1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1
1. ����Ł�
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1.1. Wprowadzenie
W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały
opisane bardziej szczegółowo w innych opracowaniach wykładów. My zajmiemy się tymi, które przydatne
będą w zrozumieniu póz
niejszych przekształceń macierzowych. Ponadto przypomnimy podstawowe
zagadnienia z teorii sprężystości.
1.2. Podstawowe działania na macierzach
Przyjmijmy, że macierz [D] jest macierzą cosinusów kierunkowych
[ D]= �ąi ' j
[ ] (1.1)
Wówczas macierz transformowana jest równa macierzy odwrotnej (transformacja ortonormalna)
(1.2)
[ D]-1a"[ D]T
Wektor to macierz wierszowa. Wez
my pod uwagę wektor o trzech składowych, który zapisujemy
ogólnie jako:
{A}=[ A1 A2 A3]1 x3 (1.3)
Transponując wektor otrzymamy macierz (kolumnową) o wymiarach 1x3
A1
[ A]T=
A2 (1.4)
[ ]
A3 3�1
Macierz odwrotna do danej to taka, która po przemnożeniu przez daną daje macierz jedynkową
(1.5)
{A}-1�"{A}=[ I ]
Macierz odwrotną obliczamy z zależności:
T
1
{A}-1= �" śą-1źąi�ą j�"M (1.6)
[ ]
ij
det {A}
M
gdzie jest macierzą minorów
ij
Przykład:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 2
Obliczyć macierz odwrotną do danej macierzy A, która jest określona następująco:
1 -1 3
A=
3 3 4
{ }
2 -1 5
Obliczamy wyznacznik macierzy A
det A=1�"3�"5�ąśą-1źą�"4�"2�ą3�"3�"śą-1źą-2�"3�"3-śą-1źą�"4�"1-5�"3�"śą-1źą=-1
Wyznaczamy macierz minorów
19 7 -9
M = -2 -1 1
ij
[ ]
-13 -5 6
T
Następnie obliczamy wartość wyrażenia
śą-1źąi�ąj�"Mij
[ ]
19 2 -13
M = -7 -1 5
ij
[ ]
-9 -1 6
Dla przykładu obliczymy dwie wartości z macierzy odwrotnej do danej macierzy A
1
A11= �"19=-19
-1
1
A23= �"5=-5
-1
W analogiczny sposób obliczamy pozostałe wyrazy macierzy odwrotnej. W rezultacie otrzymamy
końcową postać macierzy odwrotnej w postaci:
-19 -2 13
{A}-1=
7 1 -5
{ }
9 1 -6
Mnożenie macierzy można przedstawić przy pomocy poniższych zapisów:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 3
a) skalarnego (absolutnego)
Śą�"Śą=c
(1.7)
A B
b) wskaz
nikowego
c= Ai�"Bi (1.8)
c) macierzowego
A1
Śą
A[ A]= =[ A1 A2 A3]T
A2
[ ]
A3
B1
(1.9)
Śą
B [ B]=
B2
[ ]
B3
B1
Śą�"Śą
A B=[ A]T [ B]=[ A1 A2 A3]1�3�" =[C ]1�1
B2
[ ]
B3 3�1
Pamiętajmy o tym, że mnożenie dwóch macierzy jest możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn
pierwszej z nich jest równa liczbie wierszy drugiej. Możemy to zapisać:
A[m�n] p]=C[m� p] (1.10)
�"B[n�
A
atwo zatem zauważyć, że np. w wyniku mnożenia dwóch macierzy o wymiarach 3x3 otrzymujemy
macierz także o wymiarach 3x3
[ A]3�3[ B]3�3=[C ]3�3 (1.11)
Wskaz
nikowo mnożenie dwóch macierzy zapisujemy
Aij�"B =Cik (1.12)
jk
Transpozycja iloczynu dwóch macierzy
(1.12)
śą A BźąT=BT AT
1.3. Działanie tensora na wektor
Tensor działa na wektor jako operator
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 4
T a=Śą
Śą b
T a =bi (1.13)
ij j
[T ]3�3[a]3�1=[b]3�1
co przedstawiają powyższe równania w zapisie odpowiednio absolutnym, wskaz
nikowym oraz
wektorowym.
Działanie tensora można przykładowo zaprezentować w następujący sposób:
[a]3�1[T ]3�3Śą niewykonalne
a�"T =c
Śą Śą
ai�"T =c
[a]T [T ]3�3=[b]T�3
ij j
1�3 1
(1.14)
Ai '=�ąi ' j A
[ A']=[ D][ A]
j
A =�ą Ai '
[ A]=[ D]T [ A' ]
j ji '
1.4. Transformacja tensora
Korzystając z prawa transformacji tensora wyznaczymy teraz współrzędne tensora w układzie
Śą
obróconym. Postać macierzową wektora w układzie pierwotnym możemy przedstawić jako
b
(1.15)
[b]=[T ][a]
natomiast w układzie obróconym
'
(1.16)
[b' ]=[T ][a' ]
Szukany tensor w układzie obróconym wyznaczamy w następujący sposób - odwołujemy się do (1.1):
[b' ]=[ D][b]
(1.17)
[b]=[ D]T [b']
[a]=[ D]T [a']
podstawiamy do wzoru (1.16) i otrzymujemy
[ D]T [b']=[T ][ D]T [a' ]
[b' ]=[T ][ D][ D]T [a' ]
(1.18)
[b']=[T ][a' ]
'
[T ]=[ D][T ][ D]T
1.5. Podstawowe sformułowania metody elementów skończonych
w nawiązaniu do równań mechaniki kontinuum
1.5.1. Podstawowe równania liniowej sprężystości
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 5
W analizie będziemy przyjmować prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich 1,2,3 lub
[ ]
[ x , y , z]
Stan naprężenia w nieskończenie małej objętości ciała, które poddano działaniu obciążenia opisujemy
w układzie współrzędnych za pomocą składowych tensora, które po uporządkowaniu w macierz �ąij
zapiszemy:
�ą11 �ą12 �ą13
�ąij=
�ą21 �ą22 �ą23 (1.19)
[ ]
�ą31 �ą32 �ą33
�ą11 �ą22 �ą33
Naprężenia, dla których , czyli , , przedstawiają naprężenia normalne.
i= j
�ą12 �ą21 �ą13 �ą31 �ą23 �ą32
Natomiast naprężenia, dla których , czyli , , , , , przedstawiają
i`" j
naprężenia styczne.
Tensor stanu naprężenia jest symetryczny, a więc zachodzą następujące zależności
�ą12=�ą21 �ą13=�ą31 �ą23=�ą32 (1.20)
Wykorzystując fakt, że tensor stanu naprężenia jest symetryczny, możemy ten tensor zapisać w
postaci wektora
T
(1.21)
�ą= �ąxx �ąyy �ązz �ąxy �ąxz �ąyz
[ ]
Tutaj, jak poprzednio powtarzające się indeksy oznaczają składowe normalne, natomiast różne
odnoszą się do składowych stycznych.
Stan odkształcenia nawiązujący do opisu tensorowego możemy przedstawić w uporządkowanej
macierzy o składowych �ąij
�ą11 �ą12 �ą13
�ąij=
�ą21 �ą22 �ą23 (1.22)
[ ]
�ą31 �ą32 �ą33
Posługiwać się będziemy również wektorem odkształcenia �ą , którego składowe będą równe
T
(1.23)
�ą= �ą11 �ą22 �ą33 ąą12 ąą13 ąą23
[ ]
Warto zauważyć, że w powyższym zapisie posługujemy się tzw. inżynierskimi definicjami
odkształceń stycznych, związanymi z odpowiednimi składowymi tensora odkształceń. Opisują to
następujące związki
ąą12=2�ą12 ąą13=2�ą13 ąą23=2�ą23 (1.24)
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 6
Pracę w zapisach wskaz
nikowym i macierzowym opisujemy
(1.25)
�ąij �ąij=�ąT �ą
Składowe pola przemieszczeń w punkcie opisane są w zapisie odpowiednio wskaz
nikowym i
macierzowym:
T
(1.26)
ui= u1 ,u2 , u3
[ ]
1.5.1.1. Podstawowe równania w zapisie wskaz
nikowym
Przypomnijmy podstawowy układ równań liniowej teorii sprężystości. Typowe zadanie dla ciała
odkształcalnego wymaga znalezienia funkcji naprężeń �ą lub przemieszczeń spełniających następujące
u
równania:
" trzy równania różniczkowe cząstkowe równowagi (równania Naviera)
�ąij , j�ąbi=0 i , j=1,2,3 (1.27)
"�ąij
gdzie �ąij , j=
" x
j
" sześć równań różniczkowych cząstkowych geometrycznych (równania Cauchy'ego)
1
�ąij= ui , j�ąu (1.28)
śą źą
j ,i
2
" ui
gdzie ui , j=
" x
j
" sześć równań algebraicznych fizycznych (równania Hooke'a)
�ąij=Eijkl �ąkl (1.29)
Z powyższego zapisu nie wynika bezpośrednio, że liczba równań Hooke'a jest równa sześć. Dopiero
gdy wez
miemy pod uwagę założenia o izotropii układ (3.11) zredukuje się do deklarowanej liczby równań.
Ponadto poszukiwane rozwiązania muszą spełniać dodatkowe zależności:
" równania nierozdzielności geometrycznej w każdym punkcie obszaru:
�ąij , kl�ą�ąkl ,ij-�ąik , jl-�ą =0 (1.30)
jl ,ik
" naprężeniowe i przemieszczeniowe warunki brzegowe:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 7
7'
(1.31)
�ąij�"n = pi
j
S�ą
warunek należy spełnić na brzegu
4'
(1.32)
ui=ui
warunek należy spełnić na brzegu Su
S�ą Su
Należy dodać, że brzegi i są rozłączne i w sumie tworzą cały brzeg, tzn. spełnione są
poniższe warunki:
S�ą)"Su=0 (1.33)
S�ą*"Su=S (1.34)
Ze względu na złożoność problemu, określenie funkcji analitycznych spełniających warunki (1.27.) -
(1.32.) nie jest sprawą łatwą. Ponadto skomplikowane warunki brzegowe mogą dodatkowo utrudnić
rozwiązywanie takiego zadania, albo uczynić zadanie algebraicznie nierozwiązywalnym.
1.5.1.2. Podstawowe równania w zapisie macierzowym
Rozpocznijmy od równań geometrycznych, gdyż posłużą one jako równania wyjściowe do dalszej
analizy. Składowe wektora odkształceń możemy zapisać:
" odkształcenia liniowe
" u1
�ą11=
" x1
" u2
�ą22= (1.35)
" x2
" u3
�ą33=
" x3
" Odkształcenia poprzeczne
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 8
" u1 " u2 " u1 " u2
1
�ą12=�ą21= �ą ąą12=ąą21= �ą
śą źą śą źą
2 " x2 " x1 " x2 " x1
" u1 " u3 " u1 " u3
1
�ą13=�ą31= �ą ąą13=ąą31= �ą (1.36)
śą źą śą źą
2 " x3 " x1 " x3 " x1
" u2 " u3 " u2 " u3
1
�ą23=�ą32= �ą ąą23=ąą32= �ą
śą źą śą źą
2 " x3 " x2 " x3 " x2
Powyższe równania możemy macierzowo zapisać
" ogólnie
�ą=Lu (1.37)
" szczegółowo
"
0 0
" x1
"
0 0
�ą11
" x2
�ą22
"
0 0 u1
�ą33 " x3 �"
=
u2 (1.38)
ąą12 " "
[ ]
0
u3 [3 �1]
" x2 " x1
ąą13
[ ]
ąą23 [6 �1] " 0 "
" x3 " x1
[ ]
" "
0
" x3 " x2 [6 �3]
Równania równowagi Naviera możemy teraz zapisać w postaci:
" ogólnie
(1.39)
{L}T�"�ą�ąb=0
gdzie b jest wektorem sił masowych
" szczegółowo
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 9
" " " �ą11
0 0 0
" x1 " x2 " x3
�ą22
b1
" " "
�ą33 �ą
0 0 0 �"
b2 =0 (1.40)
" x2 " x1 " x3 �ą12
{ }
b3 [3�1]
" " "
�ą13
[ ] { }
0 0 0
" x3 " x1 " x2 [3�6] �ą23 [6�1]
Równania fizyczne (konstytutywne) określone są następująco:
�ą11-�ą�"�ą22-�ą�"�ą33 �ą12
�ą11= ąą12=
E G
�ą22-�ą�"�ą11-�ą�"�ą33 �ą13
(1.41)
�ą22= ąą13=
E G
�ą33-�ą�"�ą11-�ą�"�ą22 �ą23
�ą33= ąą23=
E G
gdzie E to moduł odkształcalności podłużnej (moduł Younga), G jest modułem odkształcalności
E
G=
postaciowej (moduł Kirchoffa) wyliczany z zależności: , zaś �ą jest współczynnikiem
2�"śą1�ą�ąźą
Poissona.
W postaci równania macierzowego powyższe zależności konstytutywne można zapisać:
" ogólnie
�ą=C�"�ą (1.42)
" szczegółowo
�ą11 1 -�ą -�ą 0 0 0 �ą11
�ą22 -�ą 1 -�ą 0 0 0 �ą22
1�"
�ą33 = -�ą -�ą 1 0 0 0
�ą33
�"
(1.43)
0 0 0 śą1�ą�ąźą 0 0
ąą12 E �ą12
0 0 0 0 śą1�ą�ąźą 0
ąą13 �ą13
[ ]
{ } { }
0 0 0 0 0 śą1�ą�ąźą
ąą23 �ą23
Zależność (3.42) jest jednoznaczna, a macierz konstytutywna C jest nieosobliwa (tzn. det {C }`"0 ). Wynika
z tego, że istnieje odwzorowanie odwrotne w postaci:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 10
" ogólnej
�ą=D�"�ą (1.44)
" szczegółowej
1-�ą �ą �ą 0 0 0
�ą 1-�ą �ą 0 0 0
�ą11 �ą11
�ą �ą 1-�ą 0 0 0
�ą22 �ą22
1-2�"�ą
E
0 0 0 0 0
�ą33 = �ą33
�" �" (1.45)
2
�ą12 śą1�ą�ąźą�"śą1-2�"�ąźą ąą12
1-2�"�ą
0 0 0 0 0
�ą13 ąą13
{ } { }
2
�ą23 [ ]ąą23
1-2�"�ą
0 0 0 0 0
2
1.5.2. Podstawy MES wynikające z równania pracy wirtualnej
Zakładamy trójwymiarowy element skończony zdefiniowany w kartezjańskim układzie
współrzędnych [x,y,z]. Wektor przemieszczeń opiszemy
(1.46)
u=[u v w]T
gdzie przemieszczenia u, v, w oznaczają przemieszczenia odpowiednio po kierunkach osi x, y i z. Siły
masowe zapiszemy następująco:
(1.47)
b=[bx by bz]T
Poszczególne składowe oznaczają siły przypadające na jednostkę objętości, powierzchni lub długości.
Przez d oznaczamy wektor przemieszczeń węzłowych elementu. Wymiar tego wektora jest analogiczny do
liczby węzłów elementu przemnożonej przez liczbę przyjętych stopni swobody węzła. Przyjmując
oznaczenie liczby stopni swobody przez n otrzymujemy
d = d ; i=1,2 ,... , n (1.48)
[ ]
i
Jeśli przyjmiemy, że przemieszczenia węzła mają opisywać składowe przesunięć po kierunkach osi x,
y, z otrzymamy
di= d d d (1.49)
[ ]
xi yi zi
Warto zaznaczyć, że inne typy przemieszczeń, takie jak obroty czy krzywizny mogą być także
traktowane jako składowe wektora przemieszczeń.
W podobny sposób przyjmujemy siły węzłowe p jako składowe sił we wszystkich węzłach elementu
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 11
p= pi ; i=1,2 ,... , n (1.50)
[ ]
Jeśli przemieszczenia dotyczą przesunięć po kierunkach osi x, y, z
pi= pxi pyi pzi (1.51)
[ ]
Teraz zakładamy pole przemieszczeń w elemencie jako funkcję przemieszczeń węzłów w postaci
u[3 �1]=N d[n�3] (1.52)
[3 �n]
Macierz N nazywamy macierzą funkcji próbnych i określa wpływ danej składowej wektora
przemieszczeń d na przemieszczenie dowolnego punktu elementu o współrzędnych x, y, z.
Zależność �ąśąuźą możemy zapisać
�ą=L u (1.53)
Po podstawieniu zależności (1.52)
�ą=L N d (1.54)
Przyjmując podstawienie
(1.55)
B=L N
gdzie B opisuje odkształcenia w każdym punkcie elementu spowodowane jednostkowym
przemieszczeniem kolejnych stopni swobody węzłów. Stąd otrzymujemy
�ą=B d (1.56)
Z prawa fizycznego otrzymujemy zależność
�ą=D �ą
(1.57)
�ą=D B d
Wprowadzając powyższe zależności otrzymamy zapis
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 12
1 1
u= �ąT �ą d śą= śą D �ąźąT d śą= �ąT DT �ąd śą=
+" +" +"
2 2
śą śą śą
(1.58)
1 1
T
= śą B d źąT DB d śą= d BT DBd śą d
+" +"
e e e
2 2
śą śą
Układ zapisujemy jako:
BT DBd śą d =P
+"
e
(1.59)
śą
Wprowadzając podstawienie:
BT DBd śą=ke
+"
(1.60)
śą
Otrzymujemy równanie postaci:
ke�"d =P (1.61)
e
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater