą-5,0627źąÅ" =0,0002 H"0
20 20
ćą ćą
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19
Część 2 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
6
6,3949
5,2680
8,9096
2 3
1,1270
1
8,9097
1
3
5 4
0
9,0308
1,0513 10,2785
[m]
6 2 4
M"(n) [kNm]
2,3629
+
2 3
1
-
1
-1,0513
-
+ -4,7971
3 +
0,5014 2,2714
5 4
0
[m]
6 2 4
T"(n) [kN]
4,7971
+
0,6835
2 3
+
1
1
-5,0627
-
+
2,3629
3
+
1,1491
5 4
0
[m]
6 2 4
N"(n) [kN]
" Kontrola kinematyczna
n 0
Ä…
Ä… Ä…
1Å"ºÄ…= dx- RÅ"­Ä…
"+"M Å"M "
EJ
Obliczmy zatem zerowy kąt obrotu Ć węzła 5 dla nowego układu podstawowego:
5
1
2 3
1
1
1
3
1
5 4
0
1
1
[m]
6 2 4
M0 [ - ]
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19
Część 2 OBLICZENIE RAMY METOD
PRZEMIESZCZEC
7
1 1 Å"9,0308 Å" 20Å"1 -1 Å"1,1270 Å" 20Å"1 ƒÄ… 1
ÔÄ…5 = Å"1 Å"5,2680 Å"6 Å"1 -
ćą ćą
[
6273 2 2 1,389 2
1
- Å"1 Å"8,9096 Å"6 Å"1 ƒÄ…1 Å"8,9097 Å"4 Å"1 -1 Å"10,2785 Å"4 Å"1 -1 Å"0,002 =0 [m]
]
1,389 2 2 2
" Sprawdzenie statyczne:
2 3
1
1
3
1,5043 10,2785
4
5
0
9,0308
4,7971
0,5014
2,2714
2,3629
1,1491
5,0627
[m]
6 2 4
4 2
X: -0,5014 -2,2714 Å" -5,0627 Å" ƒÄ…4,7971 =-0,00001 [kN ]H"0
"
20 20
ćą ćą
2 4
Y: -1,1491 -2,2714 Å" ƒÄ…5,0627 Å" -2,3629 =0,00042 [kN ]H"0
"
20 20
ćą ćą
M : 10,2785 -1,5043-9,0308 -1,1491 Å"śą6ƒÄ…2źąƒÄ…2,3629 Å"4 =0,00220 [kNm]H"0
"
5
Agnieszka Sysak Gr 3 2004-04-19