Mechanika i wytrzymałość materiałów
WPPT
Materiały dla studentów
Doświadczalne wyznaczanie masowego momentu bezwładności.
Mgr in\
. Monika Stefańska
Wrocław 2009
All rights reserved
1. Wprowadzenie
Bryła sztywna
Bryłą sztywną nazywamy takie ciało, w którym wszystkie punkty mają zawsze względem
siebie stałą odległość.
Rys. 1 Bryła sztywna
r r r
ri - rj = rij = rij Ò! nie zale\
y od czasu
Stąd wynika, ze podczas ruchu układ punktów materialnych składających się na bryłę
sztywną porusza się jako całość o nie zmieniającej się postaci i objętości.
Moment bezwładności
Do opisu ruchu obrotowego brył sztywnych wprowadzono pojęcie momentu bezwładności,
który w tym przypadku jest miarą bezwładności, podobnie jak masa w ruchu postępowym.
Jest to spowodowane tym, \
e w ruchu obrotowym bryły znaczenie ma nie tylko masa, ale i jej
rozkład względem osi obrotu. Ruch obrotowy całej bryły mo\
na rozpatrywać jako sumę
ruchów po okręgu poszczególnych mas elementarnych, na które mo\
na podzielić całą bryłę.
Moment bezwładności to wielkość charakteryzująca bezwładność ciała stosowana przy
opisie ruchu obrotowego.
Je\
eli na bryłę poruszającą się ruchem obrotowym działa moment siły M, to bryła porusza się
z przyspieszeniem kÄ…towym µ, którego wartość jest proporcjonalna do wartoÅ›ci momentu siÅ‚y
i odwrotnie proporcjonalna do momentu bezwładności bryły:
µ=M/I (1)
Równanie (1) wyra\
a treść II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego.
Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna
nazywamy iloczyn masy punktu przez kwadrat odległości tego punktu od danej płaszczyzny,
osi lub bieguna:
(2)
Rys.2 Moment bezwładności punktu materialnego względem osi
Momentem bezwładności układu punktów materialnych względem płaszczyzny, osi lub
bieguna nazywamy sumę momentów bezwładności wszystkich punktów materialnych
względem tej płaszczyzny, osi lub bieguna:
(3)
Momentem bezwładności układu ciągłego (linii, powierzchni lub bryły materialnej)
względem przyjętej płaszczyzny osi lub bieguna nazywamy całkę:
(4)
PodstawiajÄ…c
zale\
ności od tego, czy układ jest
linią, powierzchnią, czy bryłą materialną, otrzymujemy dla ciał jednorodnych (p= const):
Całki występujące po prawej stronie równań nazywamy geometrycznymi momentami
bezwładności. Masowy moment bezwładności jest więc (dla ciał jednorodnych) iloczynem
gęstości przez geometryczny moment bezwładności.
Dla danego układu ciągłego mo\
na wyró\
nić momenty bezwładności względem trzech
płaszczyzn współrzędnych, trzech osi współrzędnych i bieguna.
Biegunowym momentem bezwładności IO układu punktów materialnych względem punktu O
nazywamy sumę iloczynów mas mk i kwadratów ich odległości od punktu 0, czyli:
(5)
Momentami bezwładności Ixy, Iyz, Izx względem płaszczyzn xy, yz, zx układu punktów
xy, yz, zx uk
xy
materialnych nazywamy sumy iloczynów mas m przez kwadraty ich odleg
materialnych nazywamy sumy iloczynów mas mk przez kwadraty ich odległości od tych
płaszczyzn. Zatem mamy:
(6)
Momentami bezwładności Ix, Iy, Iz względem osi x, y, z układu punktów materialnych nazywamy
x, y, z układu punktów materialnych nazywamy
y
sumy iloczynów mas mk oraz kwadratów ich odległości od tych osi:
oraz kwadratów ich odległo
(7)
Rys. 3 Opis poło\
enia punktu materialnego
Rys. 3
Pomiędzy tymi momentami zachodz
dzy tymi momentami zachodzą następujące związki:
" Suma momentów bezwładno dem dwóch płaszczyzn wzajemnie prostopadłych
" Suma momentów bezwładności względem dwóch płaszczyzn wzajemnie prostopadłych
jest równa momentowi bezwładności względem osi pokrywającej się z krawędzią
ówna momentowi bezwładno cej si
przecięcia się tych płaszczyzn.
tych płaszczyzn.
" Biegunowy moment bezwładno ci jest równy połowie sumy osiowych momentów
" Biegunowy moment bezwładności jest równy połowie sumy osiowych momentów
bezwładności względem trzech prostopadłych osi przechodz cych przez ten biegun.
dem trzech prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun.
" Moment biegunowy jest sum dem trzech prostopadłych płaszczyzn
sumą momentów względem trzech prostopadłych płaszczyzn
przechodzÄ…cych przez dany biegun.
cych przez dany biegun.
Oprócz tych szczególnych momentów bezwładności, dowolny układ materialny ma
ócz tych szczególnych momentów bezwładno ci, dowolny układ materialny ma
nieskończenie du\
o momentów bezwładności, w zale\
ności od obioru płaszczyzny, osi lub
o momentów bezwładno obioru płaszczyzny, osi lub
bieguna.
Bardzo wa\
ną własnością momentów bezwładno średnio z ich defini
ą momentów bezwładności wynikającą bezpośrednio z ich definicji
jest addytywność (rys.4).
I2
I1
I1+2
Rys.4 Addytywno
Rys.4 Addytywność momentów bezwładności
Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi
ci względem dowolnej osi jest równy momentowi wzgl
równoległej przechodzącej przez kszonemu o iloczyn masy całkowitej
cej przez środek cię\
kości powiększonemu o iloczyn masy całkowitej
układu przez kwadrat.
I = Io + m Å" a2 (8)
Rys.5 Twierdzenie Steinera
Tensor bezwładności
Analizując dynamikę ciała stałego mogącego obracać się wokół dowolnej osi w przestrzeni
ciała stałego mog wokół dowolnej osi w przestrzeni
potrzebna jest znajomość pełnego rozkładu masy, który to rozkład wyra\
amy poprzez tensor
pełnego rozkładu masy, który to rozkład wyra
pełnego rozkładu masy, który to rozkład wyra\
amy poprzez tensor
bezwładności ciała sztywnego. Tensor bezwładno lany jest w układzie współrzędnych
ci ciała sztywnego. Tensor bezwładności określany jest w układzie współrz
związanym z ciałem. Tensor bezwładno ci definiuj
zanym z ciałem. Tensor bezwładności jest więc zbiorem wielkości definiujących rozkład
masy ciała sztywnego względem osi konkretnego układu współrz dnych, najcz
ędem osi konkretnego układu współrzędnych, najczęściej układu
związanego z ciałem. Ogólnie tensor bezw amy w postaci macierzy:
zanego z ciałem. Ogólnie tensor bezwładności wyra\
amy w postaci macierzy:
 (9)
gdzie: Bxx, Byy, Bzz  momenty bezwładności ciała względem poszczególnych osi układu
współrzędnych, Bxy, Byz, Byz  momenty dewiacyjne (odśrodkowe) bezwładności,
wyznaczane względem poszczególnych płaszczyzn układu współrzędnych.
(10)
Współrzędne tensora bezwładności zale\
ą od poło\
enia i orientacji układu współrzędnych
względem zapisujemy tensor bezwładności ciała. Dobierając orientację układu współrzędnych
tak by jego osie pokrywały się z głównymi osiami bezwładności ciała uzyskujemy
wyzerowanie odśrodkowych momentów bezwładności.
(11)
Doświadczalne metody wyznaczania masowego momentu bezwładności
Doświadczalne wyznaczanie momentów bezwładności jest metodą stosowaną w przypadkach
ciał o nieregularnych kształtach, których momenty bezwładności nie jest łatwo wyznaczyć
metodami analitycznymi czyli metodami opartymi na wymiarach geometrycznych ciał.
WykorzystujÄ…c powy\
ej wspomniane definicje i twierdzenia mo\
na łatwo wyznaczyć masowe
momenty bezwładności części maszyn o kształtach regularnych. Jednak dla wielu elementów
o kształtach skomplikowanych (np. korbowód, wal korbowy, koło zębate) często
występujących w praktyce, zastosowanie ich prowadzi do bardzo skomplikowanych obliczeń.
Wtedy odwołujemy się do metod doświadczalnych.
Metoda zawieszenia jednonitkowego
Stanowisko pomiarowe składa się ze stojaka, na którym zawieszona jest na strunie stalowej
tarcza. Na tarczy mo\
na umieszczać badane ciało. Załó\
my niewielkie, do 10 stopni,
wychylenia skrętne tarczy z poło\
enia równowagi opisane zmiennÄ… Õ.
godnie z drugÄ…
zasadą Newtona równanie ró\
niczkowe ruchu tarczy ma wówczas postać
(12)
gdzie: BT  moment bezwładności tarczy względem osi struny, M  moment reakcyjny
związany ze skręceniem struny. Moment ten jest liniowo zale\
ny od kÄ…ta skrÄ™cenia struny Õ i
ma postać:
(13)
gdzie: G  moduł sprę\
ystości postaciowej struny (własność materiału z którego wykonana
jest struna), I  biegunowy moment bezwładności kołowego przekroju poprzecznego struny,
L  długość struny.
Wstawiając równanie (13) do równania (12) otrzymujemy:
(14)
Ogólnie równanie (14) drgań tarczy mo\
emy wyrazić jako:
(15)
Częstość kołowa drgań własnych tarczy wynosi więc:
(16)
natomiast okres drgań:
(17)
Przekształcając równanie (17) mo\
emy wyznaczyć moment bezwładności tarczy względem
pionowej osi obrotu (czyli struny) :
(18)
Jak widzimy we wzorze (18) wyra\
enie GI/4Ą2L jest wartością stałą. Umieszczając na tarczy
badany obiekt w taki sposób by środek masy obiektu le\
ał na linii osi obrotu tarczy z członem
uzyskujemy
(19)
gdzie: BC  moment bezwładności obiektu względem osi obrotu tarczy, TC - okres drgań
skrętnych tarczy z umieszczonym na niej obiektem.
PodstawiajÄ…c (18) do (19) mamy:
(20)
Metoda zawieszenia trójnitkowego
Rys. 6 a) Stanowisko pomiarowe b) rozkład siły napięcia nici na składowe
Stanowisko pomiarowe składa się ze stojaka, na którym zawieszona jest na trzech nitkach o
jednakowej długości tarcza, Rys. 6. Na tarczy mo\
na umieszczać badane ciało. Załó\
my
niewielkie, do 10 stopni, wychylenia skrętne tarczy z poło\
enia równowagi opisane zmienną
Õ.
godnie z drugą zasadą Newtona równanie ró\
niczkowe ruchu tarczy ma wówczas postać:
(21)
gdzie: BT  moment bezwładności tarczy względem osi pionowej, M  moment sił
działających na tarczę. Równanie (21) opisuje skrętne drgania własne nietłumione tarczy.
Wychyleniu kÄ…towemu tarczy Õ wokół pionowej osi przechodzÄ…cej przez jej Å›rodek masy
odpowiada obrót nici zawieszenia tarczy o kÄ…t ¸, Rys. 6a. Mo\
emy więc zapisać zale\
ność
obu kątów jako:
(22)
gdzie: r  promień mierzony od środka tarczy do punktu zamocowania nici, L  długość nici.
Rozwa\
ając dowolne skrętne wychylenie tarczy z poło\
enia równowagi mo\
emy siłę napięcia
nici FT, Rys. 6b, wyrazić poprzez skÅ‚adowÄ… pionowÄ… FTcos¸ oraz poziomÄ… FTsin¸. RzutujÄ…c
wszystkie siły działające na tarczę na kierunek pionowy otrzymujemy:
, gdzie: mT  masa tarczy. (23)
Pamiętając o zało\
eniu maÅ‚ych kÄ…towych wychyleÅ„ tarczy ¸ < 10 równanie (23) ma postać:
(24)
Z kolei składowa pozioma siły naprę\
enia nici jest siłą styczną do promienia okręgu
zamocowania wszystkich trzech nici. Mo\
emy więc moment sił działających na tarczę
względem osi pionowej przechodzącej przez środek masy tarczy zapisać jako:
(25)
dla ¸ < 10 równanie (25) przyjmuje postać:
(26)
Wstawiając równanie (26) do równania (21) otrzymujemy:
(27)
Z równań (22) oraz (24) mamy:
(28)
Podstawiając równanie (28) do (27) otrzymujemy równanie drgań tarczy w postaci:
(29)
Częstość kołowa drgań własnych tarczy wynosi więc:
(30)
natomiast okres drgań:
(31)
Przekształcając równanie (31) mo\
emy wyznaczyć moment bezwładności tarczy względem
pionowej osi obrotu przechodzącej przez jej środek masy:
(32)
Umieszczając na tarczy badany obiekt w taki sposób by środek masy członu znajdował się na
osi obrotu tarczy z członem uzyskujemy równanie w postaci:
(33)
gdzie: mC  masa członu manipulatora, BC  moment bezwładności członu względem osi
obrotu tarczy.
Przekształcając (33) analogicznie jak równanie (29) mamy:
(34)
gdzie: TC  okres drgań skrętnych układu tarcza  badany obiekt.
Metoda z wykorzystaniem wahadła fizycznego
Wahadło matematyczne
Wahadłem matematycznym nazywamy punktową masę zawieszoną na niewa\
kiej nici.
Wahadło fizyczne
Wahadłem fizycznym nazywamy natomiast bryłę sztywną mogącą obracać się wokół osi
obrotu O nie przechodzącej przez środek cię\
kości S.
Rys.7 Wahadło fizyczne
WahadÅ‚o odchylone od pionu o kÄ…t ¸, a nastÄ™pnie puszczone swobodnie, bÄ™dzie wykonywać
drgania zwane ruchem wahadłowym. W ruchu tym mamy do czynienia z obrotem bryły
sztywnej wokół osi O, opisuje go zatem druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.
Dla wahadła fizycznego moment siły powstaje pod wpływem siły cię\
kości. Dla wychylenia
¸ jest równy M = mga sin¸, gdzie a oznacza odlegÅ‚ość Å›rodka ciÄ™\
kości S od osi obrotu O.
Zatem równanie ruchu wahadła mo\
na zapisać jako:
(35)
Znak minus po prawej stronie uwzględnia fakt, \
e moment siły jest skierowany przeciwnie do
kierunku wychylenia.
Je\
eli ograniczyć ruch do małych kątów wychylenia (kilka stopni), to sinus kąta mo\
na
zastÄ…pić samym kÄ…tem w mierze Å‚ukowej, czyli sin ¸ H" ¸. Przy tym zaÅ‚o\
eniu równanie (35)
przyjmuje postać:
 (36)
gdzie (37)
Rozwiązaniem tego równania ró\
niczkowego jest funkcja:
(38)
Wzór (38) wskazuje, \
e wahadÅ‚o porusza siÄ™ ruchem harmonicznym prostym. Amplituda ¸m i
faza Ä… zale\
ą od warunków początkowych. Okres drgań T, związany bezpośrednio z
czÄ™stoÅ›ciÄ… É0 wynosi:
(39)
Przekształcając równanie otrzymujemy:
(40)
2. Przebieg laboratorium
1. Doświadczalne wyznaczenie masowego momentu bezwładności badanych obiektów
za pomocą metody z wykorzystaniem wahadła fizycznego
2. Analityczne wyznaczenie momentu bezwładności badanych obiektów
3. Porównanie wyników
3. Literatura
1. Wyznaczanie momentu bezwładności bryły metodą wahadła fizycznego, Szkoła Główna
Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie, http://kf.sggw.pl/cwiczenia/O_EX08.pdf;
2. Wahadła fizyczne, M. Nowina-Konopka, A. Zięba, Akademia Górniczo-Hutnicza w
Krakowie, www.ftj.agh.edu.pl/zdf/zeszyt/3_01n.pdf;
3. Doświadczalne wyznaczanie masowych momentów bezwładności części maszyn,
A
.Frąckowiak-Iwanicka, T.Kleikel, Uniwersytet Zielonogórski, http://www.uz.zgora.pl/
~tklekiel/tmm/cw_4.pdf;
4. Wyznaczanie współrzędnych tensorów bezwładności członów manipulatorów, P. Szumiński,
Politechnika A
ódzka, http://www.kdm.p.lodz.pl/wyklady/tmm/TMM-1.pdf;
5. Mechanika ogólna w zarysie. Momenty bezwładności., W. Sałata, Politechnika Poznańska,
http://neur.am.put.poznan.pl/salata/momenty_bezwladnosci.pdf;
6. Dynamika bryły sztywnej, L.J. Maksymowicz, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie,
home.agh.edu.pl/~limaksy/wyklady/brylasz.doc.