��KINEMATYKA CIAAA SZTYWNEGO
KINEMATYKA: opis ruchu ciaB bez wnikania w zwizki mi-
dzy ruchem a jego przyczyn (opis geometryczny).
RUCH CIAAA: zjawisko zmiany poBo|enia ciaBa w czasie
wzgldem innego ciaBa, umownie przyjtego za nieruchome
RUCH JEST POJCIEM WZGLDNYM
UKAAD ODNIESIENIA �� Z I E M I A
MECHANIKA KLASYCZNA: ruch ciaBa odbywa si z prdko-
[ciami bardzo maBymi w por�wnaniu z prdko[ci [wiatBa
PRZESTRZEC EUKLIDESOWA
CZAS: pojcie pierwotne
CZAS JEST NIEZALE{NY OD MATERII I PRZESTRZENI.
CZAS JEST NIEODRACALNY.
JEDNOSTKI MIARY W KINEMATYCE: metr, sekunda
04 Kinematyka 39
KINEMATYKA PUNKTU
OPIS RUCHU PUNKTU W FUNKCJI CZASU
1. Wsp�Brzdne prostoktne (kartezjaDskie).
2. Wektor wodzcy.
3. Naturalny wsp�Brzdna Bukowa wzdBu| toru.
4. Inny wsp�Brzdne biegunowe, walcowe, sferyczne.
Normalna do toru
Styczna do toru
Wektor prdko[ci
PODSTAWOWE POJCIA
TOR PUNKTU (trajektoria): linia cigBa, bdca miejscem
geometrycznym kolejnych poBo|eD ruchomego punktu w
przestrzeni.
R�WNANIA RUCHU PUNKTU: x = x(t) y = y(t) z = z(t).
promieD (wektor) wodzcy: r = r(t), r = x(t) i + y(t) j + z(t) k
rx = x(t) ry = y(t) rz = z(t).
R�WNANIE TORU PUNKTU: r�wnanie krzywej otrzymanej z
r�wnaD ruchu po wyeliminowaniu czasu t.
CHWILOWOZ RUCHU: badanie parametr�w ruchu (po-
Bo|enie, droga, prdko[, przyspieszenie w okre[lonej chwili
czasu t).
04 Kinematyka 40
MO{LIWOZCI OPISU RUCHU PUNKTU W PAASZCZYyNIE
Wsp�Brzdne biegunowe na pBaszczyznie
r = f1(t) j� = f2(t)
x = r cosj� y = r sinj�
Wsp�Brzdne biegunowe w przestrzeni
r = f1(t) j� = f2(t) Q� = f3(t)
x = r sinQ� cosj�
y = r sinQ� cosj�
z =r cosQ�
Wsp�Brzdne walcowe
r' = f1(t) f� = f2(t) z = f3(t)
x = r' cosj� y = r' sinj� z �� z
R�wnanie ruchu punktu na torze
s = f(t)
A0 �� t = 0, s = 0 �� s(t) droga
04 Kinematyka 41
Z r�wnanie ruchu w prostoktnym ukBadzie wsp�Brzdnych obli-
cza si wsp�Brzdne wektora prdko[ci i przyspieszenia.
PRDKOZ PUNKTU
PRZYROST DROGI m km
PRDKOZ =
PRZYROST CZASU s h
r� r� r�
D�r =� r2(t2) -� r1(t1)
Przyrost promienia wektora (droga)
r�
r�
D�r m km
�� ��
Prdko[ [rednia: vsr =� ,
�� ��
D�t s h
�� ��
r� r�
r�
r�
D�r dr
&�
v =� lim =� =� r(t)
Prdko[ chwilowa:
D�t��0
D�t dt
Zapis wektorowy: v = vx i + vy j + vz k
dx
&�
vx =� =� x
dt
dy
&�
vy =� =� y
v =� v2 +� v2 +� v2
x y z
dt
dz
&�
vz =� =� z
dt
vy
r� r� r�
vx vz
cos(v,x) =� , cos(v,y) =� , cos(v,z) =�
v v v
04 Kinematyka 42
PRZYSPIESZENIE PUNKTU
PRZYROST PRDKOZCI m
PRZYSPIESZENIE =
PRZYROST CZASU s2
v2
A2
Hodograf
M1
Tor punktu
v1
v1 a
v
D�
v2
A1
O1 v2
a[r
v
D�
Hodograf krzywa wyznaczana
a[r
przez poBo|enie koDca wektora prd-
ko[ci
Przyspieszenie:
zmiana warto[ci prdko[ci
r� r� r�
D�v =� v2 -� v1
zmiana kierunku wektora
prdko[ci
m
�� ��
r�
r� �� ��
D�v m
s
Przyspieszenie [rednie:
asr =� =�
��
D�t s s2 ��
�� ��
�� ��
r� r�
r� r�
r�
D�v dv
&� &�&�(t)
Przyspieszenie chwilowe:
a =� =� =� v(t) =� r
lim
D�t��0 D�t dt
a = ax i + ay j + az k
dvz d2x
&�&�
ax =� =� =� x
dt dt2
dvy d2y
&�&�
ay =� =� =� y
a=� a2 +� a2 +� a2
x y z
dt dt2
dvz d2z
&�&�
az =� =� =� z
dt dt2
r� r� r�
az az az
cos(a,x) =� , cos(a,x) =� , cos(a,x) =� .
a a a
04 Kinematyka 43
Opis ruchu za pomoc wsp�Brzdnej Bukowej
Normalna do toru
at v
Wsp�Brzdna Bukowa
A
s(t)
an
a
0
Tor punktu
Chwila pocztkowa t = 0
R�wnanie ruchu:
s = s(t)
Zrodek krzywizny
Wsp�Brzdna Bukowa: s(t)
v
Wektor prdko[ci:
a
Wektor przyspieszenia:
at
SkBadowa styczna wektora przyspieszenia:
an
SkBadowa normalna wektora przyspieszenia:
Wektor jednostkowy stycznej do toru, skierowany zgodnie z na-
t�
rastajcymi warto[ciami s:
n
Wektor jednostkowy normalnej do toru (normalna gB�wna):
ds
v =� t�
Prdko[ punktu:
dt
a =� at �� t� +� an �� n
Przyspieszenie punktu:
v2
ds dv
an =�
v =� at =�
, ,
r�
dt dt
2
a =� a2 +� an ,
an =� 0
�� ruch prostoliniowy
t
t
s =�
s0 =� s(t =� 0).
Wsp�Brzdna Bukowa: ,
��v(t)�� dt +� s0
0
04 Kinematyka 44
u
r
o
t
o
d
a
n
z
c
y
t
S
P
r
o
m
i
e
D
k
r
z
y
w
i
z
n
y
r�
PODZIAA RUCHU:
RUCH PUNKTU:
prostoliniowy
po okrgu (ruch harmoniczny prosty)
dowolny (krzywoliniowy
RUCH BRYAY:
postpowy
obrotowy
pBaski
kulisty
og�lny
Ka|dy z w/w ruch�w mo|e by:
1. przyspieszony niejednostajnie (a�� lub a��)
2. przyspieszony jednostajnie (a = const)
3. jednostajny (v = const)
4. op�zniony jednostajnie (-a = const)
5. op�zniony niejednostajnie (-a�� lub -a��)
a
v
a = const
a
v0 v = const, a = 0
-a
-a = const
-a
t [czas]
04 Kinematyka 45
Prdko[ pocztkowa
R�WNANIA RUCHU PROSTOLINIOWEGO
R�wnanie ruchu: x = x(t)
dx
&� &� &�&�(t)
v =� vx =� =� x(t) a =� ax =� v(t) =� x
dt
RUCH JEDNOSTAJNY: v = const �� a = 0
t t
x
v
x1
x =� dx =� v =� v �� t +� C1
��v ��dx
v = const
0 0
droga przebyta
w czasie (0, t1)
Warunek pocztkowy:
x0
t = 0 x = x0 C1 = x0
t
t
x = x0 + v��t
t1 t1
RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY: a = const
v t
dv =� a �� dt �� v =� v0 +� at
��dv =� a��dt
v0 0
x t t
at2
dx =� v �� dt
0
��dx =���vdt =� ��(v +� at)dt �� x =� x0 +� v0t +� 2
x0 0 0
v
a
x
droga przebyta
w czasie (0, t1)
a = const
x0
v0
t t
t
t1
t1
v0
v
0 A
x
x0 a0
a0
x(t)
a > 0 �� ruch jednostajnie przyspieszony,
a <� 0 �� ruch jednostajnie op�zniony.
04 Kinematyka 46
R�wnania ruchu jednostajnie przyspieszonego:
at2
Droga:
x =� x0 +� v0t +�
2
Prdko[: v =� v0 +� at
Przyspieszenie: a = const
Wykresy ruchu punktu materialnego przedstawiono za pomoc programu Excel.
WYKRESU RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONEGO
x0 = 0 [m]
Wykres drogi
v0 = 2 [m/s]
80,0
[m/s2]
a0 = 1
70,0
t [s] Droga x Prdko[ v Przyspieszenie a
60,0
0 0,0 2 1
50,0
1 2,5 3 1
2 6,0 4 1 40,0
3 10,5 5 1
30,0
4 16,0 6 1
5 22,5 7 1
20,0
6 30,0 8 1
10,0
7 38,5 9 1
8 48,0 10 1
0,0
9 58,5 11 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 70,0 12 1
Czas [s]
Wykres prdko[ci [m/s] Wykres przyspieszeD [m/s2]
14 1,2
12
1
10
0,8
8
0,6
6
0,4
4
0,2
2
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s] Czas [s]
x0 = 0 [m]
Wykres drogi
v0 = -2 [m/s]
35,0
[m/s2]
a0 = 1
30,0
t [s] Droga x Prdko[ v Przyspieszenie a 25,0
0 0,0 -2 1
20,0
1 -1,5 -1 1
15,0
2 -2,0 0 1
3 -1,5 1 1
10,0
4 0,0 2 1
5,0
5 2,5 3 1
0,0
6 6,0 4 1
7 10,5 5 1
-5,0
8 16,0 6 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 22,5 7 1
Czas [s]
10 30,0 8 1
Wykres prdko[ci [m/s]
Wykres przyspieszeD [m/s2]
10 1,2
8
1
6
0,8
4
0,6
2
0,4
0
0,2
-2
-4 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s] Czas [s]
04 Kinematyka 47
Droga [m]
Prdko[ [m/s]
Przyspieszenie [m/s2]
Droga [m]
2
Prdko[ [m/s]
Przyspieszenie [m/s ]
x0 = 0 [m]
Wykres drogi
v0 = 2 [m/s]
5,0
[m/s2]
a0 = -1
0,0
t [s] Droga x Prdko[ v Przyspieszenie a -5,0
0 0,0 2 -1
-10,0
1 1,5 1 -1
-15,0
2 2,0 0 -1
3 1,5 -1 -1 -20,0
4 0,0 -2 -1
-25,0
5 -2,5 -3 -1
-30,0
6 -6,0 -4 -1
7 -10,5 -5 -1 -35,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8 -16,0 -6 -1
9 -22,5 -7 -1 Czas [s]
10 -30,0 -8 -1
Wykres prdko[ci [m/s] Wykres prdko[ci [m/s]
10 0
8
-0,2
6
-0,4
4
-0,6
2
-0,8
0
-1
-2
-4 -1,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s] Czas [s]
x0 = 50 [m]
Wykres drogi
v0 = -2 [m/s]
60,0
[m/s2]
a0 = -1
50,0
40,0
t [s] Droga x Prdko[ v Przyspieszenie a
30,0
0 50,0 -2 -1
20,0
1 47,5 -3 -1
10,0
2 44,0 -4 -1
3 39,5 -5 -1 0,0
4 34,0 -6 -1 -10,0
5 27,5 -7 -1
-20,0
6 20,0 -8 -1
-30,0
7 11,5 -9 -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8 2,0 -10 -1
Czas [s]
9 -8,5 -11 -1
10 -20,0 -12 -1
Wykres prdko[ci [m/s]
Wykres prdko[ci [m/s]
0 0
-2
-0,2
-4
-0,4
-6
-0,6
-8
-0,8
-10
-1
-12
-1,2
-14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Czas [s]
04 Kinematyka 48
Droga [m]
2
Prdko[ [m/s]
Przyspieszenie [m/s ]
Droga [m]
2
Prdko[ [m/s]
Przyspieszenie [m/s ]
RUCH KRZYWOLINIOWY
R�WNANIE RUCHU: s = s(t)
r�
D�s D�s ds
v =� v =� =� =�
lim
D�t D�t��0 D�t dt
t� wektor jednostkowy stycznej do toru, skierowany
zgodnie z narastajcymi warto[ciami s
n wektor jednostkowy normalnej gB�wnej
r�
ds r�
v =� �� t�
PRDKOZ PUNKTU:
dt
ds
&� &� &�
v =� =� v2 +� v2 +� v2 =� (x)2 +� (y)2 +� (z)2
x y y
dt
dx dy dz
&� &� &�
vx =� =� x vy =� =� y vz =� =� z
dt dt dt
WSP�ARZDNA AUKOWA DLA DANEJ PRDKOZCI v(t):
t
ds
v =� �� ds =� v �� dt �� s =� v(t)dt +� s0
��
dt
0
s0 = s(0) w chwili t = 0
PRZYSPIESZENIE PUNKTU:
r�
r�
r� r�
r� r�
r� r�
dv dv r� dt�
v =� v �� t� a =� att�+� ann
a =� =� t� +� v ��
dt dt dt
2
Pochodna funkcji wektorowej
a =� a2 +� an
t
zmiennej skalarnej t (czas)
dv
at =�
PRZYSPIESZENIE STYCZNE:
dt
v2
an =�
PRZYSPIESZENIE DOZRODKOWE:
r�
Ruch prostoliniowy �� an = 0
&�&� &�&� &�&�
a =� a2 +� a2 +� a2 =� (vx )2 +� (vy )2 +� (vz )2 =� (x)2 +� (y)2 +� (z)2 .
x y z
04 Kinematyka 49
RUCH PUNKTU PO OKRGU
Y
v
Parametry punktu A:
at
a
v prdko[ liniowa, styczna do toru
A
an
r an przyspieszenie do[rodkowe
X
j�
0
(normalne)
at przyspieszenie styczne
a - przyspieszenie wypadkowe
R�wnanie ruchu: s = f(t), droga: s = r��j� �� s = r j� (t)
ds dj�
Prdko[ punktu po okrgu:
v =� =� r
dt dt
dj�0 rad
�� ��
&�
w� =� =� j�
v =� r �� w�
Prdko[ ktowa: ��
�� ��
dt s
�� ��
2p�n p�n
w� =� =�
Prdko[ ktowa w funkcji obrot�w n [obr/min]:
60 30
Przyspieszenia w ruchu po okrgu dla r� = r = const:
dv dw� d2j�
1
�� ��
at =� =� r =� r =� r �� e�, przyspieszenie ktowe
e�
��s2 ��
dt dt dt2
�� ��
v2
2
an =� =� w�2 ��r , a =� a2 +� an =� r e�2 +� w�4 .
t
r
RUCH HARMONICZNY PROSTY
Punkt M ruch jednostajny po okrgu
Badanie ruchu punktu M rzutu punktu M na o[ X
Ruch punktu M ruch prostoliniowy
po torze X. R�wnanie ruchu M
w czasie t, liczonym od t = 0 (punkt
w poBo|eniu A):
x = R�cos(� +�0) = R�cos(w�t + �0).
Jest to r�wnanie
ruchu harmonicznego prostego.
04 Kinematyka 50
Prdko[ ruchu harmonicznego prostego:
dx
v =� =� -�R �� w��� sin(w��� t +� j�0).
dt
Przyspieszenie ruchu harmonicznego prostego:
dv dx2
a =� =� =� -�R �� �2 �� cos(� �� t +� j�0) =� -��2 �� x .
dt dt2
Wykresy drogi, prdko[ci i przyspieszenia:
a
Ruch punktu M jest ruchem okresowym. Ruch, w kt�rym na-
stpuje okresowa zmiana wsp�Brzdnej w zakresie od +R do R
nazywa si ruchem drgajcym.
Punkt 0 wok�B kt�rego odbywaj si drgania [rodek drgaD.
Amplituda drgaD najwiksza odlegBo[ punktu od [rodka
drgaD (tutaj: R).
Okres drgaD przedziaB czasu T, w kt�rym punkt wychodzcy
z punktu M0 wraca do niego.
Faza drgaD kt � = w�t.
StaB w� okre[lajca zmiany fazy w jednostce czasu czsto[
ktowa (koBowa) drgaD.
2p�
T =� .
w�
Ruch harmoniczny prosty jest ruchem niejednostajnie zmiennym.
04 Kinematyka 51
Wzory na ruch po torze i na ruch obrotowy
promienia wodzcego OA
04 Kinematyka
52
RUCH KRZYWOLINIOWY
r�
a =� const
ZE STAAYM PRZYSPIESZENIEM (rzut uko[ny)
&�&�
&�&�
ay =� y =� -�a
ax =� x =� 0
&�
&�
vy =� y =� -�at +� C2
vx =� x =� C1
at2
x =� C1 �� t +� C3
y =� -� +� C2 �� t +� C4
2
Warunki brzegowe:
(x)t =�0 =� x0 (y)t =�0 =� y0
&� &�
(vx )t =�0 =� (x)t =�0 =�v0��cosa� (vy )t =�0 =� (y)t =�0=� v0 �� sina�
StaBe caBkowania:
C1 =� v0 �� cosa� C2 =� v0 �� sina�
C3 =� x0 C4 =� y0
R�wnania ruchu:
x =� x0 +� (v0 �� cosa�)t
at2
y =� y0 +� (v0 �� sina�)t -�
2
R�wnanie toru (parabola):
a
y =� y0 +� (x -� x0 )tga� -� (x -�x0)2
2
2v0 cos2 a�
04 Kinematyka 53
Przypadki szczeg�lne:
�� rzut uko[ny (poziomy)
�� rzut pionowy
PrzykBad rzutu uko[nego przedstawiony za pomoc programu Excel:
RZUT UKOZNY
DANE WEJZCIOWE:
m/s2
prdko[ pocztkowa v0 = 22 m/s; przyspieszenie = 9,81
0
kt rzutu a� =� 45 = 0,785398 rad
x y
0 0,00
2 1,92
4 3,68
6 5,27
8 6,70
10 7,97
12 9,08
RZUT UKOZNY
14 10,03
14,00
16 10,81
18 11,43
12,00
20 11,89
22 12,19 10,00
24 12,33
8,00
26 12,30
28 12,11 6,00
30 11,76
4,00
32 11,24
34 10,57
2,00
36 9,73
0,00
38 8,73
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
40 7,57
[m]
42 6,25
44 4,76
46 3,11
48 1,30
50 -0,67
04 Kinematyka 54
[m]
KINEMATYKA CIAAA SZTYWNEGO
RUCH POSTPOWY
RUCH OBROTOWY
RUCH PAASKI
RUCH KULISTY
RUCH ZRUBOWY
CIAAO SZTYWNE W PRZESTRZENI
r� r� r� r� r� r�
rA =� rA(t) rB =� rB(t) rC =� rC(t)
Z warunku aby 3 punkty nie le|aBy na jednej prostej:
r� r� r� r� r� r�
rB -� rA =� b rC -� rA =� c rC -� rB =� d
(xA -� xB )2 +� (yA -� yB )2 +� (zA -� zB )2 =� b2
(xA -� xC )2 +� (yA -� yC )2 +� (zA -� zC)2 =� c2
(xB -� xC)2 +� (yB -� yC )2 +� (zB -� zC)2 =� d2
xA,B,C, yA,B,C, zA,B,C wsp�Brzdne punkt�w A, B, C (9)
Wizy: 3 r�wnania (b, c, d = const)
CIAAO SZTYWNE W PRZESTRZENI
MA 6 STOPNI SWOBODY (9 3 = 6)
04 Kinematyka 55
RUCH POSTPOWY
W ruchu postpowym wszystkie punkty ciaBa poruszaj si po
identycznych torach, w ka|dej chwili posiadaj takie same
prdko[ci i przyspieszenia (warto[, kierunek i zwrot).
Dla analizy ruchu postpowego wystarczy
okre[lenie ruchu jednego punktu ciaBa.
PrzykBady ruchu postpowego
Inne przykBady:
ruch tBoka w cylindrze,
ruch klatki dzwigu,
nieruchomo siedzcy pasa|er autobusu (pocigu).
04 Kinematyka 56
RUCH OBROTOWY
W ruchu obrotowym dwa punkty sztywno zwizane
z ciaBem pozostaj nieruchome wyznaczajc
nieruchom o[ obrotu ciaBa.
C1
C1 an
at
v
a
v
RozkBad prdko[ci i przyspieszeD w pBaszczyznie pro-
stopadBej do osi obrotu ciaBa.
s =� r �� j�(t)
Dla punktu C: r�wnanie ruchu:
ds dj�
v =� =� r =� r �� w�(t)
Prdko[ punktu: .
dt dt
dj� rad
�� ��
2p�n p�n
w� =�
w� =� =�
Prdko[ ktowa: �� �� .
dt s
�� ��
60 30
dv dw�
at =� =� r �� =� r �� e�
Przyspieszenie styczne: .
dt dt
dw� rad
�� ��
e� =�
Przyspieszenie ktowe: .
�� ��
dt s2
�� ��
v2 w�2 �� r2
an =� =� =� w�2 �� r
Przyspieszenie do[rodkowe:
r r
a =� r �� e�2 +� w�4
Przyspieszenie wypadkowe:
(Por�wnaj ruch punktu po okrgu)
04 Kinematyka 57
r
r
RUCH PAASKI
Analiza ruchu pBaskiego sprowadza si do badania ruchu
jednego przekroju ciaBa, bdcego figura pBask.
Dowolne przemieszczeni figury pBaskiej mo|e by dokona-
ne za pomoc obrotu wok�B punktu zwanego chwilowym
[rodkiem obrotu.
RUCH PAASKI JAKO CHWILOWY RUCH OBROTOWY
04 Kinematyka 58
TWIERDZENIE O RZUTACH PRDKOZCI
Rzuty prdko[ci dw�ch punkt�w A i B ciaBa sztywnego
na prost Bczc te punkty s sobie r�wne.
vA
vBZ Z
B
b�
a�
vB
A
vAZ
W ka|dej chwili t rzut prdko[ci vA na prost AB
r�wna si rzutowi prdko[ci vB na t prost.
vA cosa� =� vB cosb�
vAZ =� vBZ
�!
PrzykBady ruchu pBaskiego
04 Kinematyka 59
TOCZENIE SI KOAA PO LINII POZIOMEJ BEZ POZLIZGU
KoBo (tarcza) o promieniu r toczy si bez po[lizgu po poziomej
linii. Zrodek koBa A jest w ruchu jednostajnym, punkt styku C
jest chwilowym [rodkiem obrotu.
Dla danej prdko[ci vA(t) otrzymuje si:
dvA(t) vA(t) aA(t)
&�
&�
aA =� =� vA(t), w�A(t) =� , e�(t) =� w�(t) =� .
dt r r
Dla znanych funkcji �(t) oraz �(t) otrzymuje si:
vA(t) =� w�(t)��r, aA(t) =� e�(t)��r.
1
2
3
w� w�
(t) (t)
w�
vA (t)
vA aA vA (t)
aA
A e� A A
e�
C
C C
Trzy przypadki toczenia si kr|ka bez po[lizgu:
1. Ruch jednostajny (rys. 1):
w�(t) =� w� =� const, e�(t) =� 0 �� vA =� w�r, aA =� 0.
2. Ruch jednostajnie przyspieszony (rys. 2):
w�(t) =� w�0 +� e�t, e�(t) =� e� =� const, �� vA =� (�w�0 +� e�t)�r, aA =� e�r.
3. Ruch jednostajnie op�zniony (rys. 3):
w�(t) =� w�0 +� (-�e�)t, e�(t) =� -�e� =� const, �� vA =� (�w�0 +� (-�e�)t)�r, aA =� -�e�r.
Prdko[ci punkt�w na obwodzie koBa wyznacza si metod superpozycji
(wyznaczajc skBadow postpow wektora vA) lub metod chwilowego
[rodka obrotu. Przyspieszenia wyznacza si metod superpozycji (skBa-
dowa postpowa wektora aA).
W przypadku toczenia si koBa z po[lizgiem, w punkcie styku koBa z lini
pozioma nale|y uwzgldni prdko[ po[lizgu �� 0. Powoduje to zmia-
n poBo|enia chwilowego [rodka obrotu C.
04 Kinematyka 60
r
r
r
RUCH PAASKI SKAADA SI Z CHWILOWEGO RUCHU POST-
POWEGO ORAZ CHWILOWEGO RUCHU OBROTOWEGO
Prdko[ punktu A
Prdko[ dowol-
wzgldem bieguna 0
nego punktu A
(prdko[ ruchu obrotowego)
r� r� r�
vA =� v0 +� vA0
Prdko[ bieguna 0
(prdko[ ruchu postpowego)
��
r�
r�
vA0 =� w�� �� vA0 =� w� �� OA
OA
dj�
Chwilowa prdko[ ktowa wzgldem bieguna = const
w� =�
dt
Przyspieszenie punktu A
r� r� r�
aA =� aO +� aAO
Przyspieszenie w chwilowym ruchu
Przyspieszenie bieguna O
obrotowym wok�B bieguna A
r� r� r�
aAO =� at +� an
AO AO
Przyspieszenie styczne
Przyspieszenie normalne
CaBkowite przyspieszenie punktu A:
r� r� r� r�
aA =� aO +� at +� an
AO AO
04 Kinematyka 61
RUCH ZAO{ONY PUNKTU
OXYZ nieruchomy ukBad osi wsp�Brzdnych
O X Y Z ruchomy ukBad osi wsp�Brzdnych
r�
Ruch bezwzgldny punktu A wzgldem OXYZ: V
r�
Ruch wzgldny punktu A wzgldem O X Y Z : Vw
Ruch unoszenia punktu ukBadu ruchomego O X Y Z
r�
wzgldem nieruchomego OXYZ: Vu
Prdko[ bezwzgldna punktu A w ruchu zBo|onym jest wypad-
r� r�
kow prdko[ci unoszenia Vu i prdko[ci wzgldnej Vw .
Prdko[ unoszenia
Prdko[ wzgldna
r� r� r�
V =� Vw +� Vu
Przyspieszenie w ruchu zBo|onym:
r� r� r� r�
a =� aw +� au +� aC
Przyspieszenie
Coriolisa
Przyspieszenie
wzgldne
Przyspieszenie
unoszenia
Przyspieszenie Coriolisa dodatkowe przyspieszenie, wynika-
jce z jednoczesno[ci ruchu wzgldnego i ruchu unoszenia.
r�
Przyspieszenie Coriolisa aC = 0 w ruchu unoszenia prostolinio-
r�
r�
wym oraz gdy wektor w� jest r�wnolegBy do wektora vw .
04 Kinematyka 62
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Mechanika Techniczna I Skrypt 4 5 5 Układ przestrzenny IIIMechanika Techniczna I Skrypt 4 4 1 Rama obciążona siłą o zmiennym położeniuMechanika Techniczna I Skrypt 3 3Mechanika Techniczna I Skrypt 3 8Mechanika Techniczna I Skrypt 1 7 1 Przedmiot dynamikiMechanika Techniczna I Skrypt 3 5Mechanika Techniczna I Skrypt 3 12Mechanika Techniczna I Skrypt 4 9 1Mechanika Techniczna I Skrypt 3 15więcej podobnych podstron