Środek masy figury płaskiej
x,y  układ osi dowolnych
xi ,yi  układ osi centralnych i-tej figury regularnej (lokalne osie centralne)
Ci (xi ,yi )  środek masy i-tej figury regularnej
Ai  pole powierzchni i-tej figury regularnej
xc ,yc  układ osi centralnych figury złożonej
C(xC,yC )  środek masy figury złożonej
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 1
Środek masy figury płaskiej
Współrzędne środka masy C ( xC,yC ) figury złożonej:
"Ai xi
xC = [m] (1.1)
"Ai
"Ai yi
yC = [m] (1.2)
"Ai
gdzie:
Ai  pole powierzchni i-tej figury regularnej,
xi  odległość środka masy i-tej figury regularnej
od osi x dowolnego układu współrzędnych,
yi  odległość środka masy i-tej figury regularnej
od osi y dowolnego układu współrzędnych.
Wielkości
Sx = Ai yi = dA [m3] (1.3)
"
+"y
A
Sy = Ai xi = x dA [m3] (1.4)
"
+"
A
nazywamy momentami statycznymi figury złożonej względem osi
odpowiednio x oraz y
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 2
Środek masy figury płaskiej
Wielkość
A = Ai = [m2] (1.5)
"
+"dA
A
jest polem powierzchni figury złożonej
Współrzędne środka masy C ( xC,yC ) figury złożonej:
x dA
+"
Sy A
xC = = [m] (1.6)
A
+"dA
A
+"y dA
Sx A
yC = = [m] (1.7)
A
+"dA
A
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 3
Geometryczne momenty bezwładności figur płaskich
Moment bezwładności IO figury płaskiej względem punktu O
(biegunowy moment bezwładności):
IO = �2 dA [m4] (1.8)
+"
A
gdzie:
�  odległość elementu powierzchni od punktu O,
dA  element powierzchni.
Momenty bezwładności I , Iy figury płaskiej względem osi
x
odpowiednio x oraz y:
2
I = dA [m4] (1.9)
x
+"y
A
2
Iy = x dA [m4] (1.10)
+"
A
gdzie:
x,y  odległość elementu powierzchni od osi odpowiednio y oraz x,
dA  element powierzchni.
2 2 2
IO = �2 dA = + y2 ) dA = x dA + dA = I + Iy (1.11)
x
+" +"(x +" +"y
A A A A
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 4
Geometryczne momenty bezwładności figur płaskich
Moment dewiacji (moment zboczenia, moment odśrodkowy) I
xy
figury płaskiej dla układu współrzędnych Oxy:
I = xy dA [m4] (1.12)
xy
+"
A
gdzie:
x,y  odległość elementu powierzchni od osi odpowiednio y oraz x,
dA  element powierzchni.
Momenty bezwładności przyjmują tylko wartości dodatnie, natomiast momenty dewiacji
mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne. Znak momentu dewiacji zależy od położenia figury.
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 5
Geometryczne momenty bezwładności figur płaskich
Momenty bezwładności prostokąta o bokach bh względem
osi dowolnych x,y :
b
h h
�# ś# �# ś#
�#b 2 ś#
2 2 2
I = dA = dx dy = dx dy = x dy =
x
+"y +"ś#+"y ź# +"ś#+"y ź# +"ś#y ź#
ś# ź#
ś# ź# ś# ź#
A 0 0 0 0
�# #
�# # �# #
h
h
3
y3b b h
2
= b dy = =
+"y
3 3
0
0
b3h
Iy =
3
Moment dewiacji prostokąta o bokach bh względem
osi dowolnych x,y :
b
h b h
2
�# ś#
�# ś#
�# ś#
x
ź#
ź#
I = xy dA = xy dx dy = xy dx dy =
xy
+" +"ś#+" +"ś#+" +"ś#y 2 ź# dy =
ś# ź#
ś# ź#
ś# ź#
A 0 0 0
�# #
0
�# #
�# #
h
h
2 2
b2 y b2 b2h
= dy = =
+"y 2
4 4
0
0
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 6
Geometryczne momenty bezwładności figur płaskich
Momenty bezwładności prostokąta o bokach bh względem
osi centralnych xc ,yc :
+b /2
+h /2 +b /2 +h /2
�# ś# �# ś# �# ś#
2 2 2
ś# ś#y2 x ź#
I = dA = dx dy = dy =
xc
+"y +"ś#+"y ź# +" +"y dx ź# dy = +"
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
A -h /2 -b /2 -h /2 -b /2
�# # �# # �# #
+h /2
+h /2 +h /2
Ą#h 3 h 3 ń#
�# ś#
Ą# y3
b b
�# ś#ń#
2
= y2 ó#2 - ś#- ź#Ą#
dy = b dy = b = b - ś#- ź#Ą#
=
ó#
+" +"y
2 3
�# #
ó#24 ś# 24 ź#Ą#
Ł# Ś# -h /2
-h /2 �# #
-h /2 Ł# Ś#
3
b h
=
12
b3h
Iy =
12
Moment dewiacji prostokąta o bokach bh względem
osi centralnych xc ,yc :
+b /2
+h /2 +b /2 +h /2
�# 2 ś#
�# ś# �# ś#
ś#y x ź#
ź# ś# ź#
I = xy dA = xy dx dy = xy dx dy = dy =
xcyc
+" +"ś#+" +" +" +"
ś# ź#
ś# ź# ś# ź#
2
A -h /2 -b /2 -h /2 -b /2
�# # �# #
�# #
+h /2
Ą# ń#
b2 b2 +h /2
= y - dy = dy = 0
ó# Ą#
+" +"0
8 8
-h /2 Ł# Ś# -h /2
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 7
Twierdzenie Steinera
Momenty bezwładności I , Iy oraz moment dewiacji I
x xy
figury płaskiej względem osi dowolnych x,y :
2 2
I = dA , Iy = x dA , I = xy dA
x xy
+"y +" +"
A A A
Momenty bezwładności I , Iy oraz moment dewiacji I
xc c xc yc
figury płaskiej względem osi centralnych xc ,yc (momenty centralne):
2 2
I = dA , Iy = dA , I =
xc xc yc
+"b c +"a +"ab dA
A A A
Podstawiamy x = xC + a , y = yC + b , przy czym xC,yC  stałe,
x,y,a,b  zmienne:
2 2 2
I = + yC )2 dA = dA + 2yC + yC = I + A yC
x xc
+"(b +"b +"b dA +"dA
A A A A
14243
=0
2
I = I + A yC (1.13)
x xc
2
Iy = Iy + A xC (1.14)
c
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 8
Twierdzenie Steinera
I = + xC )(b + yC ) dA =
xy
+"(a +"ab dA + yC+"a dA + xC+"b dA + xCyC+"dA =
A A A A A
1 3 1 3
424 424
=0 =0
= I + A xCyC
xcyc
I = I + A xCyC (1.15)
xy xc yc
Moment bezwładności figury płaskiej względem dowolnej osi równoległej do osi centralnej
jest równy momentowi centralnemu zwiększonemu o iloczyn powierzchni figury
przez kwadrat odległości między osiami.
Odwrotne twierdzenie Steinera
2
I = I - A yC (1.16)
xc x
2
Iy = Iy - A xC (1.17)
c
I = I - A xCyC (1.18)
xc yc xy
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 9
Twierdzenie Steinera
W przypadku figury złożonej z figur regularnych twierdzenie
Steinera dla i-tej figury składowej możemy zapisać w następującej
postaci:
(
Ixi ) = Ix + Ai (yi - yC )2 (1.19)
c i
(
Iyi ) = Iy + Ai (xi - xC)2 (1.20)
c i
(
Ixi ) = Ix yi + Ai(xi - xC)(yi - yC) (1.21)
yc
c i
gdzie:
(i ) ( (i )
I , Iyi ), I  momenty bezwładności i moment dewiacji i-tej
xc c xcyc
figury regularnej względem osi centralnych xc ,yc
figury złożonej,
I , I , I  centralne momenty bezwładności i moment dewiacji
xi yi xiyi
i-tej figury regularnej względem osi xi ,yi ,
Ai  pole powierzchni i-tej figury regularnej,
xi ,yi  odległości lokalnych osi centralnych yi , xi
od osi dowolnego układu współrzędnych y, x ,
xC,yC  odległości centralnych yc , xc figury złożonej
od osi dowolnego układu współrzędnych y, x .
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 10
Obrót osi centralnych
Centralne momenty bezwładności I , Iy
xc c
oraz centralny moment dewiacji I są równe:
xc yc
2 2
I = dA , Iy = x dA , I = xy dA
xc xc yc
+"y c +" +"
A A A
Momenty bezwładności I� , I� oraz moment dewiacji I��
względem osi obróconych o kąt Ć :
2 2
I� = dA , I� = dA , I�� = � dA
+"� +"� +"�
A A A
Podstawiamy � = x cosĆ + y sinĆ oraz � = y cosĆ - x sinĆ
I� = cosĆ - x sinĆ)2 dA =
+"(y
A
2 2
= cos2 Ć dA - 2 x y sinĆ cosĆ dA + x sin2 Ć dA =
+"y +" +"
A A A
2 2
= cos2 Ć dA - 2sinĆ cosĆ xy dA + sin2 Ć x dA
+"y +" +"
A A A
I� = I cos2 Ć - 2I sinĆ cosĆ + Iy sin2 Ć
xc xcyc
c
I� = I sin2 Ć + 2I sinĆ cosĆ + Iy cos2 Ć
xc xcyc
c
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 11
Obrót osi centralnych
I�� = cosĆ + y sinĆ)(y cosĆ - x sinĆ) dA =
+"(x
A
2 2
= xy cos2 Ć dA - x sinĆ cosĆ dA + sinĆ cosĆ dA - xy sin2 Ć dA =
+" +" +"y +"
A A A A
�# ś#
2 2
ś# ź#
= sinĆ cosĆ dA - x dA + (cos2 Ć - sin2 Ć) xy dA
+"y +" +"
ś# ź#
�# A A # A
I�� = (I - Iy )sinĆ cosĆ + I (cos2 Ć - sin2 Ć)
xc c xcyc
1 - cos 2Ć 1 + cos 2Ć
Podstawiamy 2sinĆ cosĆ = sin2Ć , sin2 Ć = , cos2 Ć =
2 2
1 1
I� = (I + Iy ) + (I - Iy )cos 2Ć - I sin2Ć (1.22)
xc c xc c xcyc
2 2
1 1
I� = (I + Iy ) - (I - Iy )cos 2Ć + I sin2Ć (1.23)
xc c xc c xcyc
2 2
1
I�� = (I - Iy )sin2Ć + I cos 2Ć (1.24)
xc c xcyc
2
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 12
Obrót osi centralnych  główne centralne osie i momenty bezwładności
Wyznaczmy takie położenie układu osi O�� (taki kąt Ć0 ), dla którego moment dewiacji I�� jest równy zeru:
1
I�� = (I - Iy )sin2Ć0 + I cos 2Ć0 = 0
xc c xcyc
2
1
(I - Iy )sin2Ć0 = -I cos 2Ć0
xc c xcyc
2
2 I
xcyc
tg 2Ć0 = (1.25)
Iy - I
xc
c
2 I
1
xc yc
Ć0 = arctg (1.26)
2 I - I
yc xc
Osie (� ,� ) układu obróconego o kąt Ć0 nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności i ozna-
czamy cyframi 1 i 2. Momenty bezwładności względem tych osi osiągają wartości ekstremalne 
maksymalną I1 oraz minimalną I2 :
1 1
2
I1,2 = I = (I + Iy ) ą (I - I )2 + 4 I (1.27)
max xc c xc yc xc yc
2 2
min
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 13
Główne centralne osie i momenty bezwładności
Każda oś symetrii figury płaskiej jest jej główną centralną osią bezwładności.
Drugą główną centralną osią bezwładności jest oś prostopadła do osi symetrii
i przechodząca przez środek masy figury płaskiej.
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 14
Centralne momenty bezwładności wybranych figur regularnych
Tabela 1.1. Charakterystyki geometryczne wybranych figur regularnych
Pole Współrzędne Centralne momenty Centralny moment
Figura
powierzchni środka masy bezwładności dewiacji
a a4
xC = I =
xc
2 12
2
I = 0
xcyc
A = a
4
a
a
yC =
Iyc =
2
12
3
b b h
xC = I =
xc
2 12
A = bh I = 0
xcyc
h
b3h
yC =
Iyc =
2
12
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 15
Centralne momenty bezwładności wybranych figur regularnych
Tabela 1.1. Charakterystyki geometryczne wybranych figur regularnych
3
b b h
xC = I =
xc
2
bh 3 36
b2h
A =
I = -
xcyc
2 h
72
b3h
yC =
Iyc =
3
36
3
b b h
xC = I =
xc
bh 2 36
I = 0
A =
xcyc
2 h
b3h
yC =
Iyc =
3
36
4
Ą r
xC = 0
I =
xc
4
2
I = 0
A = Ą r
xcyc
4
Ą r
yC = 0
Iyc =
4
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności 16
BIBLIOGRAFIA
Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów, tom I, WNT, Warszawa 1999.
Klasztorny M., Skrypt do wytrzymałości materiałów [w przygotowaniu].
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności