Przykład 5.5. Układ przestrzenny III
Wyznaczyć reakcje i siły w prętach zakończonych obustronnie przegubami, w ramie
przestrzennej o podanym schemacie.
RozwiÄ…zanie.
Uwalniamy układ przestrzenny z więzów wprowadzając odpowiadające im reakcje.
W/w układ przestrzenny możemy potraktować jako dwa elementy przestrzenne połączone ze
sobą za pośrednictwem przegubu. Element I podparty jest teleskopowo w punkcie A oraz
oparty jest na podporze przegubowej nieprzesuwnej w punkcie B za pośrednictwem pręta
dwuprzegubowego. Element II oparty jest na podporze przegubowej nieprzesuwnej w
punkcie C oraz oparty jest na podporze przegubowej nieprzesuwnej w punkcie B za
pośrednictwem dwóch prętów dwuprzegubowych. W prętach (obustronnie zakończonych
przegubami), które nie są obciążone w przęśle występują tylko siły osiowe. Nie znamy
dwunastu reakcji i oddziaływań: RAz, MAx, MAy, S1, S2 , S3 , RCx, RCy i RCz. Dla przedstawionego
na schemacie układu ramowego można zapisać dwanaście warunków równowagi (2 x 6).
Zatem układ jest statycznie wyznaczalny. Składowe reakcji RB: RBx, RBy i RBz wyznaczymy z
warunków równowago węzła B po obliczeniu sił w prętach dwuprzegubowych opartych na tej
podporze: S1, S2 i S3. Rozwiązanie tego zadania może przebiegać na wiele sposobów.
Zapisując kolejne równania równowagi należy dążyć do tego, aby były to równania z jedną
niewiadomą ( o ile to możliwe). Pamiętać należy przy tym, że moment siły (siła `" 0)
względem osi jest równy zeru, jeśli wektor siły jest równoległy do osi lub linia działania siły
przecina się z osią. Należy zauważyć, że do rozwiązania niniejszego zadania wystarczy
wykorzystać dziewięć równań, bez konieczności obliczania oddziaływań w przegubie.
R1x
R1y
R1z
Element I
R1y
R1z
R1x
Element II
2
Zapisujemy kolejno warunki równowagi. Należy zauważyć, że z uwagi na sposób połączenia
elementów (przegub), zarówno dla elementu I, elementu II jak i całości układu
przestrzennego suma momentów liczona względem przegubu musi być równa zeru, a co za
tym idzie i sumy momentów względem osi x, y i z przechodzących przez przegub (rzuty
wektora momentu względem przegubu na poszczególne osie).
Równania równowagi możemy zapisywać zarówno dla całego układu przestrzennego, jak i
dla każdej z części z osobna.
II
= 0 - RCx = 0 RCx = 0
"M iy1
2
II
= 0 S3 l - RCxl = 0 S3 = 0
"M iz1
2
2
I
= 0 - S1 l = 0 S1 = 0
"M iz1
2
2 1
= 0 RCx - S3 - S2 + ql = 0 S2 = 3ql
"Pix
2
3
2 1
= 0 RCy - S1 - S2 = 0 RCy = ql
"Piy
2
3
2 l ql
II
= 0 RCzl + RCyl + S3 l - ql Å" = 0 RCz = -
"M ix1
2 2 2
Znak minus oznacza, że zwrot wektora siły RCz jest przeciwny do założonego
2 1 2 3
= 0 RAz + RCz + S1 + S2 + S3 - 2ql = 0 RAz = ql
"Piz
2 2 2
3
l
I 2
= 0 M - RAzl + ql Å" = 0 M = ql
"M ix Ax Ax
1
2
2 5
I 2 2
= 0 M - RAzl - ql - S1 l = 0 RAx = ql
"M iy1 Ay
2 2
W celu sprawdzenia poprawności obliczeń korzystamy z warunku równowagi, z którego nie
korzystaliśmy poprzednio.
1 1
2
= 0 - ql Å" l + S2 l = 0 - ql + 3ql Å" l = 0
"M iz
3 3
Z uwagi na to, że siły S1 i S3 są równe zeru reakcja RB ma kierunek siły S2 .
RB = S2 = 3ql
W prętach zakończonych obustronnie przegubami występują siły: S1 = 0 , S2 = 3ql
(ściskająca) i S3 = 0 .
3