METODA 3-CH MOMENTÓW
METODA 3-CH MOMENTÓW
METODA 3-CH MOMENTÓW
METODA 3-CH MOMENTÓW
I
I
I
I
METODA PRZEMIESZCZEC

METODA PRZEMIESZCZEC

METODA PRZEMIESZCZEC

METODA PRZEMIESZCZEC

W UKA
ADACH BELKOWYCH
W UKA
ADACH BELKOWYCH
W UKA
ADACH BELKOWYCH
W UKA
ADACH BELKOWYCH
Przykład nr 1.1
Wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych w belce przedstawionej na rysunku 1.1
(EJ = const.) metodą 3-ch momentów. Otrzymane wyniki zweryfikować metodą
przemieszczeń.
2 kN/m 10 kN 15 kNm
2 EJ EJ 2 EJ
2 2 2
Rys.1.1 Belka statycznie niewyznaczalna dla przykładu 1.1
(długości przęseł podane są w metrach ).
Metoda 3-ch Momentów.
Na początku musimy obliczyć statyczną niewyznaczalność układu.
S = 2
Dany układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.
W celu rozwiązania układu metodą 3-ch momentów sporządzam układ równań, który
w naszym przypadku wygląda następująco:
x0Å"l'1 + 2Å"x1Å" l'1 + l'2 + x2Å" l'2 N1p
( )
x1Å"l'2 + 2Å"x2Å" l'2 + l'3 + x3Å"l'3 N2p
( )
Kolejnym krokiem jest wyznaczenie długości sprowadzonych  l` (długości zastępczych)
wg następującego wzoru:
l`= lk · EJ`/EJk
gdzie:
lk to długość rzeczywista przęsła,
EJk to sztywność rzeczywista przęsła,
EJ`to sztywność porównawcza.
Przyjmuję że EJ`= 2EJ i wg wzoru na obliczenie długości sprowadzonych otrzymuję:
l`1 = 2 m l`2 = 4 m l`3 = 2 m
X0 X1 X2 X3
L`1 L`2 L`3
Rys. 1.2 Model zastępczy belki.
Następnie przystępuje do obliczeń niewiadomych N1p i N2p korzystają ze wzorów
transformacyjnych . Jak widać z Rys. 1.2 momenty skrajne tj. X0 i X3 równe są zero.
Dla k =1
1
îÅ‚1 ëÅ‚ 1öÅ‚3Å‚Å‚
#
3
( )
ïÅ‚
N1p := -q Å" l1 Å"l'1Å" ¾ - ¾ d¾ + -PÅ"l2Å"l'2Å" - śł
( )2 õÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
!#0
2
ðÅ‚2 íÅ‚ Å‚Å‚ ûÅ‚
2
N1p = -34Å"kNÅ"m
dla k = 2
îÅ‚1 ëÅ‚ 1öÅ‚3Å‚Å‚
1
ïÅ‚
N2p := -PÅ"l2Å"l'2Å" - śł
+ MÅ"l'3Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4
ðÅ‚2 íÅ‚ Å‚Å‚ ûÅ‚
2
N2p = -22.5Å"kNÅ"m
Rozwiązujac układ równiań otrzymujemy szykane niewiadome:
X1 = -2,484 kNm, X2 = -1,047 kNm
Mając szukane wielkości momentów przywęzłowych obliczamy reakcje i sporządzamy
wykresy momentów i sił tnących.
2 kN/m 10 kN 15 kNm
2 EJ EJ 2 EJ
2 2 2
-8,023
a)
-2,484
-1,047
3,234
6,977
2 2 2
b)
5,719
0,758
-3,242
-4,281
-6,977
2 2 2
Rys.1.3 Belka a) wykres momentów [kNm], b) wykres sił tnących [kN].
Metoda Przemieszczeń.
Metodę przemieszczeń zaczynamy od przyjęcia układu podstawowego dla którego
tworzymy układ równań kanoniczny. I tak:
a)
2 kN/m 10 kN 15 kNm
2 EJ EJ 2 EJ
2 2 2
Ć1 Ć2
b)
2 kN/m 10 kN 15 kNm
2 EJ EJ 2 EJ
2 2 2
Rys.2.1 Belka a) układ rzeczywisty b) układ podstawowy.
Dla układu obciążonymi siłami zewnętrznymi układ kanoniczny ma postać:
r11 Å" Ć + r12 Å" Ć + R1p 0
1 2
r21 Å" Ć + r22 Å" Ć + R 0
1 2 2p
W celu wyznaczenia współczynników r11, r12, r21, r22, R1p i R2p wykonujemy wykresy
momentów zgodnie z poznanymi wzorami transformacyjnymi przy Ć1 = 1 i Ć2 = 1 oraz
od obciążenia siłami zewnętrznymi.
Ć1
a)
3EJ
EJ
2 EJ
Ć2
b)
2 EJ
EJ
3EJ
2,5
2,5
c)
1
1,875
Rys.2.2 Belka a) od Ć1 = 1 b) od Ć2 = 1 c) od obciążeń zewnętrznych.
Poszczególne współczynniki wyznaczamy z równowagi węzłów:
r11 = 3EJ + 2EJ = 5EJ
r12 = EJ
r21 = EJ
r22 = 3EJ + 2EJ = 5EJ
R1p = 1  2,5 =  1,5
R2p = 2,5+1,875 = 4,375
Rozwiązując układ równań otrzymujemy:
Ć1 = 95/192 · 1/EJ
Ć2 =( 187/192)· 1/EJ
wartości te wstawiamy do wzorów transformacyjnych otrzymując końcowe wartości
momentów na poszczególnych końcach prętów. Wykresy momentów przedstawiono na
poniższym rysunku.
2 kN/m 10 kN 15 kNm
2 EJ EJ 2 EJ
2 2 2
-8,023
a)
-2,484
-1,047
3,234
6,977
2 2 2
b)
5,719
0,758
-3,242
-4,281
-6,977
2 2 2
Rys.2.3 Belka a) wykres momentów [kNm], b) wykres sił tnących [kN].