Wykład 7
1. Moment bezwładności bryły sztywnej
Moment pędu (definicja) dla punktu materialnego o masie:
r
r r r r
L = r × p = r × m Å" v
(1)
Wzór (1) stosujemy dla punktu materialnego. Co się wydarzy, gdy
mamy do czynienia z ciałem będącym zbiorem wielu punktów. Takie
ciało nazywamy bryłą sztywną. Bryła sztywna jest to ciało, którego
dwa dowolne punkty nie zmieniają odległości względem siebie,
podczas ruchu. Własność ta oznacza, \
e bryła jest  sztywna . Naszym
zadaniem jest obliczenie momentu pędu bryły sztywnej obracającej
się z pewną prędkością kątową. Dzielimy ją  rozkładamy na bardzo
wiele prawie punktowych mas. Moment pędu ka\
dej z tych mas (i 
tej masy) jest określony zale\
nością:
Rys. Moment bezwładności bryły sztywnej
r
r r r r
Li = ri × pi = ri × mi Å" vi
(2)
Znamy związek między prędkością liniową i kątowej punktu i - tego
r r r
vi = É × ri
(3)
Po podstawieniu otrzymamy:
r
Li r r r r r
= ri × vi = ri × (É × ri )
(4)
mi
KorzystajÄ…c z zale\
ności na podwójny iloczyn wektorowy:
r r r
r r r r r r
a ×(b × c)= b(a Å" c)- c(a Å" b)
otrzymujemy wzór na monet pędu i  tej masy:
r
Li r r r r r
= ri × vi = ri × (É × ri) =
mi
(5)
r r r
r
= Éri2 - ri(É Å" ri)
Moment pędu bryły sztywnej otrzymamy sumując momenty pędu
wszystkich cząstek, na które  rozło\
yliśmy bryłę sztywną. Będzie on
równy:
r r
r r r r
L =
"L ="m (Éri2 - ri(É Å" ri))
i i
(6)
i i
Wprowadz
my nową wielkość, zdefiniowaną następująco (uwaga
zmiana symbolu sumowania):
r r
IĆ = (rk2´ij - rkirkj )
"mk
(7)
k
Jest to moment bezwÅ‚adnoÅ›ci bryÅ‚y sztywnej, gdzie ´ij to delta
Kronekera, zdefiniowaną następująco:
1 gdy i = j
Å„Å‚
´ij =
òÅ‚
(8)
ół0 gdy i `" j
Otrzymujemy podstawowy związek między momentem pędu a
prędkością kątową:
r
r
L = IĆ Å"É
(9)
Moment pędu jest proporcjonalny do prędkości kątowej.
Współczynnikiem proporcjonalności jest tu moment bezwładności
bryły sztywnej.
Zadanie: Czy wektory momentu pędu i prędkości kątowej bryły
sztywnej zawsze są równoległe?
Definicja momentu bezwładności (7):
r r
IĆ = Iij =
"m (rk2´ij - rkirkj )
k
k
Moment bezwładności jest tensorem 2  go rzędu (macierzą o
wymiarze 2).
îÅ‚ Å‚Å‚
Ixx Ixy Ixz
ïÅ‚I Iyy Iyz śł
IĆ = Iij =
yx
ïÅ‚ śł
ïÅ‚Izx Izy Izz śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Rozpiszmy równanie pamiętając, \
e wektor poło\
enia k  tego punktu:
r
rk = [xk , yk , zk ]
(10)
Obliczymy element I11, gdzie przyjmujemy oznaczenie
1 = x; 2 = y; 3 = z;
Ixx = I11 =
"m (rk2´11 - xk xk ) =
k
k
2 2 2 2
= (xk + yk + zk - xk )
"mk
k
(11)
2 2
=
"m ( yk + zk )
k
k
Obliczymy element I12:
Ixy = Iyx = (rk2´12 - xk yk ) =
"mk
k
(12)
= -
"m xk yk
k
k
gdzie wartość siły określa zale\
ność:
Analogicznie obliczany wartość pozostałych składowych tensora
momentu bezwładności.
Ixz = Izx = -
"m xk zk
k
k
Iyz = Izy = - yk zk
"mk
k
2 2
Iyy =
"m (xk + zk )
k
(13)
k
2 2
Izz = (xk + yk )
"mk
k
Ostatecznie tensor momentu bezwładności jest to macierz:
îÅ‚
2 2
-
"m ( yk + zk ) -"m xk yk "m xk zk Å‚Å‚
k k k
ïÅ‚ śł
k k k
ïÅ‚ śł
2 2
IĆ = Iij = - xk yk (xk + zk ) - zk yk śł
ïÅ‚ "mk "mk "mk
k k k
ïÅ‚ śł
2 2
- -
ïÅ‚
"m xk zk "m zk yk "m (xk + yk )śł
k k k
ðÅ‚ k k k ûÅ‚
(14)
Wzory powy\
sze określają moment bezwładności dla ciał (bryły
sztywnej) o rozkładzie dyskretnym. Takie ciała to np.: cząsteczki
wody (H2O), O2, N2, i inne NH4, CH2CH5OH
Aby znalez
ć (wyznaczyć) moment bezwładności bryły sztywnej,
musimy wyznaczyć 6 ró\
nych wartości. A to dlatego, i\
tensor
momentu bezwładności jest tensorem symetrycznym:
Iij = I
ji (15)
np.
I = I
xy yx
Moment bezwładności określamy względem określonego, z góry
wybranego układu odniesienia. Ka\
da bryła sztywna posiada zatem
nieskończoną ilość momentów bezwładności. Istnieją jednak pewne
układy odniesienia, w których moment bezwładności na szczególnie
prostą postać. W układzie osi głównych moment bezwładności jest
macierzÄ… diagonalnÄ…, mamy zatem 3 elementy do wyznaczenia:
Ixx, Iyy, Izz.
îÅ‚ Å‚Å‚
2 2
( yk + zk ) 0 0
"mk
ïÅ‚ śł
k
ïÅ‚ śł
2 2
Iij = 0 (xk + zk ) 0
ïÅ‚ "mk śł
k
(16)
ïÅ‚ śł
2 2
0 0 (xk + yk )śł
ïÅ‚
"mk
ðÅ‚ k ûÅ‚
Ka\
da bryła ma swój układ osi głównych, wynikający z symetrii bryły.
Wniosek: zanim zaczniesz obliczać moment bezwładności bryły
sztywnej zastanów się na wyborem układu odniesienia, w którym
dokonasz obliczeń. W układzie osi głównych masz o połowę mniej
pracy.
Przykład: były Platońskie (idealne)
http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid
Diagonalizacja macierzy  sposobem na znalezienie układu osi
głównych
Je\
eli bryła sztywna obraca się wokół jednej osi, tensor momentu
bezwładności sprowadza się do jednej liczby (skalara). Dla takiego
przypadku moment bezwładności jest równy:
I = ri2
"mi
(17)
i
2. Moment bezwładności bryły sztywnej, ciągły rozkład
masy
W przypadku ciał rzeczywisty mamy do czynienia z wielką ilością
atomów (~1023) zatem korzystanie z powy\
szych wzorów jest
wykluczone. Zakładamy ciągły, a nie dyskretny, rozkład masy.
Wówczas sumy staną się sumami nieskończonej ilości nieskończenie
małych przyrostów.
Całkujemy rpo elemencie masy, który jest określony przez iloczyn
Á(r ) dV = dxdydz
gęstości i objętości (w układzie kartezjańskim).
Definicja tensora momentu bezwładności dla ciągłego rozkładu masy:
r
Ixx = y2 + z2) dm = Á(r )(y2 + z2) dxdydz
(18a)
+"( +"
r
2
Iyy = Á(r )(x2 + z2)dxdydz
(18b)
+"(x + z2)dm =+"
r
2
Izz = Á(r )(x2 + y2)dxdydz
(18c)
+"(x + y2)dm =+"
r
Ixy = Iyx = - x ydm = - Á(r)x y dxdydz
(18d)
+" +"
r
I = I = - x z dm = - Á (r ) x z dx dy dz
xz zx
(18e)
+" +"
r
I = Izy = - z ydm = - Á(r )z y dxdydz
yz (18f)
+" +"
Tensor momentu bezwładności  6 ró\
nych elementów do obliczenia
Je\
eli bryła sztywna obraca się wokół jednej osi, tensor momentu
bezwładności sprowadza się do jednej liczby (skalar).
Moment bezwładności jest równy:
r
2
I = dm = Á(r )r2dV
(19)
+"r +"
Przykład
1. moment bezwładności pręta
a) oś obrotu przechodzi przez koniec pręta
a) oś obrotu przechodzi przez środek pręta
2. kula i sfera 3. walec
Rysunek dolny  moment bezwładności identyczny jak dla pręta
W powy\
szych wypadkach moment bezwładności liczony względem
jednej osi jest liczbÄ….
Moment bezwładności zale\
y od wyboru osi obrotu. Gdy znamy
moment bezwładności, wówczas znajdziemy moment bezwładności
tej\
e bryły względem osi od niej równoległej i odległej o d, na
podstawie twierdzenia Steinera.
Twierdzenie Steinera:
2
I = I0 + md
(20)
I0
I
gdzie: - szukany moment bezwładności - moment bezwładności
względem osi przechodzącej przez środek masy, d  odległość między
osiami (równoległymi).
Przykład:
a) pręt
2
1 L
2
I = I0 + md = mL2 + mëÅ‚ öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
12 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 (21)
öÅ‚
= mL2ëÅ‚ + = mL2
ìÅ‚ ÷Å‚
3
íÅ‚12 4 Å‚Å‚
3. Energia kinetyczne w ruchu obrotowym
Energia kinetyczna bryły sztywnej jest sumą energii kinetycznej
punktów materialnych:
r r r r
1 1
T = mvi2 = m(É × ri )(É × ri )
" "
(22)
2 2
i i
W ogólnym przypadku jest to wielkość bardzo trudna do obliczenia
(zale\
y od tensora momentu bezwładności). W układzie osi głównych
tensor momentu bezwładności to tylko trzy elementy, i wówczas
energia kinetyczna jest równa:
1 r r 1
2 2
T = É Å" IĆ Å"É = (I11É12 + I22É2 + I33É3 )
(23)
2 2
lub
L2 L2 L2
1 2 3
T = + +
(24)
2I11 2I22 2I33
Gdy bryła sztywna obraca się względem jednej osi, otrzymujemy
znany wzór:
1
T = IÉ2
(25)
2
4. Ruch postępowy i ruch obrotowy
Moment siły jest równy pochodnej po czasie momentu pędu (II
zasada dynamiki dla ruchu obrotowego):
r
r
dL
M =
(26)
dt
Wiemy, \
e dla bryły sztywnej, równanie (9):
r
r
L = IĆ Å"É
Mamy:
r
r r
r
r
dL d(IĆ Å"É) dÉ
M = = = IĆ = IƵ
(27)
dt dt dt
Otrzymaliśmy inną postać II zasady dynamiki dla ruchu
obrotowego.
r
r
M = IĆ Å"µ
(28)
gdzie:
r
r
dÉ
µ =
jest to przyśpieszenie kątowe, zaś M  moment siły, I
dt
 moment bezwładności.
Porównanie wielkości i własności (praw) dla ruchu postępowego i
obrotowego
Tabela.
Ruch postępowy Ruch obrotowy
m  masa (skalar)
IĆ
 moment bezwładności
(macierz rzędu 2)
r r
r dr dÕ
v = É =
 prędkość  prędkość kątowa
dt dt
r r
r
r dv dÉ
a = µ =
 przyśpieszenie  przyśpieszenie kątowe
dt dt
r r
r r r r r
L = r × p = r × m Å" v L = IĆ Å"É
moment pędu
moment pędu
r r
r r
F = ma M = IĆ Å"rµ
r
r r
dp dL
F = M =
dt dt
II zasada dynamiki II zasada dynamiki
1 1
T = mv2 T = IÉ2
2 2
energia kinetyczna energia kinetyczna
Przykład
Ziemia jako bÄ…k  precesja ruchu Ziemi.
Precesja lub ruch precesyjny - zjawisko występujące wówczas, gdy
ciało obracające się dookoła osi zostanie poddane momentowi siły
posiadającemu składową prostopadłą do momentu pędu. Wtedy to oś
obrotu ciała zaczyna wykonywać ruch kreśląc sobą powierzchnię w
kształcie bocznej powierzchni sto\
ka (bÄ…k  zabawka i jego precesja).
OÅ› Ziemi wykonuje ruch po powierzchni bocznej sto\
ka. Zjawisko to
jest wywołane przez siły grawitacyjne Księ\
yca i Słońca. Dodatkowo
Ziemia nie jest kulÄ…!
Rys Precesja Ziemi.
Oś ziemska kreśli na tle nieba okrąg. Zakreślenie pełnego okręgu trwa
26 tysięcy lat.
Rys. Precesja osi obrotu Ziemi (kierunek północny)
Gwiazda Polarna wskazuje północ. Kierunek północny wykonuje
precesjÄ™.
Zadanie:
Co powoduje, \
e mamy pory roku?
http://www.youtube.com/watch?v=IEwAry0GARw
What Causes Earth's Seasons?
http://www.youtube.com/watch?v=DuiQvPLWziQ&feature=related