METODA 3-CH MOMENTÓW
METODA 3-CH MOMENTÓW
METODA 3-CH MOMENTÓW
METODA 3-CH MOMENTÓW
I
I
I
I
METODA PRZEMIESZCZEC

METODA PRZEMIESZCZEC

METODA PRZEMIESZCZEC

METODA PRZEMIESZCZEC

W UKA
ADACH BELKOWYCH
W UKA
ADACH BELKOWYCH
W UKA
ADACH BELKOWYCH
W UKA
ADACH BELKOWYCH
Przykład nr 1.1
Wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych w belce przedstawionej na rysunku 1.1
(EJ = const.) metodą 3-ch momentów. Otrzymane wyniki zweryfikować metodą
przemieszczeń.
10 kN
6 kN/m
2 EJ EJ 3 EJ
4 2 2
2
Rys.1.1 Belka statycznie niewyznaczalna dla przykładu 1.1
(długości przęseł podane są w metrach ).
Metoda 3-ch Momentów.
Na początku musimy obliczyć statyczną niewyznaczalność układu.
S = 2
Dany układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.
W celu rozwiązania układu metodą 3-ch momentów sporządzam układ równań, który
w naszym przypadku wygląda następująco:
x0Å"l'1 + 2Å"x1Å" l'1 + l'2 + x2Å" l'2 N1p
( )
x1Å"l'2 + 2Å"x2Å" l'2 + l'3 + x3Å"l'3 N2p
( )
Kolejnym krokiem jest wyznaczenie długości sprowadzonych  l` (długości zastępczych)
wg następującego wzoru:
l`= lk · EJ`/EJk
gdzie:
 lk to długość rzeczywista przęsła,
EJk to sztywność rzeczywista przęsła,
EJ` to sztywność porównawcza.
Przyjmuję że EJ`= 2EJ i wg wzoru na obliczenie długości sprowadzonych otrzymuję:
l`1 = 0 m l`2 = 4 m l`3 = 4 m
10 kN
X0 X1 X2 X3 = -12
2 EJ EJ
L`1 L`2 L`3
Rys. 1.2 Model zastępczy belki.
Następnie przystępuje do obliczeń niewiadomych N1p i N2p korzystają ze wzorów
transformacyjnych . Jak widać z Rys. 1.2 momenty skrajne tj. X0 = 0 i X3 = -12 kNm.
Dla k =1
3
N1p = - Å"PÅ"l'2Å"l2
8
2
N1p = -60Å"kNÅ"m
dla k = 2
3
N2p = - Å"PÅ"l'2Å"l2
8
2
N2p = -60Å"kNÅ"m
Rozwiązujac układ równań otrzymujemy szukane niewiadome:
X1 = -8,143 kNm, X2 = 1,286 kNm
Mając szukane wielkości momentów przywęzłowych obliczamy reakcje i sporządzamy
wykresy momentów i sił tnących.
10 kN
6 kN/m
2 EJ EJ 3 EJ
4 2 2
2
-12
a)
-8,143
1,286
6,571
-12
b)
7,357
-2,643
-6,643
Rys.1.3 Belka a) wykres momentów [kNm], b) wykres sił tnących [kN].
Metoda Przemieszczeń.
Metodę przemieszczeń zaczynamy od przyjęcia układu podstawowego, dla którego
tworzymy układ równań kanonicznych. I tak:
10 kN
6 kN/m
2 EJ EJ 3 EJ
4 2 2
2
Ć
10 kN
6 kN/m
2 EJ EJ 3 EJ
4 2 2
2
Rys.2.1 Belka a) układ rzeczywisty b) układ podstawowy.
Dla układu obciążonymi siłami zewnętrznymi układ kanoniczny ma postać:
r11 · Ć + R1p = 0
W celu wyznaczenia współczynników r11, R1p wykonujemy wykresy momentów
zgodnie z poznanymi wzorami transformacyjnymi przy Ć = 1 oraz od obciążenia siłami
zewnętrznymi.
Ć
10 kN
6 kN/m
2 EJ EJ 3 EJ
4 2 2
2
Ć
a)
2 EJ
3
EJ
EJ
2
b)
5 5
-12
6
Rys.2.2 Belka a) od Ć = 1 b) od obciążeń zewnętrznych.
Poszczególne współczynniki wyznaczamy z równowagi węzłów:
r11 = 2EJ + 3/2EJ = 3,5EJ
R1p = 5 + 6 = 11
Rozwiązując układ równań otrzymujemy:
Ć = - R1p / r11 => Ć = - 3,143· 1/EJ
wartości te wstawiamy do wzoru:
Mik = MĆ · Ć +Mp
otrzymując końcowe wartości momentów na poszczególnych końcach prętów.
Wykresy momentów przedstawiono na poniższym rysunku.
10 kN
6 kN/m
2 EJ EJ 3 EJ
4 2 2
2
-12
a)
-8,143
1,286
6,571
-12
b)
7,357
-2,643
-6,643
Rys.2.3 Belka a) wykres momentów [kNm], b) wykres sił tnących [kN].