6. POWIERZCHNIOWE MOMENTY BEZWA
ADNOÅšCI
Zadanie 6.1
Dla figury przedstawionej na rysunku 6.1.1 wyznaczyć położenie głównych centralnych osi
bezwładności i określić względem nich główne centralne momenty bezwładności.
Rys.6.1.1
RozwiÄ…zanie
Rozpocząć należy od wyznaczenia współrzędnych środka ciężkości dla danej figury,
względem przyjętego uprzednio układu odniesienia Oxy. Patrz zadanie 5.2. Współrzędne te
wynoszÄ…:
xc = 2mm; yc = 3mm
Momenty bezwładności prostokątów na które podzieliliśmy naszą figurę względem ich osi x1,
y1 i x2, y2 mających początki w ich środkach ciężkości wynoszą
b Å" h3 2 Å" 63 h Å" b3 6 Å" 23
Ix1 = = = 36[mm4]; Iy1 = = = 4[mm4]
12 12 12 12
6 Å" 23 2 Å" 63
Ix2 = = 4[mm4]; Iy2 = = 36[mm4]
12 12
Przez środek ciężkości C figury prowadzimy osie układu Cxcyc
Wyznaczamy moment bezwładności względem osi xc figury 1 korzystając z twierdzenia
Steinera
I(1) = Ix1 + A1 Å" (y1  yc)2 = 36 + 12(5  3)2 = 84[mm4] 
xc
następnie figury 2
I(2) = Ix 2 + A2 Å" (y2  yc)2 = 4 +12(1  3)2 = 52[mm4]
xc
sumujemy te momenty otrzymując moment bezwładności całej figury względem osi xc:
Ixc=I(1)+I(2)=84+52=136[mm4]
xc xc
Podobnie postępujemy wyznaczając Iyc
I(1) = Iy1 + A1 Å" (x1  xc )2 = 4 +12(1 2)2 = 16[mm4]
yc
I(2) = Iy2 + A2 Å" (x2  xc )2 = 36 + 12(3  2)2 = 48[mm4]
yc
Iyc=I(1)+I(2)=16+48=64[mm4]
yc yc
Wyznaczamy moment dewiacji figury 1 względem osi Cxcyc
I(1) =0+A1(x1 xc )(y1 yc)=12(1 2)(5 3)= 24[mm4]
xcyc
oraz figury 2
I(2)c=0+A2(x2 xc)(y2 yc )=12(1 3)(3 2)= 24[mm4]
xcy
Całkowity moment dewiacji
Ixcyc=I(1) +I(2)c= 24 24= 48[mm4]
xcyc xcy
NastÄ™pnie wyznaczamy kÄ…t Õo jaki należy odmierzyć od osi xc aby znalez
ć położenie osi
głównych
2 Å" Ixcyc
2 Å" 48
tg2Õo =  = = 1,33
Ixc  Iyc 136  64
więc
2Õo = 53,13o; Õo = 26,56o
Aby stwierdzić czy os Imax (1)bÄ™dzie obrócona wzglÄ™dem osi xc o kÄ…t Õo, czy Õo + 90o
podstawiamy wyliczone wartości do wzoru transformacyjnego
1 1
I¾ = (Ixc + Iyc ) + (Ixc  Iyc ) Å" cos2Õo  Ixcyc Å" sin 2Õo =
2 2
136 + 64 136  64
= + Å" cos53,13o + 48 Å" sin 53,13 = 100 + 21,6 + 38,4 = 160[mm4]
2 2
widzimy, że wyliczone I¾>Ixc,
Stwierdzamy zatem, że oÅ› 1 (dla Imax), ustala kÄ…t , Õo = 26,56o. OÅ› 2 (dla Imin) jest wiÄ™c
nachylona do dodatniego kierunku osi xc pod kÄ…tem Õo + 90o, (rys. 6.1.2).
Wyliczone I¾ jest oczywiÅ›cie równe maksymalnemu, centralnemu momentowi bezwÅ‚adnoÅ›ci
figury I1
Główne centralne momenty bezwładności wyliczamy ze wzorów
1 1 1 1
I1 = (Ixc + Iyc ) + (Ixc  Iyc )2 + 4 Å" I2 = (136 + 64) + (136  64)2 + 4 Å" 482 = 160[mm4],
xcyc
2 2 2 2
1 1 1 1
I2 = (Ixc + Iyc )  (Ixc  Iyc )2 + 4 Å" I2 = (136 + 64)  (136  64)2 + 4 Å" 482 = 40[mm4].
xcyc
2 2 2 2
Rys.6.1.2
Zadanie 6.2
Dla figury przedstawionej na rysunku 6.2.1 wyznaczyć położenie głównych centralnych osi
bezwładności i określić względem nich główne centralne momenty bezwładności.
Rys.6.2.1
RozwiÄ…zanie
Rozpocząć należy od wyznaczenia współrzędnych środka ciężkości dla danej figury,
względem przyjętego uprzednio układu odniesienia Oxy. Patrz zadanie 5.4, rys. 5.4.b.
Współrzędne te wynoszą:
xc = -0,52mm; yc = 1,9mm
Przez środek ciężkości rysujemy układ współrzędnych Cxcyc.
W każdym ze środków ciężkości figur prostych na jakie podzieliliśmy naszą figurę rysujemy
układy współrzędnych x1y1, x2y2, x3y3. Wyliczamy odległości pomiędzy poszczególnymi,
równoległymi osiami, rysunek 6.2.2.
Rys.6.2.2
Liczymy moment bezwładności względem osi xc i yc jako sumę momentów trzech figur
prostych, stosujÄ…c twierdzenie Steinera.
Ixc = I(1) + A1 Å" 0,12 + I(2) + A2 Å"1,232 + I(3) + A3 Å"1,12 =
x x x
2 Å" 43 2Å" 23 Ä„Å"14
= + 8Å" 0,12 + + 2 Å"1,232 + +1,57 Å"1,12 = 16,51[mm4]
12 36 8
Iyc=I(1)+A1Å"0,482+I(2)+A2Å"1,192+I(3)+A3Å"0,942
y y y
W ostatnim wzorze nie znamy I(3) dla półkola względem osi przechodzącej przez jego środek
y
Ä„Å"r4
ciężkości. Wiemy natomiast, że moment dla półkola względem średnicy jest równy .
8
Więc z twierdzenia Steinera
2
Ä„ Å"14 Ä„Å"12 4 1 Ä„ 8
ëÅ‚ öÅ‚
I(3) =  ìÅ‚ ÷Å‚  [mm4]
=
y
8 2 3 Ä„ 8 9 Å" Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
podstawiajÄ…c
4 Å" 23 2 Å" 23 Ä„ 8
Iyc = + 8Å" 0,482 + + 2 Å"1,192 + - +1,57 Å" 0,942 = 9,28[mm4]
12 36 8 9 Å" Ä„
Moment dewiacji względem osi xcyc
Ixcyc=I(1)+A1( 0,1)(0,48)+I(2)+A2(1,23)( 1,19)+I(3)+A3( 1,1)( 0,94)=
xy xy xy
22Å"22
=0+8Å"( 0,1)(0,48)+( )+2Å"(1,23)( 1,19)+0+1,57Å"( 1,1)( 0,94)= 1,91[mm4]
72
NastÄ™pnie wyznaczamy kÄ…t Õo jaki należy odmierzyć od osi xc aby znalez
ć położenie osi
głównych
2 Å" Ixcyc
2Å"1,91
tg2Õo =  = = 0,528
Ixc  Iyc 16,51 9,28
więc
2Õo = 27,8o; Õo = 13,9o
Aby stwierdzić czy os Imax (1)bÄ™dzie obrócona wzglÄ™dem osi xc o kÄ…t Õo, czy Õo + 90o
podstawiamy wyliczone wartości do wzoru transformacyjnego
1 1
I¾ = (Ixc + Iyc) + (Ixc  Iyc) Å" cos2Õo  Ixcyc Å" sin 2Õo =
2 2
16,51+ 9,28 16,51 9,28
= + Å" cos27,8o + 1,91Å" sin 27,8o = 16,98[mm4]
2 2
widzimy, że wyliczone I¾>Ixc,
Stwierdzamy zatem, że oÅ› 1 (dla Imax), ustala kÄ…t , Õo = 13,9. OÅ› 2 (dla Imin) jest wiÄ™c
nachylona do dodatniego kierunku osi xc pod kÄ…tem Õo + 90o, (rys. 6.2.2).
Wyliczone I¾ jest oczywiÅ›cie równe maksymalnemu, centralnemu momentowi bezwÅ‚adnoÅ›ci
figury I1
Główne centralne momenty bezwładności wyliczamy ze wzorów
1 1 1 1
I1 = (Ixc + Iyc ) + (Ixc  Iyc )2 + 4Å" I2 = (16,51+ 9,28) + (16,51 9,28)2 + 4 Å"1,912
xcyc
2 2 2 2
I1 = 16,98[mm4 ],
1 1 1 1
I2 = (Ixc + Iyc )  (Ixc  Iyc )2 + 4Å" I2 = (16,51+ 9,28)  (16,51 9,28)2 + 4Å"1,912
xcyc
2 2 2 2
I2 = 8,81[mm4 ].
Zadanie 6.3
Przekrój figury przedstawionej na rysunku 6.3.1 składa się z ceownika znormalizowanego
[ 100 i kÄ…townika 40×40×5. Wyznaczyć poÅ‚ożenie głównych centralnych osi bezwÅ‚adnoÅ›ci i
określić względem nich główne centralne momenty bezwładności.
RozwiÄ…zanie
Z tablic dla znormalizowanych wyrobów walcowanych odczytujemy
Dla ceownika
Pole przekroju poprzecznego; AI = 13,5cm2
Moment bezwładności względem osi poziomej xI; IxI = 206 cm4
Moment bezwładności względem osi pionowej yI; IyI = 29,3 cm4
 Rys. 6.3.1 Rys. 6.3.2
Dla kÄ…townika;
Pole przekroju poprzecznego; AII = 3,79 cm2,
Momenty bezwładności względem osi poziome i pionowej IxII i IyII są równe;
IxII = IyII = 5,54 cm4
Momenty bezwładności względem osi głównych, centralnych (osie biegnące przez środek
ciężkości kątownika i nachylone pod kątem  450  jedna z nich jest osią symetrii przekroju
kÄ…townika)
I1II = 8,75cm4;
I2II = 2,34cm4.
Wyznaczenie położenia środka ciężkości figury.
Wyznaczamy współrzędne środka ciężkości względem układu odniesienia mającego początek
w środku ciężkości ceownika rysunek 6.3.2.
Z twierdzenia o momentach statycznych:
0+AIIÅ"(-1,55-1,17) 3,79(-2,72)
xC= = -0,6cm
AI+AII 17,29
0 + AII Å"(5,0 -1,17) 3,79Å"3,83
yC = = = 0,84cm.
AI + AII 17,29
Na rysunku 6.3.2 nanosimy układ współrzędnych centralnych mający początek w punkcie C i
osie poziomÄ… xC i pionowÄ… yC.
Wyznaczamy względem tego układu momenty bezwładności figury korzystając z twierdzenia
Steinera.
IxC = IxI + AI Å"0,842 + IxII + AII Å" (5  0,84  1,17)2 =
= 206 +13,5Å"0,842 + 5,54 + 3,79Å" 2,992 = 254,95cm4
IyC = IyI + AI Å"0,62 + IyII + AII Å"(1,17 +1,55  0,6)2 =
= 29,3+13,5Å"0,62 + 5,54 + 3,79Å" 2,122 = 56,73cm4
Aby wyznaczyć moment dewiacji względem układu osi C,xC,yC musimy znać moment
dewiacji kątownika względem osi xII,yII. Moment dewiacji ceownika względem osi xI,yI jest
równy zeru bo jedna z osi jest osią symetrii.
Ponieważ dla kątownika znamy główne centralne momenty bezwładności, korzystając z
wzoru transformacyjnego wyliczamy:
1 1
IxIIyII= (I1II I2II)Å"sin( 900 )= (8,75 2,34)Å"( 1)= 3,2cm4
2 2
a następnie dla całej figury moment dewiacji względem osi xC,yC:
IxCyC=0+AIÅ"0,84Å"( 0,6)+IxIIyII+AIIÅ"2,12Å"( 2,99)=
=13,5Å"0,84Å"( 0,6)+( 3,2)+3,79Å"2,12Å"( 2,99)= 34cm4
Kąt o jaki należy obrócić układ aby znalez
ć się położeniu głównym:
2Å" IxCyC
2Å"34,0
tg2Ä…o = - = = 0,343
IxC - IyC 254,95 - 56,73
Ä…o = 9,460
Główne centralne momenty bezwładności względem tego układu wynoszą
1 1
2
I1 = (IxC + IyC)+ (IxC  IyC)+ 4I2 =
xCyC
2 2
1 1
= (254,95 + 56,73) + (254,95  56,73)2 + 4 Å"342 = 260,6cm4
2 2
1 1
2
I2 = (IxC + IyC) (IxC  IyC)+ 4I2 =
xCyC
2 2
1 1
= (254,95 + 56,73)  (254,95  56,73)2 + 4 Å"342 = 51,1cm4
2 2