GEOMETRIA MAS  momenty bezwładności i dewiacji
Zasady ogólne:
1) Moment bezwładności względem osi równy jest sumie momentów bezwładności względem dwóch
prostopadłych płaszczyzn zawierających tę oś:
I =I + IÄ„ xz
x Ä„ xy
I =I + IÄ„ yz
y Ä„ xy
I = IÄ„ xz +I
z Ä„ yz
2) Moment bezwładności względem punktu równy jest sumie momentów bezwładności względem trzech
prostopadłych płaszczyzn przecinających się w tym punkcie:
I =I +I + IÄ„ yz
o Ä„ xy Ä„ xz
lub równy jest połowie sumy momentów bezwładności względem trzech prostopadłych osi przechodzących
przez ten punkt:
1
I = (I +I + I )
o x y z
2
3) Dla ciał jednorodnych czyli o stałym rozkładzie gęstości (lub układu ciał o jednakowej gęstości) masowy
moment bezwładności to iloczyn gęstości ciała i geometrycznego momentu bezwładności:
G
I = Á I
Aby przejść z masowego momentu na geometryczny należy moment masowy podzielić przez gęstość ciała
lub zastąpić masę objętością (bryła  3D), polem powierzchni (cienka płytka lub figura  2D), długością (cienki
pręt-1D) (gęstość odpowiednio objętościowa, powierzchniowa, liniowa).
4) W mechanice wykorzystuje się masowe momenty bezwładności, jednostka [kg m^2],
w wytrzymałości materiałów (dla przekrojów ciał  2D) stosuje się geometryczne momenty bezwładności,
jednostka [m^4].
5) Momenty bezwładności są zawsze dodatnie, momenty dewiacji mogą być dodatnie, ujemne lub równe zero.
6) Twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności
Moment bezwładności ciała względem danej osi równy jest sumie momentu bezwładności ciała względem
osi do niej równoległej i przechodzącej przez środek masy ciała (centralnej) oraz iloczynu masy ciała przez
kwadrat odległości między osiami, np. dla osi x:
I = I +me2
x xC
Twierdzenie to obowiązuje również dla płaszczyzny i punktu.
7) Twierdzenie Steinera dla momentów dewiacji
Moment dewiacji ciała względem dwu prostopadłych płaszczyzn równy jest sumie momentu dewiacji
względem dwu płaszczyzn równoległych do danych płaszczyzn i zawierających środek masy (centralnych)
ciała oraz iloczynu masy ciała przez współrzędne określające położenie obu płaszczyzn względem płaszczyzn
centralnych, np.:
I = IÄ„ xz Ä„ yz=I + mek
xy xC yC
W przypadku figur płaskich twierdzenie to dotyczy momentów dewiacji względem osi.
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 1
MOMENTY BEZWA
ADNOŚCI  podstawowe wzory dla ciał jednorodnych
GRANIASTOSA
UP WALEC
1 1 1
I = m(a2+c2)
I = I = mr2+ mh2
x
x y
12
4 12
1
1
I = m(b2+c2)
z y I = mr2
z
12
2
1
z
z
I = m(a2+b2)
z
12
1
C
c 1
I = mh2
Ä„ xy
I = mc2
Ä„ xy C 12
h
12
y y
1
1
I =I = mr2
Ä„ xz Ä„ yz
I = ma2
Ä„ xz 4
12 x
b y
r
1
a y
I = mb2
Ä„ yz 2
x
m = ÁV =Á Ä„ r h
12
x x 
x
I = ?
I = ?
x '
x '
I = ?
I = ?
y '
y '
I = ?
I = ?
z ' '
x ' '
CIENKA PA
YTKA PROSTOK
TNA CIENKA PA
YTKA KOA
OWA
Rozwiązanie dokładne : Rozwiązanie dokładne :
1 1 1
I = m(a2+h2) I = I = mr2+ mh2
x x y
12 4 12
h
1
1
I = m(b2+h2)
y I = mr2
z
12
2
1
I = m(a2+b2) z
z
h
C 12
ale hC"0, stÄ…d
(rozwiązanie przybliżone):
y C
b
ale hC"0, stÄ…d
r y
z
(rozwiązanie przybliżone):
1
x
I =I = mr2
x y
a
4
1
x
I = ma2 1
x
I =IC = mr2
12
z
2
1
I = mb2
y
12
m = ÁV =Á Ä„ r2 h
1
(oÅ› z skierowana jest prostopadle do I = m(a2+b2)
z
lub m = Áa A =Áa Ä„ r2
12
płytki - do nas)
gdzie Áa=Á h
Á [ kg / m3] ; Áa [kg /m2]
PROSTOK
T [przekrój (figura) --> momenty geometryczne] KOA
O [przekrój (figura) --> momenty geometryczne]
1 1
G y y G=I G= 1 Ar2
I = Aa2 = ba3 I
12 12
x x y 4
1 1
G= 1
y G
I Ar2
I = Ab2 = ab3
2
12 12 C
y
C
C
y
gdzie : A=ab
gdzie : A=Ä„ r2
x
r
b
I = ?
I = ?
y'
a x '
I = ?
x
x y'
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 2
GRANIASTOSA
UP PROSTY (dowolna figura w CIENKI PR
T
podstawie)
Rozwiązanie dokładne :
1 1
I = I = mr2+ mh2
z x y
4 12
1
z
I = mr2
z
2
1
h
I = mh2
ale r C"0, stÄ…d
Ä„ xy
12
(rozwiązanie przybliżone):
C
C
h
y
y 1
I = I = mh2
c x y
gdzie :
x
12
m = ÁV =Á Ah
x
I =0
z
A- pole powierzchni
2r
podstawy
2
b
m = ÁV =Á Ä„ r h
a
lub m = Áb h
gdzie Áb=Á A=Á Ä„ r2
Á [kg/m3] ; Áb [kg /m]
STOŻEK PROSTY TRÓJK
T [przekrój (figura) --> momenty geometryczne]
z
3 1
G=1 1
I = I = mr2+ mh2 I Ah2= ah3
x y
h
20 10
6 12
x
3
I = mr2
z
10
h
1
gdzie : A= ah
2
1
a
I = mh2 x
C Ä„ xy
10
3
y
I =I = mr2
Ä„ xz Ä„ yz
20
G=1 1
I Aa2= ba3
y
6 12
r x
G=1 1
gdzie :
I Ab2= ab3
a
y 6 12
1
2
x
m = ÁV = Á Ä„ r h
3
1
x
b
gdzie : A= ab
2
KULA PÓA
KULA
2 2
I = I =I = mr2 I = I =I = mr2
x y z x y z
5 5
1 1
z
I =I =I = mr2
I =I =I = mr2
Ä„ xz Ä„ yz Ä„ xy
Ä„ xz Ä„ yz Ä„ xy
5
5
z
3 3
IC= mr2
IO= mr2
5
5
r y
gdzie :
r
C gdzie :
C
4 1( 4 2
y
O m = ÁV =Á Ä„ r3)=Á Ä„ r3
m = ÁV =Á Ä„ r3
2 3 3
3
y
UWAGA : wzory te same co dla kuli , ale
x
masa we wzorach o połowę mniejsza ,
zatem moment wyjdzieo połowę mniejszy
x
I = ?
C
I = ?
y'
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 3
MASA SKUPIONA PÓA
KOLE [przekrój (figura) --> momenty geometryczne]
G=I G= 1 Ar2
I
x y 4
G= 1
I Ar2
O 2
y
gdzie :
x
I =mr2 1
x
A= (Ä„ r2)
r
2
r
C
UWAGA: masa skupiona-ciało
O
UWAGA: wzory te same codla koła ,
omasie nie do pominięcia ,
x ale pole powierzchni we wzorach
jednak o niewielkich
o połowę mniejsze , zatemmoment
m wymiarachdo pominięcia
wyjdzie o połowę mniejszy
I = ?
C
I = ?
x '
PÓA
WALCA ĆWIERĆ WALCA
1 1
I = I = mh2+ mr2
x y
12 4
1 1
1 I = I = mH2+ mr2
x y
I = mr2
3 4
z
2
z
1
I = mr2
z
2
z
1
I = mh2
Ä„ xy
12
1
1
I = mH2
Ä„ xy
h I =I = mr2
Ä„ xz Ä„ yz 3
C
4
O
1
gdzie : I =I = mr2
Ä„ xz Ä„ yz
O C
4
H=½ h
1
m = ÁV =Á( Ä„ r2)h
gdzie :
2
y
r
1 1
x
m = ÁV =Á( Ä„ r2)( h)
y
r
2 2
x
UWAGA: wzory te same co dla
y
walca , ale masa we wzorach
o połowęmniejsza , zatem UWAGA: wzoryte same co dla walca
moment wyjdzieo połowę względem układu osi w podstawie ,
mniejszy ale masa we wzorach4 razy mniejsza
zatem moment wyjdzie 4 razy mniejszy
I = ?
y'
Twierdzenie Steinera:
I = I + m a2
x x' ß# ß#
ß# ß#
masa kwadrat odległości między osiami
oś równoległa oś przech przez środek masy
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 4
x
u
t
o
r
b
o
Å›
o
PRZYKA
ADOWE ZADANIA
ZAD.1
Wyznaczyć moment bezwładności jednorodnego walca kołowego o masie m i promieniu podstawy r względem tworzącej
powierzchni bocznej tego walca (oÅ› z ) oraz osi (x ) i (y ).
Znamy momenty bezwładności względem osi przechodzących przez środek masy
(centralnych) (x), (y) i (z).
z
z
Aby wyznaczyć momenty względem osi do nich równoległych (x ), (y ) i (z )
należy skorzystać z twierdzenia Steinera.
2
m=ÁV =Á Ä„ r h
C
y
h I =I +mr2
z ' ' z
x
r
y
1
I =1 mr2+mr2=3 mr2
z ' '
I = mr2
z
2 2
2
x
2
I =I +m(h )
x ' x
2
2
I =1 mr2+1 mh2 x ' y '
I =I =1 mr2+1 mh2+m(h ) =1 mr2+1 mh2
x
4 12
4 12 2 4 3
ß#
Ix
I =I
y' x '
ZAD.2
Wyznaczyć momenty bezwładności płytki w kształcie półkola o promieniu r względem osi równoległych do podstawy AB:
a) centralnej (x ), b) osi (x  ).
Moment bezwładności płytki w kształcie półkola względem osi (x),
y
poprowadzonej wzdłuż podstawy AB, równy jest połowie momentu bezwładności
względem średnicy pełnej tarczy kołowej o masie 2m (jeśli płytka w kształcie półkola
ma masę m to płytka w kształcie koła ma masę 2m).
x 
r
C Moment bezwładności względem osi (x) pełnej tarczy kołowej o masie 2m:
x
O
I =1 (2m)r2=1 mr2
x( pełnejtarczy )
B x
A
4 2
yC
Moment bezwładności płytki w kształcie półkola względem osi (x) o masie m:
I =1 I =1 (1 mr2)=1 mr2
x( połowy płytki) x( pełnej tarczy)
2 2 2 4
Moment można też wyznaczyć inaczej:
zastosować wzór na moment względem średnicy tarczy kołowej i wstawić rzeczywistą masę płytki (patrz tabelka):
1
I =1 mr2 gdzie:
x( poÅ‚owy pÅ‚ytki) m=Áa A=Á (Ä„ r2)
4
2
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 5
ad a)
Osie (x ) i (x) są do siebie równoległe, oś (x ) przechodzi przez środek masy, można zatem zastosować tw. Steinera:
I = I + m( yC)2 Ò! I =I -m( yC)2
x x' x' x
Ä„
sin
2 2 4r
yC= r =
Ä„
3 3 Ä„
2
2
I =1 mr2-m(4r ) C"0.0694 mr2
x '
4 3 Ä„
ad b)
Osie (x  ) i (x ) są do siebie równoległe, oś (x ) przechodzi przez środek masy, można zatem zastosować tw. Steinera:
2
I =I +m(r-4r )
x ' ' x '
3 Ä„
2 2
1 4r 4r
I = mr2-m( )
x ' '
4 3 Ä„
ß#+m(r-3 Ä„ )
I
x'
2 2 2 2 2
1
2
I =1 mr2-m(4r ) +mr2-m(8r )+m(4r ) =1 mr2+mr2-m(8r )=1 mr2-m(8r )=0.4012 mr
x ' '
4 3 Ä„ 3 Ä„ 3Ä„ 4 3 Ä„ 4 3Ä„
I =0.4012 mr2
x ' '
Wnioski z zadania
I C"0.25 mr2
x
1
m=Áa A=Á (Ä„ r2)
I C"0.0694 mr2
gdzie:
x '
2
I C"0.4012 mr2
x ' '
Najmniejszy moment bezwładności jest dla osi przechodzącej przez środek masy. Masa płytki po dwóch stronach osi (x ) jest
rozłożona najbliżej osi. Człon Steinerowski, który dodajemy zawsze zwiększa moment bezwładności.
UWAGA:
Przy wyznaczaniu Ix  błędem jest przejście z osi (x) na oś (x  ). W twierdzeniu Steinera zawsze jedna z osi musi przechodzić przez
środek masy! Ponadto, osie muszą być zawsze równoległe!
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 6
ZAD.3
Wyznaczyć momenty bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™dem osi x i y cienkiej jednorodnej pÅ‚ytki stalowej o gÄ™stoÅ›ci Á i gruboÅ›ci b, w ksztaÅ‚cie i
wymiarach pokazanych na rysunku. Dane: Á=7.8 [g/cm^3], a=5[cm], b=0.5 [cm].
y
Płytkę dzielimy na 3 części o prostych kształtach i znanych momentach bezwładności: [1] prostokąt, [2]
trójkąt, [3] półkole.
Moment bezwładności płytki względem danej osi jest sumą momentów od każdej części względem tej
osi:
I =I - I + I
x x1 x2 x3
I =I - I +I
y y1 y2 y3
4a
[1] prostokÄ…t
Z tw. Steinera:
I =I +m(2a)2
x1 xC1
m=Áa A
Áa=Á b
O I =1 m(4a)2
xC1
12
A=(2a)(4a)=8a2
x
1 1
a
I = m(4a)2+m(2a )2=5 ma2
x1
12 3
Á=7.8[ g /cm3]=7800[ kg/m3]
b=0.5[cm]=0.005[m]
Áa=7800[kg /m3]0.005 [m]=39[ kg/m2]
I = I +m(a )2
y1 yC1
y
yC1
I =1 m(2a)2
yC1 a=0.05[m]
12
m=39[kg /m2]8(0.05)2[m2]=0.78 [kg]
1 1
I = m(2a)2+m(a )2=1 ma2
1
y1
12 3
1Å"0.78[kg]Å"(0.05) [m2]=0.0104[kgm2]
2
I =5
x1
3
C1 I =11Å"0.78[kg]Å"(0.05)2[ m2]=0.0026[ kgm2]
y1
3
4a
xC1
I =0.0104 [kgm2]
x1
I =0.0026[kgm2]
y1
[2] trójkąt
O
x
Wiemy, że dla płytki trójkątnej moment bezwładności względem osi (xT) wzdłuż krawędzi
2a
wynosi:
1
a
2
y I = mh2
xT
6
45o
gdzie:
h=a
yC2
2a
45o
m=Áa A=Áa 1 (2a)h=Áa ah=Áa a2=39Å"(0.05)2=0.0975[kg]
1/3 h
xT 2
C2
h
xC2
1Å"0.0975Å"(0.05) =4.0625Å"10-5[kgm2]
2
I =
xT
6
I =4.0625Å"10-5[kgm2]
xT
4a
Aby policzyć Ix2 trzeba dwukrotnie skorzystać z twierdzenia Steinera:
2 2
1 1
I =I +m( h) Ò! I = I -m( h)
xT xC2 xC2 xT
3 3
2
2
I = I +m(4a+ h)
x2 xC2
3
O
2 2
x
1 2
I = I -m( h) +m(4a+ h)
x2 xT
3 3
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 7
2
2 1 196 7
I = I -1 ma2+m(4a + a) =I - ma2+ ma2= I +21 ma2
x2 xT xT xT
9 3 9 9 9
7Å"0.0975Å"(0.05) =5.349Å"10-3[kgm2]
2
I =4.0625Å"10-5+21
x2
9
I =5.349Å"10-3[kgm2]
x2
y yC2
A a C D
Moment bezwładności trójkąta względem osi (y).
Z tw. Steinera:
a
I =I +ma2
y2 yC2
Aby wyznaczyć moment względem osi yC2 podzielmy trójkąt na dwa ABC i BCD, każdy o
B
połowie masy całego. Oś yC2 przechodzi wtedy przez krawędz
każdego z trójkątów, a długość
(a) jest wysokością opadającą na tę krawędz
.
1 1
I = ( m)a2
yC2 ( jednego)
6 2
1 1
I =2Å"1 ( m)a2= ma2
yC2
6 2 6
1
I = ma2=1Å"0.0975Å"(0.05)2=4.0625Å"10-5[ kgm2]
yC2
6 6
I =4.0625Å"10-5+0.0975(0.05)2=2.8437Å"10-4[kgm2]
y2
[3] półkole
yC3
y
Wiemy, ze dla płytki w kształcie półkola moment bezwładności względem średnicy (oś x)
wynosi:
1
O I = ma2
x
4
3
x
a
m = Áa A =Áa 1 (Ä„ a2)=39Å"1Å"(Ä„Å"0.052)=0.1531[kg ]
C2
2 2
1Å"0.1531Å"0.05 =9.568Å"10-5[kgm2]
2
I =
x
4
I =9.568Å"10-5[kgm2]
x3
Moment bezwładności trójkąta względem osi (y).
Z tw. Steinera:
I =I +ma2
y3 yC3
1 1Å"0.1531Å"0.05 =9.5687Å"10-5[kgm2]
2
I = ma2=
yC3
4 4
I =9.5687Å"10-5+0.1531Å"0.052=4.7844Å"10-4[ kgm2]
y3
I =4.7844Å"10-4[kgm2]
y3
Całkowite momenty bezwładności wynoszą:
I = I - I + I =0.0104-5.349Å"10-3+9.568Å"10-5=5.1467Å"10-3[kgm2]
x x1 x2 x3
I =I - I +I =0.0026-2.8437Å"10-4+4.7844Å"10-4=2.7941Å"10-3[kgm2]
y y1 y2 y3
ostatecznie:
I =5.1467Å"10-3[kgm2]
x
I =2.7941Å"10-3[ kgm2]
y
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 8
 ZAD.4
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 9