Geometria mas
Masowe momenty bezwładności
Rozkład masy ciała (układu ciał) względem punktu (bieguna), osi lub płaszczyzny charakteryzują masowe momenty
bezwładności.
Masowy moment bezwładności względem punktu, osi lub płaszczyzny jest sumą (całką) iloczynów mas przez kwadraty ich
odległości od punktu, osi lub płaszczyzny.
a) z
b) z
Ci mi
Ázi Áz
dm
ri
r
Áyi Áy
Áxi zi y Áx zi y
O
O
xi x
yi
y
x x
Odległości od punktu, osi i płaszczyzny: a) środka masy
bryły o masie mi i o skończonych wymiarach, b) masy
elementarnej dm bryły o masie rozłożonej
Prof. Edmund Wittbrodt
Biegunowy moment bezwładności obliczamy z zależności
n
2
JO = mi lub JO = r2dm , (4.51)
"ri
+"
i=1
m
( )
natomiast osiowe momenty bezwładności:
n
2 2
Jx = mi lub Jx = Áx dm ,
"Áxi
+"
i=1
m
( )
n
2 2
J = mi lub J = Áy dm, (4.52)
y "Áyi y
+"
i=1
m
( )
n
2 2
Jz = mi lub Jz = Áz dm ,
"Ázi
+"
i=1
m
( )
zaś płaszczyznowe momenty bezwładności:
n
2
Jxy = mi lub Jxy = z2dm ,
"zi
+"
i=1
m
( )
n
2
J = mi lub J = x2dm , (4.53)
yz "xi yz
+"
i=1
m
( )
n
Jxz = yi2mi lub Jxz = y2dm .
"
+"
i=1
m
( )
Prof. Edmund Wittbrodt
Ponadto rozkład mas charakteryzują momenty iloczynowe zwane momentami dewiacyjnymi lub momentami zboczenia.
Określa się je z zależności:
n
Dxy = yimi lub Dxy = xydm ,
"xi
+"
i=1
m
( )
n
Dyz = yi zimi lub Dyz = yzdm , (4.54)
"
+"
i=1
m
( )
n
Dxz = zimi lub Dxz = xzdm .
"xi
+"
i=1
m
( )
Prof. Edmund Wittbrodt
Twierdzenie 1
Masowy moment bezwładności względem osi równy jest sumie masowych momentów bezwładności względem dwóch
wzajemnie prostopadłych płaszczyzn tworzących tę oś
Jx = Jxy + Jxz . (4.55)
Dowód:
n n n n
2 2 2
Jx = mi = + yi2 )mi = mi + yi2mi = Jxy + Jxz .
"Áxi "(zi "zi "
i=1 i=1 i=1 i=1
Twierdzenie 2
Biegunowy, masowy moment bezwładności jest równy sumie masowych momentów bezwładności względem trzech
wzajemnie prostopadłych płaszczyzn przechodzących przez biegun
JO = Jxy + J + Jxz . (4.56)
yz
Twierdzenie 3
Podwójny biegunowy, masowy moment bezwładności bryły jest równy sumie masowych momentów bezwładności
względem trzech, wzajemnie prostopadłych osi, przechodzących przez biegun
2JO = Jx + J + Jz . (4.57)
y
Prof. Edmund Wittbrodt
Masowe momenty bezwładności przy transformacji układu współrzędnych
Translacja układu. Jeżeli osie układu odniesienia x,y,z są przesunięte równolegle względem osi x1,y1,z1 przechodzących
przez środek masy bryły, wówczas słuszne są zależności:
z1
dm
z
a
z
z1
C(xC, yC, zC)
y1
ay y1 x1
a
x
z y
zC
x1
xC
yC x
y
x
Układ współrzędnych x, y, z
i przesunięty równolegle względem niego układ współrzędnych x1, y1, z1
2
Jx = JxC + max ,
J = J + ma2 , (4.58)
y yC y
2
Jz = JzC + maz ,
oraz:
Dxy = DxyC + mxC yC ,
Dyz = DyzC + myC zC , (4.59)
Dzx = DzxC + mzC xC .
Prof. Edmund Wittbrodt
Twierdzenia Steinera:
Twierdzenie 1
Masowy moment bezwładności względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy bryły jest równy
masowemu momentowi bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy powiększonemu o iloczyn masy
i kwadratu odległości pomiędzy osiami.
Twierdzenie 2
Masowy, dewiacyjny moment bezwładności względem układu osi równoległych do osi przechodzących przez środek
masy bryły jest równy masowemu, dewiacyjnemu momentowi bezwładności względem osi przechodzących przez
środek masy powiększonemu o iloczyn masy przez odpowiednie odległości pomiędzy płaszczyznami.
Dowód twierdzenia 1:
Jx = [(yC + y1)2 + (zC + z1)2]dm =
+"
m
( )
2 2 2 2 2
= ( y1 + z1 )dm +(yC + zC ) dm + 2yC y1dm + 2zC z1dm = JxC + max ,
+" +" +" +"
m m m m
( ) ( ) ( ) ( )
gdyż: y1dm = 0 oraz z1dm = 0 , ze względu na to, że środek masy C ma w układzie x1,y1,z1 współrzędne zerowe.
+" +"
m m
( ) ( )
Prof. Edmund Wittbrodt
Rotacja układu. Moment bezwładności względem dowolnej prostej u, wychodzącej z bieguna O, gdy dane są momenty
bezwładności względem układu x,y,z, obliczamy
z
u
Ä…z
Ä…y
y
O
Ä…x
Dowolna półprosta u określona za pomocą kątów ąx, ąy, ąz
x
T
Å„Å‚ üÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚
cosÄ…x îÅ‚ Jx -Dxy -Dxz Å‚Å‚ cosÄ…x
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
Ju = cosÄ… Å" Å" cosÄ… . (4.60)
òÅ‚ żł ïÅ‚-Dxy J y -Dyz śł òÅ‚ żł
y y
ôÅ‚ ôÅ‚ ïÅ‚ śł
cosÄ…z ðÅ‚ -Dyz Jz śł ôÅ‚cosÄ…z ôÅ‚
ół þÅ‚ ïÅ‚-Dxz ół þÅ‚
ûÅ‚
Korzystając z zależności (4.60) możemy obliczyć momenty bezwładności względem osi x1, y1 układu płaskiego, obróconego
względem osi x, y o kąt ą . Są one równe
y
dm
x1
J1 = TÅ" (4.61)
Å"J,
Å"
Å"
y1 y1
y
gdzie: J1 = col(Jx1, J , Dx1y1) , J = col(Jx , J , Dxy ) ,
y1 y
x1 Ä…
îÅ‚ Å‚Å‚
cos2 Ä… sin2 Ä… -sin 2Ä…
x
ïÅ‚ śł
O
zaś T = sin2 ą cos2 ą sin 2ą śł  macierz rotacji.
ïÅ‚
x
ïÅ‚sinÄ… cosÄ… -sinÄ… cosÄ… cos 2Ä… śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Płaski układ współrzędnych x, y i obrócony względem niego układ współrzędnych x1, y1
Prof. Edmund Wittbrodt
Główne i centralne masowe momenty bezwładności
Dla określenia takiej prostej u, dla której masowy moment bezwładności Ju osiąga wartość ekstremalną oraz dla określenia
tej wartości ekstremalnej należy obliczyć różniczkę dJu (względem: ąx, ąy, ąz) i przyrównać ją do zera. Zatem
Å„Å‚ üÅ‚
"Ju
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚" cosÄ…x ôÅ‚
îÅ‚ - J -Dxy -Dxz cosÄ…x
Å‚Å‚
Jx
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
śł
"Ju ïÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
dJu = = -Dxy J - J -Dyz śł Å" = 0, (4.62)
òÅ‚ żł ïÅ‚ òÅ‚cosÄ…y
żł
y
ôÅ‚" cosÄ… y
ôÅ‚ ïÅ‚ śł ôÅ‚cosÄ… ôÅ‚
-Dxz -Dyz Jz - J
śł ół z þÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
"Ju ïÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
" cosÄ…z
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
gdzie J  wartość ekstremalna momentu bezwładności.
Równanie (4.62) ma rozwiązania nietrywialne wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik z macierzy zawierającej wartości
momentów bezwładności jest równy zero, tj.
îÅ‚ - J -Dxy -Dxz
Å‚Å‚
Jx
ïÅ‚ śł
det -Dxy J - J -Dyz śł = (Jx - J )(J - J )(Jz - J ) - DxyDyzDxz - Dxz Dxz Dyz -
ïÅ‚
y y
ïÅ‚ śł
-Dxz -Dyz Jz - J
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
2 2 2
-(J - J )Dxz - (Jz - J )Dxy - (Jx - J )Dyz = 0 . (4.63)
y
Z rozwiązania (4.63) otrzymamy trzy pierwiastki J2 , J3 , J2 2 2 , które są głównymi momentami bezwładności. Mają one wartości
maksymalną, minimalną i pośrednią. Położenia prostych odpowiadającym momentom głównym obliczamy podstawiając do
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(4.62) kolejne wartości: J2 , J3 oraz J2 2 2 , otrzymując:ąx , ą2 ąz ; ąx , ą 2 2 ąz ; ąx , ą2 2 2 ąz .
, , ,
y y y
Prof. Edmund Wittbrodt
Jeżeli rozważany układ osi x, y, z ma swój początek w środku masy bryły, to momenty J2 , J3 oraz J2 2 2 nazywamy głównymi,
centralnymi momentami bezwładności.
z
J  
J
y
C
x
J 
Główne, centralne momenty bezwładności
Masowe momenty dewiacyjne względem osi, dla których momenty są głównymi, centralnymi osiami bezwładności są
równe zeru.
Masowe momenty bezwładności są zawsze większe od zera, natomiast masowe momenty dewiacyjne mogą być zarówno
dodatnie jak i ujemne.
Prof. Edmund Wittbrodt
Masowe momenty bezwładności
pręt cienki
ml2
z
Iy = Iz =
12
l
C
Ix = 0
m  masa pręta
y
x
prostopadłościan
z
m
Ix = (a2 + c2 )
12
m
Iy = (b2 + c2 )
C 12
c m
y
Iz = (a2 + b2 )
12
x
b
m  masa prostopadłościanu
a
z
walec
2
mr
Ix =
2
2
y
C
mr mh2
Iy = Iz = +
4 12
r
m  masa walca
x h
kula z
r
2
2
Ix = Iy = Iz = mr
5
y
m  masa kuli
Prof. Edmund Wittbrodt
x