11. DYNAMIKA RUCHU
SWOBODNEGO PUNKTU MATERIALNEGO
Zadanie 1/11
W polu przyciąganie ziemskiego z punktu o współrzędnych x0, y0
wyrzucono punkt materialny o masie m z prędkością początkową
Å0 pod kÄ…tem Ä… do poziomu.
Znalez
ć równania ruchu punktu. Przeprowadzić dyskusję.
y
Å0
Ä…
y0
x = Å0xt + x0
Odp.:
2
gt
y = - +Å0 yt + y0
2
x
Å0x = Å0 cosÄ…
x0
Å0 y = Å0 sinÄ…
Zadanie 2/11
Punkt materialny o masie m znajduje siÄ™ w jednorodnym zmiennym polu
magnetycznym. Znalez
ć równanie ruchu punktu x(t), jeżeli pole magne-
tyczne dziaÅ‚a na punkt siÅ‚Ä… F=F0sinÉt (F0, É - staÅ‚e). PoÅ‚ożenie oraz
prędkość początkowa punktu równe są 0.
F(t)
0 m
F0 sinÉt
x ëÅ‚t öÅ‚
x =
Odp.: ìÅ‚ - ÷Å‚
Ém É
íÅ‚ Å‚Å‚
x(t)
Zadanie 3/11
Ciało o masie m spada pionowo bez prędkości początkowej w ośrodku,
który stawia opór R=kmÅ proporcjonalny do prÄ™dkoÅ›ci Å (k - staÅ‚a).
Obliczyć do jakiej maksymalnej prÄ™dkoÅ›ci Åmax rozpÄ™dzi siÄ™ ciaÅ‚o oraz
podać równanie ruchu x(t).
g g g
Odp.: Åmax = x = (e-kt -1)+ t
k k
k2
1
Zadanie 4/11
Ciało o masie m porusza się po prostej poziomej pod wpływem siły
k
F = t (k - stała)
Å2
Znalez
ć prÄ™dkość Å ciaÅ‚a jako funkcjÄ™ czasu, jeÅ›li w chwili poczÄ…tkowej
jego prÄ™dkość równa byÅ‚a Å0.
3 k
3
3
Odp.: Å = t2 +Å0
2 m
Zadanie 5/11
Z jakÄ… prÄ™dkoÅ›ciÄ… Å0 należy wystrzelić pocisk z powierzchni Ziemi w
kierunku Księżyca, aby doleciał on do punktu, w którym siły przyciąga-
nia Ziemi i Księżyca równoważą się i aby zatrzymał się w tym punkcie?
Ruch Ziemi i Księżyca oraz opór atmosfery pominąć.
MZ d
= a = 80 = b = 60
Przyjąć: R=6370km g=9.81m/s2
M R
K
gdzie: MZ - masa Ziemi, MK  masa Księżyca, d  odległość między
środkami Ziemi i Księżyca, R  promień Ziemi.
Odp.: Å0 H"11.065km/s
Zadanie 6/11
Na punkt materialny o masie m działa siła proporcjonalna do czasu F1=kt
oraz siÅ‚a oporu proporcjonalna do prÄ™dkoÅ›ci F2=Ä…Å. Znalez
ć prędkość
punktu Å(t) oraz poÅ‚ożenie x(t) w zależnoÅ›ci od czasu. Warunki
poczÄ…tkowe: dla t=0 x=0, Å=0.
Ä… Ä…
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
t t
m2k k mk mk k
ìÅ‚1- - m
÷Å‚ ìÅ‚e- m
Odp.: x(t)= e + t2 - t Å(t)= -1÷Å‚ + t
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
2Ä… Ä…
Ä…3 ìÅ‚ ÷Å‚ Ä… Ä…
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
Zadanie 7/11
y
y(x)
KulÄ™ o masie m wyrzucono pod kÄ…tem Ä…0
Å0
do poziomu z prÄ™dkoÅ›ciÄ… poczÄ…tkowÄ… Å0.
Opór powietrza R=kÅ jest proporcjonalny
Ä…0
do prędkości. Znalez
ć równanie y(x) toru
m x
ruchu kuli.
ëÅ‚ öÅ‚
mg m2 kx
ìÅ‚
y = xìÅ‚tgÄ…0 + ÷Å‚ + g ln1-
Odp.:
kÅ0 cosÄ…0 ÷Å‚ mÅ0 cosÄ…0
k2
íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 8/11
y
Punkt o masie m porusza się w płaszczyz
nie
Oxy, pod działaniem siły centralnej skiero-
m
wanej do początku układu współrzędnych.
Å0
P=kl
l
Siła ta jest wprost proporcjonalna do odle-
głości punktu od początku układu. W chwili
x
O
b
początkowej punkt zajmował położenie x=b,
y=0 i posiadaÅ‚ prÄ™dkość Åx=0, Åy= Å0.
x2 y2
elipsa
Odp.: + =1
Znalez
ć równanie toru ruchu punktu.
2
b2 m
Å0
k
Zadanie 9/11
A
Ciężar o masie m może ślizgać się po pionowym
m
pręcie AB, którego sztywność na rozciąganie równa
jest k1.Koniec B pręta opiera się o śrubową sprężynę
k1 H
o sztywności k2. Obliczyć największe wydłużenie
pręta h przy spadku ciężaru z wysokości H bez B
prędkości początkowej. Masę pręta i sprężyny
k2
pominąć.
ëÅ‚ öÅ‚
mg 2H(k1 + k2)÷Å‚
Odp.: ìÅ‚
h = 1+
÷Å‚
k1 + k2 ìÅ‚1+ mg
íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 10/11
Na końcu nie odkształconej nici o sztywności c, która może przenieść
maksymalną siłę Q, zaczepiono ciężar o masie m i puszczono bez
prędkości początkowej. Jaka jest minimalna wartość m, przy której nić
zerwie się i jaka będzie prędkość ciężaru w chwili zerwania nici?
Q
m = Å = 0
Odp.:
2g
3