Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH
2.1. Definicje podstawowych charakterystyk geometrycznych
Podczas zajęć z wytrzymałości materiałów spotkamy się z następującymi charakterystykami
geometrycznymi figur płaskich:
" pole powierzchni figury,
" moment statyczny figury względem danej osi,
" moment bezwładności figury względem danej osi,
" moment dewiacji (odśrodkowy) względem danych osi,
" biegunowy moment bezwładności,
" promień bezwładności,
" wskaz
nik wytrzymałości,
" rdzeń przekroju.
Omówimy teraz pierwszych sześć, pozostałe w toku dalszych wykładów i ćwiczeń.
Rozważmy figurę płaską, pokazaną na rys.2.1, stanowiącą obszar A, określony w
kartezjańskim układzie osi ( X, Y)
Y Y1
A
dA
x
a x1
y1
y
X1
b
X
Rys. 2.1
Polem powierzchni tej figury nazywamy:
A = dA [m2 ] ( > 0).
+"+"
A
Momentem statycznym figury płaskiej o polu A względem osi X nazywamy :
Sx = y dA [m3 ] ( >, =, < 0).
+"+"
A
Momentem statycznym figury płaskiej o polu A względem osi Y nazywamy :
S = x dA [m3 ] ( >, =, < 0).
y
+"+"
A
Obliczamy momenty statyczne tej figury względem nowych osi (X1, Y1) przesuniętych o a i b
względem osi (X, Y). Ponieważ:
y1 = y -b i x1 = x - a ,
to:
11
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Sx1 = y1 dA = (y - b)dA = Sx - b A,
+"+" +"+"
A A
S = x1 dA = (x - a)dA = S - a A.
y1 y
+"+" +"+"
A A
Sx1 = Sx - b A, S = S - a A (2.1)
y1 y
gdzie: a i b współrzędne początku nowego układu w starym.
Postawmy teraz takie zadanie: mając osie (X,Y) znaleść położenie nowych osi (Xc,Yc)
względem których momenty statyczne będą równe zero.
Z równania (2.1) łatwo otrzymujemy współrzędne początku nowego układu osi (Xc,Yc)
względem których momenty statyczne są równe zero:
S
Sx
y
xc = ; yc = (2.2)
A A
Punkt C o współrzędnych określonych wzorami (2.2) nazywać będziemy środkiem ciężkości
figury płaskiej, a osie, które przechodzą przez środek ciężkości nazywamy osiami
centralnymi.
Osie centralne figury płaskiej to osie względem których jej momenty statyczne są równe zero.
A
Wzory (2.2) pozwalają wyznaczyć moment z
C
statyczny figury względem dowolnej osi, bez
konieczności całkowania, jeśli tylko znamy
h
jej pole powierzchni A i położenie jej środka
Sz = hA
ciężkości C.
Zdefiniujemy teraz kolejno momenty bezwładności, moment dewiacji i biegunowy moment
bezwładności.
Y
Y1
x1 A
dA
a
x
Á
y y1
X
O
b
X1
Rys. 2.2
Momentem bezwładności figury płaskiej o polu A (rys.2.2) względem osi X nazywamy:
J = y2 dA [m4 ] ( > 0).
x
+"+"
A
Momentem bezwładności figury płaskiej o polu A względem osi Y nazywamy:
J = x2 dA [m4 ] ( > 0).
y
+"+"
A
12
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Momentem dewiacji figury płaskiej o polu A względem układu osi (X,Y) nazywamy:
J = xy dA [m4 ] ( >, =, < 0).
xy
+"+"
A
Biegunowym momentem bezwładności figury płaskiej o polu A względem bieguna O nazy-
wamy:
2
J0 = Á dA [m4 ] ( > 0).
+"+"
A
2 2
Ponieważ: Á = x2 + y , to Å‚atwo zobaczyć, że: J0 = J + J co pozwala stwierdzić, że:
x y
biegunowy moment bezwładności względem dowolnego punktu równa się sumie
momentów bezwładności względem dwóch do siebie prostopadłych osi przechodzących
przez ten punkt.
Obliczmy momenty bezwładności i dewiacji tej figury względem nowych osi (X1, Y1)
przesuniętych o a i b względem osi (X, Y). Ponieważ:
y1 = y +b i x1 = x + a , to:
2
J = y1 dA = (y + b)2 dA = (y2 + 2by + b2)dA = J + 2b Sx + b2 A ,
x1 x
+"+" +"+" +"+"
A A A
2
J = x1 dA = (x + a)2 dA = (x2 + 2ax + a2)dA = J + 2 a S + a2 A ,
y1 y y
+"+" +"+" +"+"
A A A
J = x1y1 dA = + a)(y + b)dA = J + aSx + bS + abA .
x1y1 xy y
+"+" +"+"(x
A A
Jeśli stare osie (X,Y) są osiami centralnymi to Sx = 0 oraz S = 0 i otrzymujemy wzory
y
stanowiące treść twierdzenia Steinera:
J = J + b2 A
x1 xc
J = J + a2 A (2.3)
y1 yc
J = J + ab A
x1y1 xcyc
gdzie: J , J , J , momenty bezwładności i dewiacji względem osi centralnych zgodnie
xc yc xcyc
równoległych z osiami (X1,Y1), a i b współrzędne środka ciężkości figury w układzie (X1, Y1).
Wyznaczymy teraz momenty bezwÅ‚adnoÅ›ci i dewiacji wzglÄ™dem ukÅ‚adu osi (¾,·) obróconego
względem początku układu (X,Y) o kąt ą, jak to pokazane jest na rys.2.3 .
Y
A
·
dA
x
¾
¾
·
Ä…
y
X
Ä…
Rys. 2.3
13
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
A
atwo zobaczyć, że współrzędne punktu w nowym układzie związane są ze współrzędnymi w
starym układzie poprzez zależności:
¾ = x cosÄ… + y sinÄ…; · = - x sinÄ… + y cosÄ… ,
co można zapisać w postaci macierzowej:
¾ cosÄ…, sinÄ… öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
x
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ,
=
ìÅ‚· ÷Å‚ ìÅ‚- sinÄ…, cosÄ… ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚ ìÅ‚
y÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
cosÄ…, sinÄ… öÅ‚
ëÅ‚
gdzie: ìÅ‚ - macierz przejÅ›cia od ukÅ‚adu starego do nowego, jej wiersze to
ìÅ‚-sinÄ…, cosÄ… ÷Å‚
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
współrzędne wersorów kierunkowych nowych osi w starym układzie.
Zgodnie z definicjami momentów bezwładności i dewiacji otrzymujemy:
2 2
J¾ = dA = (- x sinÄ… + y cosÄ…)2 dA = J cos2 Ä… + J sin Ä… - 2J sinÄ… cosÄ… ,
x y xy
+"+"· +"+"
A A
2 2
J· = dA = ( x cosÄ… + y sinÄ…)2 dA = J sin Ä… + J cos2 Ä… + 2J sinÄ… cosÄ… ,
x y xy
+"+"¾ +"+"
A A
J¾· = · dA= (x cosÄ… + y sinÄ…) (- xsinÄ… + y cosÄ…)dA=
+"+"¾ +"+"
A A
= J cos2 Ä… - J sin2 Ä… + J sinÄ… cosÄ… - J sinÄ… cosÄ… .
xy xy x y
Po wykorzystaniu zależności trygonometrycznych:
sin 2Ä… = 2sinÄ… cosÄ… , cos 2Ä… = cos2 Ä… - sin2 Ä…,
cos2 Ä… = (1+ cos 2Ä…) 2, sin2 Ä… = (1-cos 2Ä…) 2,
mamy ostatecznie:
J + J J - J
x y x y
J¾ = + cos 2Ä… - J sin 2Ä… ,
xy
2 2
J + J J - J
x y x y
J· = - cos 2Ä… + J sin 2Ä… , (2.4)
xy
2 2
J - J
x y
J¾· = sin 2Ä… + J cos 2Ä… .
xy
2
Warto zapamiętać te zależności. Wzory o identycznej strukturze jeszcze nie raz pojawią się w
wytrzymałości materiałów.
Bez trudu można stwierdzić, że:
J¾ + J· = J + J ,
x y
czyli, że suma momentów bezwładności figury płaskiej względem dwóch dowolnych ale
prostopadłych do siebie osi o wspólnym początku jest wielkością stałą i co możemy dodać
równa się jej biegunowemu momentowi bezwładności względem punktu początkowego.
14
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
2.2. Główne osie i momenty bezwładności
Postawimy, teraz ważne pytanie: o jaki kąt ą należy obrócić układ osi (X,Y) aby momenty
bezwładności w nowym układzie osiągnęły wartości ekstremalne.
Jest to proste zadanie poszukiwania ekstremum funkcji jednej zmiennej.
Warunki zerowania siÄ™ pochodnych momentów bezwÅ‚adnoÅ›ci J¾ i J· wzglÄ™dem kÄ…ta Ä…:
dJ¾ J - J
x y
= - 2 sin 2Ä… - 2 J cos 2Ä… = 0,
xy
dÄ… 2
dJ· J - J
x y
= 2 sin 2Ä… + 2 J cos 2Ä… = 0 ,
xy
dÄ… 2
dają jedno równanie:
J - J
x y
sin 2Ä… + J cos 2Ä… = 0 .
xy
2
Z powyższego równania, którego lewa strona to moment dewiacji J¾· wzglÄ™dem nowych osi
otrzymujemy:
2 J 2 J
1 Ä„
xy xy
tg 2Ä… = Ä… = arc tg + n (2.5)
J - J 2 J - J 2
y x y x
co dowodzi, że osie względem których momenty bezwładności osiągają wartości ekstremalne,
a moment dewiacji jest równy zero są do siebie prostopadłe. Tworzą one układ osi, który
nazywać będziemy układem głównych osi bezwładności. Zatem:
główne osie bezwładności figury płaskiej w dowolnym punkcie to dwie prostopadłe osie
względem których jej moment dewiacji jest równy zero a momenty bezwładności są
ekstremalne (główne momenty bezwładności).
Policzmy wartości głównych momentów bezwładności.
WykorzystujÄ…c wzory trygonometryczne:
tg 2Ä… 1
sin 2Ä… = ; cos 2Ä… =
Ä… 1 + tg2 2Ä… Ä… 1 + tg2 2Ä…
w których za tg 2Ä… wstawiamy wzór (2.5), podstawiamy je do wzorów na J¾ oraz J· i
otrzymujemy:
15
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
J + J J - J J + J
1 tg 2Ä… x y
x y x y
J = Ä… Ä… J = Ä…
xy
2 2 2
1 + tg2 2Ä… 1 + tg2 2Ä…
2 2
(J - J ) (J - J )
J - J 2 J
y x y x
x y xy
Ä… Ä… J = ,
xy
2 2 2 2
2 J - J
y x
(J - J ) + 4 J (J - J ) + 4 J
y x xy y x xy
îÅ‚ 2 2
Å‚Å‚ 2
J + J (J - J ) + 4 J J + J J
ëÅ‚ - J
öÅ‚
1
x y x y xy x y x y
2
ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
= Ä… = Ä… + J
xy
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
2 2
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
(J - J ) + 4 J
y x xy
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
co ostatecznie zapiszemy w postaci:
2
J + J J
ëÅ‚ - J
öÅ‚
x y x y
2
ìÅ‚ ÷Å‚
Jmax = J1 = + + J (2.6)
xy
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
J + J J
ëÅ‚ - J
öÅ‚
x y x y
2
J = J2 = - ìÅ‚ ÷Å‚
+ J
min xy
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Wzór (2.5) podaje jedynie kąt transformacji układu wyjściowego do układu głównych osi
bezwładności nie określając jednak, której osi odpowiada Jmax a której Jmin . Można
wyprowadzić zależności podające położenie tych osi; przedstawiają się one następująco:
J J
xy xy
tgÄ… = tgÄ…1 = ; tgÄ… = tgÄ…2 = (2.7)
max min
J - J J - J
y max y min
We wzorach (2.7) ąmax oznacza kąt o jaki należy
Y
umowa znaków
obrócić oś X do pokrycia się z główną osią
bezwładności względem której moment bezwładności
Ä… > 0
X
jest maksymalny. Analogicznie definiujemy kÄ…t Ä…min.
W wytrzymałości materiałów interesować nas będzie przede wszystkim położenie tzw.
głównych centralnych osi bezwładności rozważanej figury tj. osi głównych poprowadzonych
przez jej środek ciężkości.
Względem tych osi zerują się momenty statyczne, bo są one osiami centralnymi oraz moment
dewiacji, bo są one osiami głównymi.
Momenty bezwładności względem tych osi nazywać będziemy głównymi centralnymi
momentami bezwładności.
Na koniec kilka ważnych uwag praktycznych:
" jeżeli figura posiada oś symetrii, to jest ona jedną z jej głównych centralnych osi
bezwładności,
" jeżeli figura posiada dwie osie symetrii, to są one jej głównymi centralnymi osiami
bezwładności,
" przy obliczaniu momentów statycznych, bezwładności i dewiacji warto korzystać z
własności addytywności całki podwójnej (równa się ona sumie całek po obszarach
częściowych) i podzielić rozważaną figurę na części, których obliczane momenty oraz
położenie środków ciężkości znamy, a następnie zesumować te częściowe wyniki.
16
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Warto więc znać i pamiętać charakterystyki geometryczne kilku podstawowych figur
płaskich.
Y
Y
bh3
J =
bh3 x
36
J =
x
h/2
12 2h/3
hb3
X
J =
hb3 y
X
36
J =
y
12
h/2
b2 h2
h/3
J = 0 J = -
xy xy
72
b/2 b/3 2b/3
b/2
Y
Y
4
J H" 0.11r
4
x
Ä„ r
J =
X 4
x
Ä„ r
4
J =
y
X
r 4r/3
4 r
8
Ä„ r
J =
Ä„
y
J = 0
xy
4
J = 0
xy
Y
4
J E" 0.0549 r
x
4
X
J E" 0.0549 r
y
4r 3Ä„ r
4
J E" - 0.0165 r
xy
Promieniem bezwładności figury płaskiej o polu A względem dowolnej osi Z nazywamy
wartość dodatnią:
J
z
iz = [m] .
A
2.3. Przykłady
Przykład 2.3.1. Wyznaczyć główne centralne osie i momenty bezwładności danej figury
Y0 YC
płaskiej.
2
min
3
6 2
wymiary w [cm]
3
Ä…min = 33° 112
3
XC
C
3
2.648
1 2
X0
0.997
Ä…max = 56° 492
1
17
max
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
RozwiÄ…zanie
Podzielimy figurę na trzy części: trójkąt, prostokąt i półkole.
Położenie środka ciężkości:
A = 0.5 * 6 * 3 + 3 * 6 + 0.5 *Ä„ * 22 = 33.283 cm2,
Sx0 = 0.5 * 6 * 3 *1 + 3* 6 * 3 + 0.5 *Ä„ * 22 * 4 = 88.133 cm3,
S = 0.5 * 6 * 3*(- 2)+ 3* 6 *1.5 + 0.5 *Ä„ * 22 *(3+ 4 3* 2 Ä„ )= 33.183 cm3,
y0
S
33.183 Sx0 88.133
y0
xc = = = 0.997 cm, yc = = = 2.648 cm .
A 33.283 A 33.283
Momenty bezwładności i dewiacji względem osi centralnych:
6 * 33 1 3* 63 Ä„ * 24 Ä„ * 22
J = + * 3* 6 *(-1.648)2 + + 3 * 6 * 0.3522 + + *1.3522 =102.942 cm4,
xc
36 2 12 8 2
3* 63 1 6 * 33
J = + * 3 * 6 *(- 2.997)2 + + 3* 6 * 0.5032 + 0.11* 24 +
yc
36 2 12
2
Ä„ * 22 4 * 2
ëÅ‚
+ * + 2.003öÅ‚ =169.753 cm4,
ìÅ‚ ÷Å‚
2 3*Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
62 * 32 1
J = + * 3* 6 *(-1.648)(- 2.997)+ 3* 6 * 0.352 * 0.503 +
xcyc
72 2
2
Ä„ * 2 4 * 2
ëÅ‚ öÅ‚
+ * 1 .352 * + 2 .003 = 76 .364 cm4.
ìÅ‚ ÷Å‚
2 3 * Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
Główne centralne osie i momenty bezwładności:
2
J + J J
ëÅ‚ - J
öÅ‚
102.942 + 169.753
xc yc xc yc
2
ìÅ‚ ÷Å‚
Jmax = + + J = +
xcyc
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
102.942 - 169.753
ëÅ‚ öÅ‚
+ + 76.3642 = 136.347 + 83.351 = 219.698 cm4,
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
J + J J
ëÅ‚ - J
öÅ‚
102.942 +169.753
xc yc xc yc
2
Jmin = - ìÅ‚ ÷Å‚
+ J = -
xcyc
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
102.942 - 169.753
ëÅ‚ öÅ‚
- ìÅ‚ ÷Å‚
+ 76.3642 = 136.347 - 83.351 = 52.996 cm4,
2
íÅ‚ Å‚Å‚
J
76.364
xcyc
tgÄ…max = = = -1.529 Ä…max = - 56o49' ,
J - Jmax 169.753- 219.698
yc
J
76.364
xcyc
tgÄ…min = = = 0.654 Ä…min = 33o11' .
J - Jmin 169.753-52.996
yc
18
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Sprawdzenia:
J + J =102.942 + 169.753 = 272.695cm4,
xc yc
J + J = 219.698 + 52.996 = 272.694 cm4,
max min
Ä…max + Ä…min = 58o 49' + 33o 11' = 90o .
Przykład 2.3.2. Wyznaczyć główne centralne osie i momenty bezwładności układu stalowych
kształtowników walcowanych.
Y1 Y2
YC
4.173 6.817
wymiary w [cm]
2,90
X2
2
2,90
3.058
Ä…2 = 12° 302
C
2,03 1.872 Ä…1 = 77° 302
XC
X1
6.97
1
10.01
4.99 6.00 6.00
RozwiÄ…zanie
Dane z tablic profili walcowanych:
· Y
wymiary w [cm]
Y
Ä…
A = 23.2 cm2
6 10.01
¾
Jx = 532 cm4
X
A = 14.2 cm2
Jy = 145 cm4
Jx = 328 cm4
J· = 88 cm4
Jy = 215 cm4
6
X
tg Ä… = 0.366
4.99
5.8
2.03
6.97
19
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Obliczenie momentu dewiacji kątownika względem osi własnych w oparciu o dane z tablic:
J
xy
tg Ä…max = J = tg Ä…max (J - Jmax),
xy y
J - Jmax
y
osie (¾, ·) to główne centralne osie kÄ…townika, przy czym J¾ = Jmax a J· = Jmin , zatem:
J + J = J + Jmin J = J + J - J ,
x y max max x y min
J
xy
tg Ä…max = J = tg Ä…max (J - J )= tg Ä…max[J - (J + J - J )],
xy y max y x y min
J - J
y max
J = tg Ä… (J· - J )= 0.366(88 - 532) = - 162.504 cm4.
xy x
Położenie środka ciężkości cąłego układu kształtowników:
A = 23.2 + 14.2 = 37.40 cm2,
Sx1 = 14.2* 4.93 = 70.006 cm3,
S =14.2* 10.99 =156.058 cm3,
y1
S
Sx1
156.058 70.006
y1
xc = = = 4.173 cm, yc = = =1.872 cm.
A 37.4 A 37.4
Momenty bezwładności i dewiacji względem osi centralnych:
J =145 + 23.2 *(-1.872)2 + 215 + 14.2 * 3.0582 = 574.091cm4,
xc
J = 532 + 23.2 *(- 4.173)2 + 328 + 14.2 * 6.8172 =1923.898 cm4,
yc
J = -162.504 + 23.2 *(- 4.173)*(-1.872 )+ 14.2 * 6.817 * 3.058 = 314.750 cm4.
xcyc
Główne centralne osie i momenty bezwładności:
2
574.091 + 1923.898 574.091 - 1923.898
ëÅ‚ öÅ‚
J1 = Jmax = + + 314.7502 =
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
= 1248.994 + 744.689 = 1993.683 cm4,
2
574.091 + 1923.898 574.091 - 1923.898
ëÅ‚ öÅ‚
J2 = Jmin = - ìÅ‚ ÷Å‚
+ 314.7502 =
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
= 1248.994 - 744.689 = 504.305 cm4,
314.750
tgÄ…1 = tgÄ…max = = - 4.510 Ä…1 = - 77o30' ,
1923.898-1993.683
314.750
tgÄ…2 = tgÄ…min = = 0.222 Ä…2 = 12o30' .
1923.898-504.305
Sprawdzenia:
J + J = 574.091 + 1923.898 = 2497.989 cm4,
xc yc
20
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
J1 + J =1993.683 + 504.305 = 2497.988 cm4,
2
Ä…1 + Ä…2 = 77o 30' + 12o 30' = 90o .
Przykład 2.3.3. A
atwo można sprawdzić, że moment bezwładności względem dowolnej osi
przechodzącej przez środek ciężkości kwadratu o boku a wynosi a4 12 .
To spostrzeżenie bardzo ułatwi wyznaczenie głównych centralnych momentów bezwładności
niżej pokazanych figur płaskich o dwóch osiach symetrii.
2
2
1
C
1
C
a a
a
a
4 4
(2a)4 2a 14 a
(2a)4 a4 15a4
J1 = - =
J1 = - =
12 12 12
12 12 12
4
4
2a
(a 2) a4 5a4
J =
2
J2 = + =
12
12 12 12
Przykład 2.3.4. Wyznaczyć główne osie bezwładności przechodzące przez wierzchołek
trójkąta i momenty bezwładności względem tych osi.
1
Y
Ä…1 = 19° 022
X
Ä…2 = 70° 582
6
wymiary w [cm]
2
4
RozwiÄ…zanie
Prowadzimy układ dwóch prostopadłych do siebie osi (X, Y) przechodzących przez
wierzchołek trójkąta.
Obliczamy momenty bezwadności i dewiacji względem tych osi.
21
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
4* 63 6* 43
J = = 216 cm4 , J = = 32 cm4 .
x y
4 12
Przy obliczaniu J = bh3 4, wykorzystano wzór na moment bezwładności trójkąta
x
prostokątnego względem osi przechodzącej przez jego wierzchołek i równoległej do jego
podstawy. Przy obliczaniu J = bh3 12, wykorzystano wzór na moment bezwładności trójkąta
y
prostokątnego względem osi przechodzącej przez jego podstawę.
W obu wzorach, których wyprowadzenie przy wykorzystaniu twierdzenia Steinera jest bardzo
proste, h jest wymiarem tego boku trójkąta, który jest prostopadły do osi względem której
liczymy moment bezwładności.
42 * 62 1 4
J = - + * 4 * 6 * *(- 4)= - 72 cm4.
xy
72 2 3
Główne momenty i osie bezwładności przechodzące przez wierzchołek trójkąta:
2
2
J + J J
ëÅ‚ - J
öÅ‚
216 + 32 216 - 32
x y x y ëÅ‚ öÅ‚
2
2
ìÅ‚ ÷Å‚
J1 = + + J = + + (- 72) = 240.825 cm4,
ìÅ‚ ÷Å‚
xy
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2
J + J J
ëÅ‚ - J
öÅ‚
216 + 32 216 - 32
x y x y ëÅ‚ öÅ‚
2
2
J2 = - ìÅ‚ ÷Å‚
+ J = - ìÅ‚ ÷Å‚
+ (- 72) = 7.175 cm4,
xy
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
J
-72
xy
tgÄ…1 = = = 0.345 Ä…1 = 19o02' ,
J - J1 32- 240.825
y
J
-72
xy
tgÄ…2 = = = - 2.900 Ä…2 = - 70o58' .
J - J2 32-7.175
y
Bardzo ważne przypomnienie. W każdym punkcie płaszczyzny w której dana jest figura
można wyznaczyć dwie wzajemnie do siebie prostopadłe osie względem których moment
dewiacji będzie równy zero a momenty bezwładności będą ekstremalne. Osie te nazywają się
osiami głównymi i tylko głównymi.
Osie główne wyznaczone w środku ciężkości figury są osiami głównymi centralnymi. Ich
własnością jest zerowanie się momentów statycznych (bo to osie centralne) oraz zerowanie
się momentu dewiacji i osiąganie ekstremalnych wartości momentów bezwładności (bo to
osie główne).
PrzykÅ‚ad 2.3.5. Wyznaczyć momenty bezwÅ‚adnoÅ›ci J¾ i J· oraz moment dewiacji J¾·
względem osi przechodzących przez punkt K dla danej niżej figury płaskiej.
·
6
Y
wymiary w [cm]
60°
3
X
30°
2 4
K
¾
22
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
RozwiÄ…zanie
Należy zastosować wzory transformacyjne (2.4).
Momenty bezwładności i dewiacji względem osi (X, Y):
6 * 93 2 * 33
J = - = 346.500 cm4 ,
x
12 3
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
9 * 63 3* 23
J = - ïÅ‚ìÅ‚
+ 2 * 3*(-5)2 ÷łśł = 334.000 cm4 ,
y
÷łśł
4
ïÅ‚ìÅ‚ 12
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
62 * 92 1
J = + * 6 * 9 *(- 4)* 3śł - [0 + 2 * 3*(- 5)*1.5]= -319.500 cm4.
ïÅ‚-
xy
72 2
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Momenty bezwÅ‚adnoÅ›ci i dewiacji wzglÄ™dem osi (¾, ·):
J + J J - J
x y x y
J¾ = + cos(- 60o)- J sin (- 60o)=
xy
2 2
346.0 + 334.0 346.5 - 334.0
= + * 0.5 + 319.5 *(- 0.866)= 66.680 cm4 ,
2 2
J + J J - J
x y x y
J· = + cos(120o)- J sin (120o)=
xy
2 2
346.0 + 334.0 346.5 - 334.0
= + *(- 0.5)+ 319.5 * 0.866 = 613.820 cm4 ,
2 2
J - J
346.5 - 334.0
x y
J¾· = sin (- 60o)+ J cos(- 60o)= *(- 0.866)- 319.5 * 0.5 = -165.162 cm4.
xy
2 2
Sprawdzenie:
J + J = 346.500 + 334.000 = 680.500 cm4
x y
J¾ + J· = 66.680 + 613.820 = 680.500 cm4
23