Momenty bezwładności figur płaskich - definicje i wzory
Dana jest figura płaska o polu A oraz prostokątny układ współrzędnych Oxy.
y
dA
y
A
x
x
O
Momentem bezwładności figury względem osi x jest
I = y2dA .
x
+"
A
Momentem bezwładności figury względem osi y jest
I = x2dA .
y
+"
A
Momentem dewiacyjnym figury względem prostokątnego układu osi x i y jest
I = xydA .
xy
+"
A
Z definicji momentów bezwładności wynika, że mogą być one tylko dodatnie.
Natomiast moment dewiacyjny może być dodatni, ujemny lub równy zero.
W przypadku równoległego przesunięcia osi układu korzystamy z twierdzenia
Steinera, wyrażonego poniższymi wzorami:
y
yc
b
A
xc
C(b, a)
a
O
x
I = I + A �" a2
x xc
I = I + A �" b2
y yc
I = I + A �" a �" b
xy xc yc
gdzie osie xc i yc są osiami centralnymi, natomiast b i a są współrzędnymi punktu C w
układzie Oxy. Z rysunku wynika, że są to odległości między osiami.
Osiowe momenty bezwładności oraz dewiacyjny moment figury względem osi
centralnych można wyznaczyć korzystając z przekształconych wzorów Steinera:
I = I - A �" a2
xc x
I = I - A �" b2
yc y
I = I - A�" a �" b .
xc yc xy
Przyjmijmy prostokątny układ współrzędnych O�� obrócony o kąt Ć względem układu
Oxy. Współrzędne dowolnego punktu figury płaskiej spełniają zależności:
� = x cos Ć + y sin Ć
� = y cos Ć - x sin Ć.
y
A
�
y
Ć
�
�
�
Ć
x
x
O
Wykorzystując te zależności wyznaczamy momenty bezwładności i moment
dewiacyjny w obróconym układzie O��:
2
I� = dA = I cos2� + I sin2 � - 2I sin �cos �
x y xy
+"�
A
2
I� = dA = I cos2 � + I sin2 � + 2I sin �cos �
y x xy
+"�
A
I�� = )sin (cos2 � - sin2 �)
x y xy
+"��dA =(I - I �cos � + I
A
lub
(I + I )+ (I - I )cos 2� - I sin 2�
x y x y
I� =
xy
2 2
(I + I ) (I - I )cos 2� + I sin 2�
x y x y
I� = -
xy
2 2
(I - I )sin 2� + I cos 2� .
x y
I�� =
xy
2
Osie układu prostokątnego, w którym moment dewiacyjny I�� = 0 nazywamy
głównymi osiami bezwładności. Kąt Ćo między osiami prostokątnego układu Oxy i układu
głównych osi bezwładności spełnia równanie:
- 2I
xy
tg 2�o =
I - I
x y
Momenty bezwładności względem głównych osi bezwładności osiągają wartości
ekstremalne:
2
I + I I - I
�# ś#
x y x y 2
ś# ź#
I1 = Imax = + + I
xy
ś# ź#
2 2
�# #
2
I + I I - I
�# ś#
x y x y 2
I2 = Imin = - ś# ź#
+ I .
xy
ś# ź#
2 2
�# #
Z powyższych wzorów wynika, że I + I = I� + I� = I1 + I2
x y
Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość
I1 = Imax tworzy z osią x kąt �1 , natomiast główna oś bezwładności, względem której
2
moment bezwładności ma wartość I2 = Imin tworzy z osią x kąt �2 . Kierunki główne
minimalnego i maksymalnego momentów bezwładności wyznaczamy następująco:
Ą
1. Ix > Iy to �1 = �o , natomiast �2 = �o +
2
Ą
2. Ix < Iy to �1 = �o + , natomiast �2 = �o
2
Ą Ą
3. Ix = Iy , Ixy > 0 to �1 = - , natomiast �2 =
4 4
Ą Ą
4. Ix = Iy , Ixy < 0 to �1 = , natomiast �2 = - .
4 4
Znak dodatni bądz
ujemny kąta Ć ilustruje poniższy rysunek.
y y
Ć > 0
x x
O O
Ć < 0
O głównych centralnych osiach bezwładności mówimy wówczas, gdy układ osi
głównych ma początek w środku ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej. Momenty
bezwładności względem tych osi nazywamy głównymi centralnymi momentami
bezwładności.
Jeżeli jedna z osi układu współrzędnych jest osią symetrii figury płaskiej, to moment
dewiacyjny figury w takim układzie współrzędnych jest równy zero.
W przypadku wyznaczania momentów bezwładności i momentu dewiacyjnego figury
złożonej będziemy stosować metodę superpozycji, traktując rozpatrywaną figurę jako sumę
figur elementarnych, takich jak np. prostokąt, trójkąt i fragment koła. Korzystać będziemy z
wartości momentów bezwładności i momentu dewiacyjnego dla wymienionych figur.
1. Prostokąt
y yc
b
2
y
dA=dxdy
dy
y
xc
h
h
C
h
2
x
x
x
O
O
b
dx
b
b h
1
I = y2dA = y2dxdy = bh3
x
+" +"+"
3
A 0 0
3
b h
1
I = x2dA = x2dxdy = hb3
y
+" +"+"
3
A 0 0
b h
1
I = xydA = xydxdy = b2h2
xy
+" +"+"
4
A 0 0
2 2
h 1 h 1
�# ś#
I = I - A �" = bh3 - bh �"�# ś# = bh3
ś# ź# ś# ź#
xc x
2 3 2 12
�# # �# #
2 2
b 1 b 1
�# ś#
I = I - A�" = hb3 - bh �"�# ś# = hb3
ś# ź# ś# ź#
yc y
2 3 2 12
�# # �# #
b h 1 b h
�# ś# �# ś# �# ś# �# ś#
I = I - A�" �" = b2h2 - bh �" �" = 0
ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
xc yc xy
2 2 4 2 2
�# # �# # �# # �# #
2. Trójkąt
b
y
yc
y
3
dA=dxdy
h h
dy xc
C
y h
3
x
x
x
O O
h b
dx
y=- �" x + h
b b
x
�# ś#
Ą# ń#
h 1- ź#
ś#
b
b �# #
ó# Ą#
1
I = y2dA = y2dyĄ#dx = bh3
x ó#
+" +"ó# +"
12
A 0 0
Ą#
Ł# Ś#
x
�# ś#
Ą# ń#
h 1- ź#
ś#
b
b �# #
ó# Ą#
1
I = x2dA = x2dyĄ#dx = hb3
y ó#
+" +"ó# +"
12
A 0 0
Ą#
Ł# Ś#
x
�# ś#
Ą# ń#
h 1- ź#
ś#
b
b �# #
ó# Ą#
1
I = xydA = xydyĄ#dx = h2b2
xy ó#
+" +"ó# +"
24
A 0 0
Ą#
Ł# Ś#
2 2
h 1 1 h 1
�# ś# �# ś#
I = I - A�" = bh3 - bh �" = bh3
ś# ź# ś# ź#
xc x
3 12 2 3 36
�# # �# #
2 2
b 1 1 b 1
�# ś# �# ś#
I = I - A �" = hb3 - bh �" = hb3
ś# ź# ś# ź#
y y
c
3 12 2 3 36
�# # �# #
b h 1 1 b h 1
�# ś# �# ś# �# ś#
I = I - A�"�# ś# �" = b2h2 - bh �" �" = - b2h2
ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
xc yc xy
3 3 24 2 3 3 72
�# # �# # �# # �# #
4
3. Ćwiartka koła
4r
yc
y
3Ą
y
d�
dA=�dĆd�
�
xc
C
dĆ 4r
y=�sinĆ
Ć
3Ą
x
x
O O
r
x=�cosĆ
r
Ą
r
2
1
2 4
I = y2dA = sin2��d�d� = Ąr
x
+" +"+"�
16
A 0 0
Ą
r
2
1
2 4
I = x2dA = cos2��d�d� = Ąr
y
+" +"+"�
16
A 0 0
Ą
r
2
1
2 4
I = xydA = sin�cos��d�d� = r
xy
+" +"+"�
8
A 0 0
2 2
4r 1 1 4r
�# ś# �# ś#
4 2 4
I = I - A�" = Ąr - Ąr �" E" 0.05488r
ś# ź# ś# ź#
xc x
3Ą 16 4 3Ą
�# # �# #
2 2
4r 1 1 4r
�# ś# �# ś#
4 2 4
I = I - A �" = Ąr - Ąr �" E" 0.05488r
ś# ź# ś# ź#
yc y
3Ą 16 4 3Ą
�# # �# #
2 2
4r 1 1 4r
�# ś# �# ś#
4 2 4
I = I - A �" = r - Ąr �" E"
ś# ź# ś# ź# -0.01647r
xc yc xy
3Ą 8 4 3Ą
�# # �# #
4. Półkole
yc=y
xc
C 4r
3Ą
x
O
r r
1 1
4 4
I = I = 2 �" �" Ąr = Ąr
x y
16 8
5
2
Ą# ń#
1 1 4r
4 2 4
I = 2 �" Ąr - Ąr �"�# ś# Ą# E" 0.10976r
ó# ś# ź#
xc
ó#16 4 �# 3Ą # Ą#
Ł# Ś#
I = I = 0
xc yc xy
5. Kwadrat
yc
yc
xc
xc
C C
a
a
1
I = I = a4
xc yc
12
I = 0
xc yc
W przypadku kwadratu momenty bezwładności i moment dewiacyjny w dowolnym
układzie osi centralnych przyjmują podane powyżej wartości.
Przykład I
Wyznaczyć momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla poniższego trójkąta
równoramiennego w układzie Oxy.
y
a
~
yc = 2a
C
C
a
a
x
~
O
xc = -3a
3a a
yc y yc y
C2
xc xc
C C1
x x
O O
6
Wprowadzamy układ osi centralnych dla trójkąta. Oś xc jest osią symetrii figury.
Następnie dzielimy trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne.
Moment bezwładności trójkąta równoramiennego względem osi xc jest sumą
momentów bezwładności względem tej osi dwu jednakowych trójkątów prostokątnych,
stykających się podstawą z osią xc.
1 1
I = 2 �" �" 3a �" a3 = a4
xc
12 2
Moment bezwładności trójkąta równoramiennego względem osi yc jest sumą
momentów bezwładności względem tej osi dwu jednakowych trójkątów prostokątnych. Na
osi yc leżą środki ciężkości obu trójkątów, a więc
1 3
3
I = 2 �" a �"(3a) = �" a4
yc
36 2
Moment dewiacyjny trójkąta równoramiennego względem układu osi xcyc jest równy
zero, gdyż oś xc jest osią symetrii rozpatrywanej figury.
I = 0
xc yc
Aby wyznaczyć momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla trójkąta
równoramiennego w układzie Oxy należy skorzystać z twierdzenia Steinera. Pole powierzchni
trójkąta wynosi
1
A = �"3a �" 2a = 3a2 .
2
1
2
2
~
I = I + A�" y = a4 + 3a2 �"(2a) = 12.5a4
x xc
2
3
2
~
I = I + A �" xc 2 = a4 + 3a2 �"(- 3a) = 28.5a4
y yc
2
~ ~
I = I + A�" xc �" yc = 0 + 3a2 �"(- 3a)�" 2a = -18a4
xy xc yc
Przykład II
Wyznaczyć momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla poniższego trójkąta w
układzie współrzędnych Oxy.
10
a
y y yc
3
D
8a 8a
3a
C
5a 6a 5a 6a
B
3a 3a
2a 2a
A
O x O x
2a 6a 2a 6a
4a 4a
Rozpatrywaną figurę otrzymamy odejmując figurę II od figury I.
7
10 10
a a
y y
yc1 yc2
3 3
8a
5a
6a
xc1
xc2
3a
C1
C2
4a
2a 2a
3a
4a
4a
O O
2a 6a x 2a 6a x
figura I figura II
1 10
~ ~
AI = �" 4a �" 6a = 12a2 , xc1 = a , yc1 = 4a ,
2 3
1 10
~ ~
AII = �" 4a �"3a = 6a2 , xc2 = a , yc2 = 3a .
2 3
A = AI - AII = 12a2 - 6a2 = 6a2
Moment bezwładności względem osi x wyznaczymy jako różnicę momentu
bezwładności względem osi x figury I i figury II.
I II I II
~ ~
I = I - I = I + AI �" yc12 -(I + AII �" yc2 2)=
x x x xc1 xc 2
1 1
3 2 Ą# 2 2 ń#
= �" 4a �"(6a) +12 a2�"(4a) - �" 4a �"(3a) + 6a2 �"(3a) = 159a4
ó#36 Ą#
36
Ł# Ś#
W przypadku wyznaczania momentu bezwładności względem osi y nie musimy
dzielić figury. Bok BD trójkąta jest równoległy do osi y i do osi yc . Moment bezwładności
względem osi yc obliczymy korzystając ze wzoru
1 1 16
3
I = �" b �" h3 = �" 3a �"(4a) = a4
yc
36 36 3
Moment bezwładności względem osi y wyznaczymy z wykorzystaniem wzoru Steinera
2
16 10
�#
4
~
I = I + A �" xc 2 = a4 + 6a2 �" aś# = 72a
ś# ź#
y yc
3 3
�# #
W celu obliczenia momentu dewiacyjnego traktujemy rozpatrywany trójkąt jako
różnicę figury I i figury II.
I II II
~ ~ ~ ~
I = I - I = I + AI �" xc1 �" yc1 -(I + AII �" xc2 �" yc2)=
xy xy xy xc1yc1 xc 2 yc2
1 10 1 10
2 2 Ą# 2 2
= - �"(4a) �"(6a) +12a2 �" a �" 4a - (4a) �"(3a) + 6a2 a �" 3ań# = 94a4
ó#- Ą#
72 3 72 3
Ł# Ś#
Przykład III
Wyznaczyć momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla poniższej figury w
układzie współrzędnych Oxy.
8
 y
7a 8a
x
a
O
a
4a
5a
Przed wyznaczeniem momentu bezwładności rozpatrywanej figury względem osi x
dokonamy jej podziału na dwa prostokąty, tak żeby każdy prostokąt jednym bokiem stykał się
z osią x.
y
y
7a 8a 7a 8a
x x
a a
a a
4a 4a
5a 5a
1 1
3
I = �" a �"(8a) + �" 4a �" a3 = 172a4
x
3 3
W celu obliczenia momentu bezwładności figury względem osi y dokonamy jej
podziału na dwa prostokąty, z których każdy jednym bokiem styka się z osią y.
1 1
3
I = �" 7a �" a3 + �" a �"(5a) = 44a4
y
3 3
Dla wyznaczenia momentu dewiacyjnego zastosujemy jeszcze inny podział.
a
y 4a
y y y
7a 8a
5a
x x x
x
a
9
Do obliczeń przyjmujemy figury składowe, zgodne z powyższym rysunkiem. Dwa
prostokąty o wymiarach 8a x a i a x 5a mają część wspólną w postaci kwadratu o boku a, dla
którego moment dewiacyjny będzie uwzględniony dwukrotnie. Należy więc w obliczeniach
moment dewiacyjny dla tego kwadratu, traktowanego jako trzecia figura, przyjąć ze znakiem
minus.
1 1 1
2 2
I = �"(8a) �" a2 + �" a2 �"(5a) - �" a2 �" a2 = 22a4 .
xy
4 4 4
10