Mechanika ogólna
Mechanika ogólna
Wykład nr 10
Wykład nr 10
Charakterystyki geometryczne
Charakterystyki geometryczne
figur płaskich.
figur płaskich.
1
1
Charakterystyki
Charakterystyki
geometryczne
geometryczne
Pole powierzchni.
Pole powierzchni.
Moment statyczny
Moment statyczny
 współrzędne środka ciężkości.
 współrzędne środka ciężkości.
 współrzędne środka ciężkości.
 współrzędne środka ciężkości.
Moment bezwładności.
Moment bezwładności.
Moment odśrodkowy
Moment odśrodkowy
 główne centralne osie bezwładności.
 główne centralne osie bezwładności.
2
2
Pole powierzchni
Pole powierzchni
Pole powierzchni jako całka z pól
Pole powierzchni jako całka z pól
elementarnych:
elementarnych:
A =�
��
��dA
h�
h�
A
dA
x�
3
3
Pole powierzchni figury
Pole powierzchni figury
złożonej
złożonej
Pole powierzchni figury złożonej z figur
Pole powierzchni figury złożonej z figur
prostych równe jest sumie pól
prostych równe jest sumie pól
powierzchni figur składowych.
powierzchni figur składowych.
powierzchni figur składowych.
powierzchni figur składowych.
h�
A =� dA +� dA +�K�+� dA =�
���� ��
A1 A2 An
A1
A3
n
=� A1 +� A2 +�K�+� An =� Ai
��
A2
i=�1
x�
4
4
Masa a pole powierzchni
Masa a pole powierzchni
h�
x�0�
x�
dA
h�
h�
C
dG
h�0�
G
h
x�
G =� hdA =� g� h
��g� ��dA =� g� hA
AA
5
5
Środek ciężkości
Środek ciężkości
Moment siły wypadkowej względem
Moment siły wypadkowej względem
osi równy jest sumie momentów sił
osi równy jest sumie momentów sił
składowych:
składowych:
składowych:
składowych:
g� h dA
g� h dA
��x� ��x� dA
��x� ��x� dA
AA
g� h dA =�g� hAx�0
x�0 =�=�
��x�
g� hA A
A
g� h dA
��h� ��h� dA
AA
g� h dA =�g� hAh�0
h�0 =�=�
��h�
g� hA A
A
6
6
Moment statyczny pola
Moment statyczny pola
względem osi(1)
względem osi(1)
Suma iloczynów elementarnych pól
Suma iloczynów elementarnych pól
powierzchni dA przez ich współrzędną
powierzchni dA przez ich współrzędną
względem osi (odległość ze znakiem),
względem osi (odległość ze znakiem),
obejmująca całe pole.
obejmująca całe pole.
obejmująca całe pole.
obejmująca całe pole.
h�
Sh� =� dA =� A��x�0 x�
��x�
dA
A
Sx� =�
h�
��h�dA =� A��h�0
x�
A
7
7
Moment statyczny pola
Moment statyczny pola
względem osi(2)
względem osi(2)
Moment statyczny jest momentem
Moment statyczny jest momentem
rzędu pierwszego  współrzędna
rzędu pierwszego  współrzędna
występuje w pierwszej potędze.
występuje w pierwszej potędze.
występuje w pierwszej potędze.
występuje w pierwszej potędze.
Jednostką momentów statycznych jest
Jednostką momentów statycznych jest
jednostka długości w trzeciej potędze
jednostka długości w trzeciej potędze
[m3, cm3, mm3].
[m3, cm3, mm3].
Znak momentu statycznego pola może
Znak momentu statycznego pola może
być dodatni lub ujemny.
być dodatni lub ujemny.
8
8
Moment statyczny figur
Moment statyczny figur
złożonych
złożonych
Moment statyczny figury złożonej z
Moment statyczny figury złożonej z
figur prostych równy jest sumie
figur prostych równy jest sumie
momentów statycznych figur prostych.
momentów statycznych figur prostych.
n
in
2
Sh� =�
��S =� Sh�1 +� Sh� +�K�+� Sh� =�
h�
i=�1
n
=� A1 ��x�1 +� A2 ��x�2 +�K�+� An ��x�n =� Ai ��x�i
��
i=�1
n
i 1 2 n
Sx� =�
��S =� Sx� +� Sx� +�K� +� Sx� =�
x�
i=�1
n
=� A1 ��h�1 +� A2 ��h�2 +�K�+� An ��h�n =� Ai ��h�i
��
i=�1
9
9
Współrzędne środka
Współrzędne środka
ciężkości
ciężkości
��x� dA Sh�
A
x�0 =�=�
AA
Sh� A1 ��x�1 +� A2 ��x�2 +�K� An ��x�n
Sh� A1 ��x�1 +� A2 ��x�2 +�K� An ��x�n
x� =� =�
x�0 =� =�
AA1 +� A2 +�K� An
��h� dA Sx�
A
h�0 =�=�
AA
Sx� A1 ��h�1 +� A2 ��h�2 +�K� An ��h�n
h�0 =� =�
AA1 +� A2 +�K� An
10
10
Osie środkowe(1)
Osie środkowe(1)
Moment statyczny pola względem osi
Moment statyczny pola względem osi
przechodzącej przez środek ciężkości
przechodzącej przez środek ciężkości
równy jest 0.
równy jest 0.
Jeżeli figura ma oś symetrii to środek
Jeżeli figura ma oś symetrii to środek
Jeżeli figura ma oś symetrii to środek
Jeżeli figura ma oś symetrii to środek
ciężkości położony jest na niej.
ciężkości położony jest na niej.
Sx� =� 0
h�
Sh� =� 0
C
C
x�
11
11
Osie środkowe(2)
Osie środkowe(2)
Jeżeli figura ma dwie osie symetrii to
Jeżeli figura ma dwie osie symetrii to
środek ciężkości położony jest na ich
środek ciężkości położony jest na ich
przecięciu.
przecięciu.
Jeżeli figura ma środek symetrii to jest
Jeżeli figura ma środek symetrii to jest
Jeżeli figura ma środek symetrii to jest
Jeżeli figura ma środek symetrii to jest
on środkiem ciężkości.
on środkiem ciężkości.
C
C C
12
12
Moment bezwładności
Moment bezwładności
pola
pola
Momenty bezwładności pola są
Momenty bezwładności pola są
odpowiednikiem masowych momentów
odpowiednikiem masowych momentów
bezwładności stosowanych w dynamice brył.
bezwładności stosowanych w dynamice brył.
Momenty bezwładności  rzędu drugiego 
Momenty bezwładności  rzędu drugiego 
Momenty bezwładności  rzędu drugiego 
Momenty bezwładności  rzędu drugiego 
kwadrat współrzędnej.
kwadrat współrzędnej.
Jednostką momentu bezwładności jest
Jednostką momentu bezwładności jest
jednostka długości w czwartej potędze
jednostka długości w czwartej potędze
[m4, cm4, mm4].
[m4, cm4, mm4].
Moment bezwładności jest zawsze >0.
Moment bezwładności jest zawsze >0.
13
13
Moment bezwładności
Moment bezwładności
pola względem osi
pola względem osi
Moment bezwładności pola względem
Moment bezwładności pola względem
osi jest sumą iloczynów elementarnych
osi jest sumą iloczynów elementarnych
pól dA przez kwadraty ich odległości
pól dA przez kwadraty ich odległości
od osi (współrzędne na osi
od osi (współrzędne na osi
od osi (współrzędne na osi
od osi (współrzędne na osi
prostopadłej).
prostopadłej).
h�
x�
2
Ih� =� dA
dA
��x�
A
2
h�
Ix� =� dA
��h�
x�
A
14
14
Biegunowy moment
Biegunowy moment
bezwładności pola(1)
bezwładności pola(1)
Moment bezwładności pola względem
Moment bezwładności pola względem
punktu równy jest sumie iloczynów pól
punktu równy jest sumie iloczynów pól
elementarnych dA przez kwadraty ich
elementarnych dA przez kwadraty ich
odległości od bieguna.
odległości od bieguna.
odległości od bieguna.
odległości od bieguna.
h�
x�
2
I0 =� dA
��r�
dA
A
r�
h�
x�
15
15
0
Biegunowy moment
Biegunowy moment
bezwładności pola(2)
bezwładności pola(2)
Suma momentów bezwładności
Suma momentów bezwładności
względem dwóch osi prostokątnego
względem dwóch osi prostokątnego
układu współrzędnych o początku w
układu współrzędnych o początku w
układu współrzędnych o początku w
układu współrzędnych o początku w
biegunie jest stała i równa
biegunie jest stała i równa
biegunowemu momentowi bezwładności
biegunowemu momentowi bezwładności
(niezależnie od obrotu osi).
(niezależnie od obrotu osi).
16
16
Biegunowy moment
Biegunowy moment
bezwładności pola(3)
bezwładności pola(3)
h�
2 2 2
y
r� =� x� +�h� =� x2 +� y2
x�
dA
x
y
x
r�
h�
x�
22 2
I0 =� dA =� x� +�h� dA =� x2 +� y2 dA
(� )� (� )�
��r� �� ��
AA A
22
I0 =� dA +� dA =� x2dA +� y2dA =� Ih� +� Ix� =� Iy +� Ix
��x� ��h�����
AA AA
17
17
Odśrodkowy moment
Odśrodkowy moment
bezwładności(1)
bezwładności(1)
Moment dewiacji,
Moment dewiacji,
Ix�h� =�
��h�x� dA
zboczenia.
zboczenia.
A
Suma iloczynów
Suma iloczynów
Suma iloczynów
Suma iloczynów
h�
elementarnych pól
elementarnych pól
x�
dA przez iloczyn
dA przez iloczyn
dA
współrzędnych
współrzędnych
obejmująca całe
obejmująca całe
h�
pole.
pole.
x�
18
18
Odśrodkowy moment
Odśrodkowy moment
bezwładności(2)
bezwładności(2)
Moment rzędu drugiego  iloczyn
Moment rzędu drugiego  iloczyn
współrzędnych.
współrzędnych.
Jednostką odśrodkowego momentu
Jednostką odśrodkowego momentu
Jednostką odśrodkowego momentu
Jednostką odśrodkowego momentu
bezwładności jest jednostka długości
bezwładności jest jednostka długości
w czwartej potędze [m4, cm4, mm4].
w czwartej potędze [m4, cm4, mm4].
Znak momentu odśrodkowego może
Znak momentu odśrodkowego może
być dodatni lub ujemny.
być dodatni lub ujemny.
19
19
Odśrodkowy moment
Odśrodkowy moment
bezwładności(3)
bezwładności(3)
Moment odśrodkowy równy jest 0 jeżeli jedna
Moment odśrodkowy równy jest 0 jeżeli jedna
z osi jest osią symetrii.
z osi jest osią symetrii.
Lustrzane odbicie figury lub obrót o 90o
Lustrzane odbicie figury lub obrót o 90o
względem początku układu współrzędnych
względem początku układu współrzędnych
względem początku układu współrzędnych
względem początku układu współrzędnych
powoduje zmianę znaku momentu
powoduje zmianę znaku momentu
powoduje zmianę znaku momentu
powoduje zmianę znaku momentu
odśrodkowego na przeciwny.
odśrodkowego na przeciwny.
h�0�
h�0� h�0� h�0�
h
b
x�0� h
x�0� x�0� x�0�
C
x�
h
b
b
b2h2 b2h2 b2h2
Ix� h� =� Ix�h� =� 0 Ix� h� =�-� Ix� h� =� Ix� h� =�
0 0 0 0 0 0
0 0 0
72 72 72
20
20
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
pól figur złożonych
pól figur złożonych
Moment bezwładności figury złożonej z figur
Moment bezwładności figury złożonej z figur
prostych równy jest sumie momentów
prostych równy jest sumie momentów
bezwładności figur prostych:
bezwładności figur prostych:
 momenty bezwładności:
 momenty bezwładności:
n
i
Ih� =� Ih�1 +� Ih� 2 +�K�+� Ih� n =�
��I
h�
i=�1
n
n
Ix� =� Ix� 1 +� Ix� 2 +�K�+� Ix� n =�
��I
x�
i=�1
 odśrodkowy moment bezwładności:
 odśrodkowy moment bezwładności:
n
Ix�h� =� Ix�h� 1 +� Ix�h� 2 +�K�+� Ix�h� n =�x�h� n
��I
i=�1
21
21
Równoległe przesunięcie osi
Równoległe przesunięcie osi
układu współrzędnych(1)
układu współrzędnych(1)
h�1�
h�2�
x�1 =�x�2 +� a
a dA
a dA
h� =�h� +� b
h�1 =�h�2 +� b
x�2�
b
x�1�
22
22
Równoległe przesunięcie osi
Równoległe przesunięcie osi
układu współrzędnych(2)
układu współrzędnych(2)
Momenty bezwładności:
Momenty bezwładności:
2
22
Ih� =� dA =� +� a dA =� dA +� 2a dA +� a2
12 2 2
��x� ��(�x� )� ��x� ��x���dA
1
AA A A A
AA A A A
Ih� =� Ih� +� 2a �� Sh� +� a2A
1 2 2
2
22
Ix� =� dA =�
12 2 2
��h� ��(�h� +� b)� dA =� ��h� dA +� 2b��h� dA +� b2��dA
1
AA A A A
Ix� =� Ix� +� 2b�� Sx� +� b2A
1 2 2
23
23
Twierdzenie Steinera(1)
Twierdzenie Steinera(1)
Jeżeli osie, z których dokonujemy
Jeżeli osie, z których dokonujemy
transformacji są osiami własnymi, czyli:
transformacji są osiami własnymi, czyli:
x�2 =�x�0 h�2 =�h�0
Moment bezwładności względem osi
Moment bezwładności względem osi
Moment bezwładności względem osi
Moment bezwładności względem osi
równoległych do osi własnych:
równoległych do osi własnych:
h�1� a h�0�
Ih� =� Ih� +� a2 A
10
x�0�
C
Ix� =� Ix� +� b2 A
10 b
x�1�
0
24
24
Twierdzenie Steinera(2)
Twierdzenie Steinera(2)
Moment bezwładności względem osi
Moment bezwładności względem osi
środkowych (własnych) jest najmniejszy
środkowych (własnych) jest najmniejszy
z wszystkich momentów względem osi
z wszystkich momentów względem osi
z wszystkich momentów względem osi
z wszystkich momentów względem osi
równoległych do osi własnych.
równoległych do osi własnych.
h�1� a h�0�
Ih� =� Ih� -� a2 A
01
x�0�
C
Ix� =� Ix� -� b2 A
01 b
x�1�
0
25
25
Przesunięcie bieguna
Przesunięcie bieguna
2
I0 =� h�12 +�x�12 dA =� Ix� +� Ih�
(� )�
1
��r� dA =� ��
1 1
AA
I0 =� Ih� +� a A +� Ix� +� b A =� IC +� a +� b A
I0 =� Ih� +� a2 A +� Ix� +� b2 A =� IC +� a2 +� b2 A
(� )�
(� )�
00
00
h�0�
h�1� a
I0 =� IC +� c2A
c2 =� a2 +� b2
x�0�
C
b
c
x�1�
0
26
26
Transformacja momentów
Transformacja momentów
odśrodkowych
odśrodkowych
Ix�h� =�
1 1 2
��x�h� dA =� ��(�x� +� a)�(�h�2 +� b)�dA =�
1 1
AA
=� x�2dA +� b dA +� a dA +� ab
=� x�2dA +� b dA +� a dA +� ab
2 2 2
2 2 2
��h� ��x� ��h� ��dA
��h� ��x� ��h� ��dA
AA A A
h�1�
h�2�
a dA
Ih�x� =� Ih� x�2 +� b�� Sh� +� a �� Sx� +� abA
1 1 2 2 2
x�2�
b
x�1�
27
27
Twierdzenie Steinera dla
Twierdzenie Steinera dla
momentów odśrodkowych
momentów odśrodkowych
Jeżeli osie, z których dokonujemy
Jeżeli osie, z których dokonujemy
transformacji są osiami własnymi, czyli:
transformacji są osiami własnymi, czyli:
x�2 =�x�0 h�2 =�h�0
Moment odśrodkowy względem osi
Moment odśrodkowy względem osi
Moment odśrodkowy względem osi
Moment odśrodkowy względem osi
równoległych do osi własnych:
równoległych do osi własnych:
h�1� a h�0� a2 h�2�
Ix�h� =� Ix� h� +� abA
1 1 0 0
a >� 0,b >� 0
x�0�
C
Ix�h� =� Ix� h� +� a2bA
1 2 0 0
b
a2 <� 0,b >� 0
x�1�
0
28
28
Przykład(1)
Przykład(1)
y
y0
dx
dx
x0
C
h
dA
dy
y
x
0
x
b
29
29
Przykład(2)
Przykład(2)
Momenty bezwładności względem osi
Momenty bezwładności względem osi
przechodzących przez boki prostokąta:
przechodzących przez boki prostokąta:
hh h
b
b
bh3 y
y
I =� y2dA =� y2dx dy =� y2 x dy =� y2b dy =�
Ix =� y2dA =� y2dx dy =� y2 x dy =� y2b dy =�
y
y
��
��
���� �� ��
���� �� �� 0
0
3
0
A 00 0
dx
bb b
h
h
hb3
x
C 0
Iy =� x2dA =� x2dy dx =� x2 y dx =� x2h dx =�
h
dA
��
���� �� ��
0
dy
3
0
A 00 0
y
x
0
x
bh
I0 =� Ix +� Iy =� h2 +� b2
(� )�
b
3
bh
hh
b
x2 b2 h b2 y2 b2h2
Ixy =� xydA =� xy dx dy =� y dy =� y dy =� =�
��
���� �� ��
22 2 2 4
0
A 00 0
00
30
30
Przykład(3)
Przykład(3)
Momenty bezwładności względem osi
Momenty bezwładności względem osi
własnych  nowe granice całkowania:
własnych  nowe granice całkowania:
hh h
b
b
22 2
2
y
y
bh
bh3
2
2
I =� y2dA =� y2dx dy =� y2 x dy =� y2b dy =�
Ix =� y2dA =� y2dx dy =� y2 x dy =� y2b dy =�
y
y
0
��
��
���� �� ��
���� �� ��
0
-�b h
12
b
hh
A
2
-�
-�-� -�
dx
2
22 2
bb b
h
h
22 2 x
2
C 0
hb3
h
dA
2
dy
Iy =� x2dA =� x2dy dx =� x2 y dx =� x2h dx =�
�� h
0 ���� �� ��
-�
12
h y
bb b
A
2 x
-�-� -�
2
22 2 0
x
bh
b
IC =� Ix +� Iy =� h2 +� b2
(� )�
0 0
12
hh h
b bh
22 2
2
x2 2 y2 2
Ix y0 =� xydA =� xy dx dy =� y dy =� 0�� y dy =� 0�� =� 0
��
���� �� ��
0
22
bh
b
hh h-�
A
-�
-�
-�-� -�
31
31
22
2
22 2
Przykład(4)
Przykład(4)
Momenty bezwładności względem osi
Momenty bezwładności względem osi
y y
0
własnych  z tw. Steinera:
własnych  z tw. Steinera:
dx
2
h bh h bh
h bh3 h2 bh3
x
x
0
0
C
C
I =� I -� Ać� �� =� -� bh =�
Ix =� Ix -� Ać� �� =� -� bh =�
h
h
�� ��
�� �� dA
0
dy
23 4 12
Ł� ł�
y
2
x
b hb3 b2 hb3
0
Iy =� Iy -� Ać� �� =� -� bh =� x
�� ��
0
23 4 12
Ł� ł�
b
22
��
bh h b bh3 hb3 bh3 hb3 bh3 hb3
ć� ��
IC =� h2 +� b2 -� bh��ć� �� +�=� +� -� -� =� +�
���� �� �� �� ��
(� )�
��
3 3 3 4 4 12 12
Ł�Ł� 2 ł� Ł� 2 ł� ł�
b2h2 h b
Ix y0 =� -� bh =� 0
0
42 2
32
32