Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów
Zakres zastosowań. Belki wieloprzęsłowe statycznie niewyznaczalne.
Implementacje numeryczne.
Rozwiązanie wieloprzęsłowych belek statycznie niewyznaczalnych
mo\
na ułatwić w znaczącym stopniu przez dobranie odpowiedniego
schematu podstawowego oraz zastosowanie szczególnej postaci metody
sił zwanej metodą trzech momentów.
Przęsła
N-1
1
i+1
i
1 2
N
i N-1
i-1
i+1
Podpory  brak przegubów !!!
Liczba sił hiperstatycznych n=N-2
Rozwa\
my dowolnie obciÄ…\
oną wieloprzęsłową belkę statycznie
niewyznaczalną. Najbardziej dogodnym schematem zastępczym
(podstawowym), będzie schemat, w którym przerwiemy ciągłość belki
przez wprowadzenie przegubów nad podporami i przyjmiemy
nadliczbowe niewiadome w postaci momentów podporowych.
Rozwa\
my dwa sąsiednie, dowolnie wybrane przęsła belki li oraz li+1, o
ró\
nej sztywności Ei Ii, Ei+1 Ii+1, ale stałej na całej długości przęsła.
Załó\
my tak\
e jako wiodący wpływ momentów (wpływ sił normalnych
i poprzecznych w belce zginanej jest znikomy).
Równanie kanoniczne metody sił dla n sił hiperstatycznym, podane w
zapisie macierzowym
FX + "F = 0
mo\
na przedstawić w postaci  dla wiersza nr i
n
fij X + "iF = 0, i = 1,K, n
" j
j=1
W ka\
dym wierszu nr i tylko 3 współczynniki fij będą niezerowe, tzn.
fi,i-1, fi,i, fi,i+1
Wyznaczanie współczynników równań kanonicznych.
li
1
fi,i-1 =
+"M Midx
EiIi 0 i-1
li li+1
1 1
2 2
fi,i =
i+1
+"M dx + Ei+1Ii+1 +"M dx
EiIi 0 i
0
li+1
1
fi,i+1 =
+"M Mi+1dx
Ei+1Ii+1 0 i
li li+1
1 1
"iF =
g,i+1
+"M Midx + Ei+1Ii+1 +"M Mi+1dx
EiIi 0 gi
0
Całkowanie graficzne  wzór Wereszczagina
l
2 2
M M dx = &!M
g g gc
+"
0
Wykres momentów gnących Mg
C
Mg
&! - pole
x
wykresu Mg
xc
Mgc = axc + b
Mg
prosta y = ax + b
Wykres Mg dla uogólnionej siły jednostkowej
Xi+1
Xi-1 Xi
Xi
Ri+1,L
Ri-1,P
Ri,L Ri,P
li+1
li
ai
bi
ai+1
+
bi+1
Mg,i+1
Mgi &!i
&!i+1
bi+1/li+1
ai/li
Xi=1
Xi=1
Mi+1
Mi
Czyli
&!iai &!i+1bi+1
"iF = +
EiIili Ei+1Ii+1li+1
Xi+1
Xi-1 Xi
Xi
Ri+1,L
Ri-1,P
Ri,L Ri,P
li+1
li
li/3
2li/3
2li+1/3
+
li+1/3
Xi-1=1
li/2
Xi+1=1
li+1/2
Mi+1
Mi-1
2/3
2/3
1/3
1/3
Xi=1
Xi=1
li/2
Mi li+1/2
Mi
Czyli
1 1 1 li
ëÅ‚
fi,i-1 = Å"li Å"1Å" Å"1öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
EiIi íÅ‚ 2 3 6EiIi
Å‚Å‚
1 1 2 1 1 2
ëÅ‚ ëÅ‚
fi,i = Å"li Å"1Å" Å"1öÅ‚ + Å"li+1 Å"1Å" Å"1öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
EiIi íÅ‚ 2 3 Ei+1Ii+1 íÅ‚ 2 3
Å‚Å‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 li li+1 ÷Å‚
ìÅ‚
= Å"ìÅ‚ +
3 EiIi Ei+1Ii+1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 li+1
ëÅ‚
fi,i+1 = Å"li+1 Å"1Å" Å"1öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
Ei+1Ii+1 íÅ‚ 2 3 6Ei+1Ii+1
Å‚Å‚
Po uporzÄ…dkowaniu
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
li li li+1 ÷Å‚ li+1 &!iai &!i+1bi+1 ÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚
Xi-1 + 2XiìÅ‚ + + Xi+1 = -6ìÅ‚ +
EiIi EiIi Ei+1Ii+1 ÷Å‚ Ei+1Ii+1 EiIili Ei+1Ii+1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład. Wyznaczyć wykres momentów gnących belki ciągłej.
EI=const.
F
Fl
x
l
l l
l
RozwiÄ…zanie. Dokonujemy redukcji belki do postaci
Fl
Fl
która daje mo\
liwość zastosowania metody trzech momentów
X2
X3=0
X1=0
Podpory skrajne
-Fl
-Fl


Mg2
Mg1
X2=1
+
+
M2
M2
czyli
ëÅ‚ öÅ‚
l l l l 1 Fl2 1 1 Fl2 1
öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
X1 + 2X2ëÅ‚ + + X3 = -6ìÅ‚- -
ìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚
EI EI EI EI EI 2 3 EI 2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
StÄ…d otrzymamy
1
X = Fl
2
2
a poszukiwany wykres momentów gnących
Fl
Fl


+ x
Fl/2
Mg