8. Ruch punktu we współrzędnych biegunowych
prędkość i przyspieszenie punktu w układzie biegunowym
położenie punktu A określone jest przez:
 promień r=r(t)
 kÄ…t Õ Õ(t)
Õ=Õ
Õ Õ
Õ Õ
y
v
a
składowe prędkości:
ar
vÕ
&
 składowa promieniowa vr = r
aÕ vr
&
A
 skÅ‚adowa kÄ…towa vÕ = rÕ
r(t)
2 2
v = vr + vÕ
prędkość wypadkowa
Õ(t)
x
0
składowe przyspieszenia:
2
&
&&- & x = vr cosÕ - vÕ sinÕ
 skÅ‚adowa promieniowa ar = r rÕ
&
y = vr sinÕ + vÕ cosÕ
& & &
 skÅ‚adowa kÄ…towa aÕ = rÕ& + 2rÕ
&&
x = ar cosÕ - aÕ sinÕ
2 2
przyspieszenie wypadkowe a = ar + aÕ
&&
y = ar sinÕ + aÕ cosÕ
1
u
t
k
n
u
p
u
h
c
u
r
r
o
t
Zadanie 1/8
Punkt porusza się w jednej płaszczyz
nie.
Znalez
ć:
1) równanie toru punktu,
2) położenie punktu w chwili początkowej,
3) ogólne wyrażenia na prędkość i przyspieszenie punktu
jeśli równania ruchu punktu mają postać:
a) c) r = r0eÉt
r = 2a cosÉt
Õ = Ét a,É > 0 Õ = Ét r0,É > 0
r = k1t
r = ct
b) d)
Õ = k2t k1, k2 > 0 b
Õ = b,c > 0
t
Zadanie 2/8
W mechanizmie przedstawionym na rysunku dane sÄ…:
Õ=kt (k>0), AD=BD=c, BC=b.
C
b
Znalez
ć tor,
prędkość i
B
przyspieszenie
punktu C.
b
c
A Õ
D
c+b
c
Odp.: r = 2c cosÕ + b (kardioida) vr = -2kcsin kt vÕ = 2kc cos kt + kb
2 2
ar = -4k c cos kt - 2k b aÕ = -4k2csin kt
promień r zaczepiony w punkcie A
2
Zadanie 3/8
Dwa pręty połączone ze sobą pod kątem prostym przesuwają się w
tulejach A i B mogących obracać się wokół sworzni.
D
Znalez
ć tor, prędkość i przyspieszenie
punktu D jeÅ›li AB=CD=b, Õ=kt (k>0).
b
b
C
Õ
B
A
b b
Odp.: r = b cosÕ + b (kardioida) vr = -bk sin kt vÕ = bk(1+ cos kt)
ar = -bk2(1+ 2cos kt) aÕ = -2bk2 sin kt
promień r zaczepiony w punkcie A
Zadanie 4/8
Dwa pręty OA i O1B połączone krzyżakiem D mogą obracać się
wokół punktów O i O1 zachowując cały czas kąt prosty między sobą.
Znalez
ć tor, prędkość i przyspieszenie
B
punktu D jeÅ›li OO1=a, Õ=kt (k>0)
D
A
Õ a/2
O1
O
a
Odp.: r = a cosÕ vr = -ak sin kt vÕ = ak cos kt
(okrÄ…g)
2
ar = -2ak2 cos kt aÕ = -2ak sin kt
promień r zaczepiony w punkcie O
3
Zadanie 5/8
Pręt OM o długości l wprawiony jest w ruch za pomocą korby O1A,
której kÄ…t obrotu wynosi Õ=kt (k>0).
Znalez
ć prędkość i przyspieszenie
punktu M, gdy O1O=O1A.
M
O1
Õ
A
l
kl
Ä…
Odp.: vr = 0 vÄ… =
2
O
2
- k l
ar = aÄ… = 0
4
promień r zaczepiony w punkcie O
Zadanie 6/8
Wewnątrz rurki AB o długości l mogącej obracać się wokół punktu A,
znajduje się suwak D połączony z punktem C nitką o długości l.
Znalez
ć tor, prędkość i
przyspieszenie suwaka, jeśli
rurka tworzy z odcinkiem AC kÄ…t
B
Õ=kt (k>0) a odcinek AC=l.
l
D
A
Õ
C
l
k k
Õ
vr = kl cos t vÕ = 2kl sin t
Odp.: r = 2l sin
2 2
2
5 k k
2 2
promieÅ„ r zaczepiony w punkcie A ar = - k l sin t aÕ = 2k l cos t
2 2 2
4
Zadanie 7/8
W mechanizmie przedstawionym na rysunku trzpień AB porusza się
w górę ze stałą prędkością u.
Podać równania ruchu
C
punktu C pręta OC oraz
a
wartość prędkości tego
punktu w momencie, gdy
kÄ…t Õ=Ä„/4, jeÅ›li w chwili
B
poczÄ…tkowej Õ=0. Dane
u
Õ
sÄ… wymiary a oraz l.
O
l
A
ut au
Odp.: r = a Õ = arctg v =
l 2l
promień r zaczepiony w punkcie O
Zadanie 8/8
Korba OA, obracajÄ…c siÄ™ ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É0 wokół punktu O, przemiesz-
cza pręt AC połączony z nią przegubowo w punkcie A i przesuwający się wewnątrz
rurki B obracającej się wokół nieruchomej osi. Znalez
ć tor punktu C, podać
równania ruchu oraz obliczyć jego prędkość i przyspieszenie, jeśli w chwili
poczÄ…tkowej Õ=0. Dane sÄ… wymiary a, b, l (aa+b).
A
l-a-b
2a
a
l
Õ
B
O
Ä…
b
C
r = l
Odp.: - a2 + b2 - 2ab cosÉ0t
a sinÉ0t
Ä… = arctg
promień r zaczepiony w punkcie B
b - a cosÉ0t
5