PROJEKT 4
PRZYKA
AD 1
METODA PRZEMIESZCZEC

Zakład Statyki i Bezpieczeństwa Budowli
[e-mail]
Instytut Inżynierii Lądowej
Politechnika Wrocławska
(C)opyright 2000 dr inż. Stanisław Biernat
PRZYKA
AD 1  metoda przemieszczeń
1. TREŚĆ ZADANIA
UWAGA
Belkę pokazaną na Rys.1 rozwiązać metodą przemieszczeń. Przyjąć: q = 2 kN/m
q
2EJ 1EJ 1EJ
6 m 4 m 3 m
Rys. 1 Schemat statyczny
2. STOPIEC
GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNOÅšCI
2.1 Podział układu na elementy, dla których dane są wzory transformacyjne
W zadaniu przyjęto numerację węzłów oraz typy prętów tak jak pokazano na Rys. 2.
UWAGA 1
s - p
s - s s - s
A 1 2
B
s - s : element "sztywno - sztywny"
s - p : element "sztywno - przegubowy"
1, 2 : węzły sztywne łączace przyjęte elementy
Rys. 2 Numeracja węzłów i typy prętów
Z przyjętego podziału na elementy wynika, że:
 dla pręta A-1 i pręta 1-2 stosować będziemy wzory transformacyjne w postaci :
EJij
o
Mij = (4Õi + 2Õ - 6È )+ Mij
j ij
Lij
 dla pręta 2-B stosować będziemy wzór transformacyjny w postaci :
EJ2B
o
M2B = (3Õ2 + 0 - 3È ) + M2B
2B
L2B
2.2 Liczba stopni swobody obrotu wÄ™złów nÕ
Õ
Õ
Õ
Liczba stopni swobody obrotu wezłów wynosi nÕ=2 gdyż koÅ„ce przyjÄ™tych elementów
połączone są w 2 węzłach sztywnych (oznaczonych jako 1 i 2) mających swobodę obrotu.
2.3 Wyznaczenie liczby stopni swobody przesuwu wÄ™złów n´
´
´
´
Do wyznaczenia liczby stopni swobody przesuwu węzłów budujemy model układu o
węzłach przegubowych (Rys. 3).
A 1 2
B
Rys. 3 Model układu o węzłach przegubowych
2
PRZYKA
AD 1  metoda przemieszczeń
Liczba stopni swobody przesuwu speÅ‚nia warunek : n´ e"2w-p-r=2*7 - 6 - 8 = 0,
gdzie : w = 7 - liczba węzłów,
p = 6 - liczba prętów w modelu,
r = 8 - liczba więzi podporowych.
Wynika stąd, że aby układ o węzłach przegubowych był geometrycznie niezmienny nie trzeba
dodawać więzi. Oznacza to, że liczba stopni swobody przesuwu wynosi 0.
2.4 Stopień geometrycznej niewyznaczalności
wynosi wiec: ng = nÕ + n´ = 2 + 0 = 2
3. UKA
AD PODSTAWOWY
UkÅ‚ad podstawowy tworzymy z ukÅ‚adu danego przez dodanie nÕ wiÄ™zi rotacyjnych i n´ wiÄ™zi
translacyjnych (w tym przykładzie tylko 2 więzi rotacyjne), co przekształca dany układ w
układ geometrycznie wyznaczalny pokazany na rysunku 4 poniżej (czerwonymi kwadratami w
węzłach sztywnych 1 oraz 2 zaznaczono więzi rotacyjne - momentowe).
q
2
A 1
B
Rys. 4 Układ podstawowy metody przemieszczeń
4. ROZWI
ZANIA UKA
ADU PODSTAWOWEGO DLA SKA
ADOWYCH STANÓW
OBCI
ŻEC

4.1 DANE
obciążenia : q = 2 kN/m
o o
momenty w węzłach sztywnych : , ,
M1 = 0 M2 = 0
długości prętów : LA1 = 6 m, L12 = 4 m, L2B = 3 m
sztywności prętów : , ,
EJA1 = 2EJ EJ12 = 1EJ EJ2B = 1EJ
4.1 STAN OBCI
ŻENIA DANEGO
Należy pamiętać, że poszczególne stany obciążeń rozpatrujemy rozłącznie, to jest, że
stanowi obciążeÅ„ danych towarzyszy Õ1=Õ2=0, a to oznacza, że do wzorów
transformacyjnych podstawiamy Õ1=Õ2=0.
Dla elementów przyjętych w punkcie 2.1 momenty brzegowe odczytujemy z tablic lub
otrzymujemy w wyniku rozwiązania metodą sił lub całkując równanie różniczkowe pręta -
patrz wykład. Obciążenia działające na poszczególne elementy i wykresy momentów
zginających pokazano na rysunku 5 poniżej.
q
M1A
M21 MB2
2
1 B
A
MA1 M12 M2B
6 m 4 m 3 m
Rys. 5 Momenty brzegowe od obciążenia zewnętrznego
3
PRZYKA
AD 1  metoda przemieszczeń
Momenty brzegowe odpowiednio wynoszÄ…:
o o
0,
MA1 = M1A =
q Å"(L12)2 2 Å"(4)2
o o
= 2.667 kNm
M21 = -M12 = =
12 12
q Å" (L2B)2 2 Å" (3)2 o
o
= -2.25 kNm
MB2 = 0
M2B = - = -
8 8
Rys. 6 Wykres momentów M0
4.2 STAN Õ1=1 (Õ2=0 oraz obciążenie dane = 0)
Õ Õ
Õ Õ
Õ Õ
Rys. 7 Odkształcona konstrukcja w pierwszym stanie rotacyjnym
Momenty brzegowe wynoszÄ… :
EJ1A 2EJ 2EJ
M1 = Å" (2 Å"1) = Å" 2 =
A1
L1A 6 3
EJ1A 2EJ 4EJ
1
M1A = Å" (4 Å"1) = Å" 4 =
L1A 6 3
EJ12 EJ
1
,
M12 = Å" (4 Å"1) = Å" 4 = EJ
L12 4
EJ12 EJ EJ
1
,
M21 = Å" (2 Å"1) = Å" 2 =
L12 4 2
1
M2B = 0
,
1
MB2 = 0
,
Rys. 8 Wykres momentów M1
4
PRZYKA
AD 1  metoda przemieszczeń
4.3 STAN Õ2=1 (Õ1=0 oraz obciążenie dane = 0)
Õ Õ
Õ Õ
Õ Õ
Rys. 9 Odkształcona konstrukcja w drugim stanie rotacyjnym
W tym stanie do wzorów transformacyjnych podstawiamy: Õ2=1, Õ1=Mij0=0
Momenty brzegowe wynoszÄ…:
2
MA1 = 0,
2
M1A = 0
EJ12 EJ EJ
2
,
M12 = Å" (2 Å"1) = Å"2 =
L12 4 2
EJ12 EJ
2
,
M21 = Å" (4 Å"1) = Å" 4 = EJ
L12 4
EI2B EJ
2
M2B = Å" (3 Å"1) = Å"3 = EJ,
L2B 3
2
MB2 = 0,
Rys. 10 Wykres momentów M2
5. UKA
AD ROWNAC
KANONICZNYCH METODY PRZEMIESZCZEC

5.1 POSTAĆ OGÓLNA
W zadaniu mamy dwie niewiadome metody przemieszczeń - obroty węzłów sztywnych 1
oraz 2, więc układ równań kanonicznych ma następujący wygląd :
k11 Å" Õ1 + k12 Å" Õ2 + k1o = 0
Å„Å‚
òÅ‚
Å" Õ1 + k22 Å" Õ2 + k2o = 0
ółk21
5.2 WSPÓA
CZYNNIKI
1 1 ëÅ‚ öÅ‚ 7
4
1 Õ
k11 = + k1 = M1A + M12 + 0 = + 1 Å" EJ = Å" EJ = 2.333 Å" EJ
ìÅ‚ ÷Å‚
"M1 j
3
j íÅ‚3 Å‚Å‚
5
PRZYKA
AD 1  metoda przemieszczeń
2 EJ
k12 = M12 =
= 0.5 Å" EJ
2
o o
o o
(0
k1o = M1 j - M1 = M1A + M12 - 0 = - 2.667)kNm = -2.667kNm
"
j
1 EJ
=
k21 = M21 = k12
= 0.5 Å" EJ
2
2 2
2 Õ
(1
k22 = + k2 = M21 + M2B + 0 = +1)Å" EJ = 2 Å" EJ
"M2 j
j
o o
o o
(2.667
k2o = - M2 = M21 + M2B + 0 = + -2.25)Å" kNm = 0.417 Å" kNm
"M2 j
j
5.3 ROZWI
ZANIE UKA
ADU RÓWNAC

2.333EJ Å" Õ1 + 0.5EJ Å" Õ2 - 2.667 = 0
Å„Å‚
òÅ‚
0.5EJ Å" Õ1 + 2EJ Å" Õ2 + 0.417 = 0
ół
1.255 - 0.522
Õ1 = Õ2 =
EJ EJ
6. RZECZYWISTE SIA
Y PRZEKROJOWE
Rzeczywiste siły przekrojowe to siły występujące w układzie wyjściowym - statycznie
niewyznaczalnym.
6.1 MOMENTY BRZEGOWE
Momenty brzegowe określimy korzystając z zasady superpozycji na podstawie wzoru:
1 2 o
Mij = Mij Å" Õ1 + Mij Å" Õ2 + Mij
M1 M2 MO
Õ1 Õ2 M
MA1 = 0,667 * 1,255 + 0,000 * -0,522 + 0,000 = 0,837 kNm
M1A = 1,333 * 1,255 + 0,000 * -0,522 + 0,000 = 1,673 kNm
M12 = 1,000 * 1,255 + 0,500 * -0,522 + -2,667 = -1,673 kNm
M21 = 0,500 * 1,255 + 1,000 * -0,522 + 2,667 = 2,772 kNm
M2B = 0,000 * 1,255 + 1,000 * -0,522 + -2,250 = -2,772 kNm
MB2 =
0,000 * 1,255 + 0,000 * -0,522 + 0,000 = 0,000 kNm
Siły tnące brzegowe określimy korzystając ze statycznych równań równowagi elementów
przy wyznaczonych już momentach brzegowych z uwzględnieniem obciążenia
zewnętrznego na elementach.
Siły osiowe brzegowe określimy korzystając ze statycznych równań równowagi wyciętych
węzłów z uwzględnieniem już wyznaczonych brzegowych sił tnących oraz obciążeń
działających w węzłach.
UWAGA 2
6
PRZYKA
AD 1  metoda przemieszczeń
6.2 WYKRESY SIA
PRZEKROJOWYCH
MRZ
[kNm]
TRZ
[kN]
NRZ
[kN]
Rys. 11 Wykresy rzeczywistych sił przekrojowych
7. KONTROLA ROZWI
ZANIA
Aby mieć pewność, że rozwiązanie jest poprawne należy wykazać, że jest ono statycznie i
kinematycznie dopuszczalne.
" Pierwszy warunek oznacza, że siły muszą spełniać równania równowagi. Warunek ten
został sprawdzony w trakcie wyznaczania sił tnących i osiowych. Gdyby któreś z równań
okazało się sprzeczne oznaczałoby to, że rozwiązanie nie spełnia równań równowagi.
" Sprawdzenie drugiego warunku polega na sprawdzeniu czy wynikajÄ…ce z rozwiÄ…zania
przemieszczenia w poszczególnych punktach spełniają warunki podparcia i ciągłości.
Wystarczy sprawdzenie tylu składowych przemieszczeń ile wynosi stopień statycznej
niewyznaczalności.
Rozwiązywane zadanie jest trzykrotnie statycznie niewyznaczalne. Wystarczy więc sprawdzić
3 przemieszczenia - na przykład: czy składowe pionowe przemieszczeń węzłów 1, 2 oraz B
są - zgodnie z warunkami podparcia  równe zero. W tym celu przekształcimy schemat
naszego układu na statycznie wyznaczalny przez usunięcie podpór w węzłach 1, 2 oraz B i
obciążymy go w miejscach usuniętych więzi kolejno pionową siłą jednostkową skierowaną w
dół oraz wyznaczymy momenty zginające (patrz rysunek 12 poniżej).
M1
[m]
7
PRZYKA
AD 1  metoda przemieszczeń
M2
[m]
MB
[m]
Rys. 12 Wykresy momentów w układzie statycznie wyznaczalnym
Następnie obliczymy przemieszczenia w miejscach i na kierunkach usuniętych podpór
korzystajÄ…c ze znanego wzoru:
i
M Å" MR
"i = Å" dx
"
+"
EJ
przy czym do obliczenia całek zastosujemy wzór Simpsona. Sprawdzenia dokonano w
przykładzie tylko dla przemieszczenie pionowego punktu 1:
6 - 0.00024
"1 = Å" (0.83648 Å" 6 - 4 Å" -0.41826 Å" 3 + -1.673 Å" 0) = m
6 Å" 2EJ EJ
Otrzymana wartość powinna być mała w stosunku do rzeczywistych przemieszczeń.
Porównajmy ją z rzeczywistymi ugięciami belki (np. z maksymalnym ugięciem
´max=2.2217/EJ odczytanym i pokazanym na rysunku poniżej):
Rys. 13 Wykres rzeczywistych ugięć belki
- 2.2217 "1 0.00024
´max =
m
= = 0.00011 = 0.011% E" 0 !
EJ
´max 2.2217
Widzimy, że błąd względny wynosi około setnej procenta, co przy obliczaniu momentów z
dokładnością do 0.001 jest wynikiem zaokrągleń. Możemy więc uznać, że z wystarczająca
dokładnością spełniony jest warunek "1=0.
Otrzymany błąd daje jednocześnie informację, z jaką dokładnością zostały określone
wielkości stanowiące rozwiązanie zadania.
8
PRZYKA
AD 1  metoda przemieszczeń
8. Tabelaryczne zestawienie danych ułatwiających prowadzącemu weryfikację
obliczeń i wyników
Przygotowane powinny być następujące tablice danych: UWAGA 3
1. prętów,
2. węzłów sztywnych,
3. sprężyn translacyjnych
4. obciążeń zastępczych
Poniżej dla tego zadania zaprezentowano zestawione tablice wraz z komentarzem (student w
zadaniu projektowym) przygotowuje jedynie tablice opisujÄ…c je z boku :
1. tablica danych o prętach - kolejno w wierszach umieszczamy 9 danych o każdym
pręcie :
- węzeł lewy i,
- węzeł prawy j,
- długość L,
- sztywność EJ,
- typ pręta typ,
- kÄ…t obrotu ciÄ™ciwy prÄ™ta w pierwszym stanie suwnym È1
- kÄ…t obrotu ciÄ™ciwy prÄ™ta w drugim stanie suwnym È2
- moment brzegowy od obciążenia zewnętrznego na początku pręta Mo
- moment brzegowy od obciążenia zewnętrznego na końcu pręta
typ pręta określa jego zamocowanie na lewym
i j L EJ typ È1 È2 Mo
końcu (pierwsza cyfra) oraz na prawym końcu
A 1 6 2 11 0 0 0 0
(druga cyfra), gdzie :
1 2 4 1 11 0 0 -2,667 2,667
0 - to przegub, 1 - zamocowanie sztywne, 2 -
2 B 3 1 10 0 0 -2,25 0
łyżwa, 3 - swobodny koniec na wsporniku (a więc
pręt 11 jest sztywno-sztywny, 02 - przegub-
UWAGA 4
łyżwa itd.)
2. tablica węzłów sztywnych - kolejno w wierszach umieszczamy trzy dane każdego węzła
sztywnego:
- numer węzła sztywnego (kolejno : 1,2 ...),
- sztywność sprężyny rotacyjnej (jeśli nie ma wpisujemy 0),
- skupiony moment węzłowy (dodatni - zgodnie z ruchem wskazówek zegara)
Zarówno dla węzła 1 jak i 2 nie występują w zadaniu sprężyny rotacyjne
1 0 0
oraz obciążenie tych węzłów w postaci momentów skupionych.
2 0 0
3. tablica sprężyn translacyjnych - w tym zadaniu sprężyny translacyjne nie występują.
4. tablica obciążeń zastępczych - występuje tylko dla zadań o liczbie stopni swobody
przesuwu wÄ™złów - n´>0, a wiÄ™c w tym zadaniu nie jest potrzebna
9