Przykład 2.1. Figura ze środkiem symetrii
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury korzystając z metody analitycznej i graficznej (konstrukcja koła Mohra).
3r
3r
3r
3r
3r
3r
3r 3r
Rozpatrywana figura ma środek symetrii w punkcie przecięcia przekątnych prostokąta,
w który jest wpisana. Środek ciężkości figury leży w jej środku symetrii. Przez środek
symetrii prowadzimy osie centralne x i y . Następnie dzielimy figurę na prostokąt i dwa
c c
półkola, które traktujemy jako pola ''ujemne''.
y
y
y
c
c
c
y
c2
3r
3r
C2 x
6r c2
y
c3
3r
3r
x
x
x
c
c
C
C=C1 c 3r
C
3r
C3
6r
x
c3
3r
3r
3r 3r
6r
3r 3r
W związku z tym, że własne osie centralne figury II i III (górnego i dolnego półkola)
nie pokrywają się z osiami centralnymi całej figury, będziemy korzystać z twierdzenia
Steinera. Wyznaczmy zatem pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości dla tych figur
w układzie x y .
c c
1 9 4 3r 4r
2
2
~ ~
AII = �" Ą �"(3r) = Ąr , xc2 = 3r - �" = 3r - , yc2 = 3r
2 2 3 Ą Ą
1 9 4 3r 4r
2 ś#
2
~ ~
AIII = �" Ą �"(3r) = Ąr , xc3 = -�#3r - �" = -3r + , yc3 = -3r
ś# ź#
2 2 3 Ą Ą
�# #
1 1 9
3 Ą# 4 2 ń#
2 4
I = �" 6r �"(12r) - 2 �" �" Ą �"(3r) + Ąr �"(3r) = 545.91r
xc
ó#8 Ą#
12 2
Ł# Ś#
2 2
ż# �#
ń#
1 1 9 4 3r 9 4 3r
�#Ą#
3 4 �# ś# �#3r ś# �#
2 2 4
I = �"12r �"(6r) - 2 �" �" Ą �"(3r) - Ąr �" �" + Ąr �" - �" = 113.91r
ó# ś# ź# Ą# ś# ź#
�# Ź#
yc
12 2 3 Ą 2 3 Ą
�# # �# #
�#Ł#8 Ą# �#
Ś#
�#ó# �#
Ą# ń#
9 4 3r
�#3r ś#
4
I = 0 - 2 �" + Ąr �" 3r �" - �" = -146.47r
ó#0 2 ś# ź# Ą#
xc yc
2 3 Ą
�# #
ó# Ą#
Ł# Ś#
Wyznaczamy teraz kierunki główne.
4
- 2I
xC yC - 2 �"(-146.47r )
tg 2�o = = = 0.6781
4 4
I - I 545.91r -113.91r
xC yC
2�o = 0.5959rad , �o = 0.2979rad .
Ą Ą
ś#
Ponieważ I > I to �1 = �o = 0.2979 rad, natomiast �2 = �o + = �#0.2979 + rad =
ś# ź#
xc yc
2 2
�# #
=1.8687rad
Główne centralne momenty bezwładności przyjmują następujące wartości:
2
I + I I
�# - I
ś#
xc yc xc yc 2
ś# ź#
I1 = Imax = + + I =
xc yc
ś# ź#
2 2
�# #
2
4 4 4 4
�# ś#
545.91r +113.91r 545.91r -113.91r 2
4 4
ś# ź#
= + + (-146.47r ) = 590.89r
ś# ź#
2 2
�# #
2
I + I I
�# - I
ś#
xc yc xc yc 2
I2 = Imin = - ś# ź#
+ I =
xc yc
ś# ź#
2 2
�# #
2
4 4 4 4
�# ś#
545.91r +113.91r 545.91r -113.91r 2
4 4
= - ś# ź#
+ (-146.47r ) = 68.93r
ś# ź#
2 2
�# #
Na poniższym rysunku przedstawione są kierunki główne.
kierunek Imin y
c
Ą
�2 = �o +
3r
kierunek Imax
2
3r
�1 = �o = 0.2979rad
C
x
c
3r
3r
3r 3r
Główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne można wyznaczyć
metodą graficzną, stosując konstrukcję koła Mohra. Korzystamy z wyznaczonych wartości
momentów bezwładności w układzie x y
c c
4 4
I = 545.91r , I = 113.91r ,
xc yc
oraz wartości momentu dewiacyjnego
2
4
I = -146.47r .
xc yc
kierunek minimalnego
momentu bezwładności
kierunek maksymalnego
D momentu bezwładności
R
�o
Momenty bezwładności
E C
O B F
A
Przyjęta skala: 100 r4
A(I ,0)
xc
I2
B(I ,0)
yc
I
yc
(I + I )
I + I
xc yc �# ś#
ś# ź#
Cś# xc yc ,0ź#
2
2
�# #
I D(I ,- I )
xc xc xc yc
E(I2 ,0)
I1
F(I1 ,0)
Kolejność postępowania przy rozwiązywaniu zadania metodą graficzną jest następująca:
1. Wyznaczenie położenia punktów A i B
4 4
Wartości momentów bezwładności w układzie x y I = 545.91r , I = 113.91r stanowią
c c xc yc
odpowiednio współrzędne punktów A(545.91r4,0) i B(113. 91r4,0).
2. Wyznaczenie położenia punktu C
Punkt C(329.91r4,0) jest środkiem odcinka AB i środkiem koła Mohra.
3. Wyznaczenie położenia punktu D
4 4
Po uwzględnieniu wartości I = 545.91r oraz I = -146.47r otrzymamy współrzędne
xc xc yc
punktu D(545.91r4,-(-146.47r4)), czyli D(545.91r4,146.47r4).
4. Wyznaczenie promienia koła Mohra
A
ączymy punkty C i D odcinkiem CD , który stanowi promień R koła Mohra. Promieniem
tym zataczamy okrąg.
5. Wyznaczenie głównych momentów bezwładności
Koło Mohra przecina oś poziomą w dwu punktach: E i F. Długość odcinka OE odpowiada
minimalnemu momentowi bezwładności I2 , natomiast długość odcinka O F odpowiada
maksymalnemu momentowi bezwładności I1 .
6. Wyznaczenie kierunków głównych
Oś przechodząca przez punkty E i D jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a oś
przechodząca przez punkty F i D jest osią minimalnego momentu bezwładności.
3
Momenty dewiacyjne